1-多项式练习测试题

第一章 多项式
多项式习题
一、填空题
1、 用除2()2g x x x =−+4
()25f x x x =++，商式为 ；余式为 。

2、 当满足关系 ,,m p q 时，241|x mx x px q ++++。

3、 4322()(441,1)d x x x x x x x =−−++−+=；存在＝ ()u x ， ()v x ＝ ，使得。

()()()()()d x f x u x g x v x =+4、 设3232
235(2)(2)(2)x x x a x b x c x −+−=−+−+−+d ，则的值为 ,,,a b c d 。

5、 当t 满足 条件时，32()31f x x x tx =−+−有重根。

6、 3()f x x px q =++有重根的条件是 。

7、 424751x x x −−−的有理根集合为 。

二、计算与证明
1． 设，求证：
((),())1f x g x =（1）；
((),()())1f x f x g x +=（2）(()(),()())1f x g x f x g x +=
（3）；
（4）((),())1n n f x g x =((),())1n n f x g x =。

2．设不全为0，(),()f x g x ()((),())()()()()d x f x g x f x u x g x v x ==+，若11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x ==，且11(),()f x g x 的次数都大于1。

（1） 问是否唯一？
(),()u x v x （2） 求证((；
),())1u x v x =（3） 求证。

11((),())1f x g x =3．设是首一多项式，且次数大于1。

证明下列命题等价：
()f x （1）是某个多项式的方幂；
()f x （2）对于任意多项式，必有()g x ((),())1f x g x =，或者存在某一个整数，使得m ()|()m
f x
g x ；
（3）对于任意多项式，由可推出，或者存在整数m ，使得(),()g x h x ()|()()f x g x h x ()|()f x g x ()|()m f x h x 。

4．求证：22
()|()()|()f x g x f x g x ⇔。

5．如果()|()n f x f x ，求证是或单位根。

()f x 6．如果(1)|(n )x f x −，求证(1)|(n n )x f x −
自测题1
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． }{a }}{},{},{{c b a ； }{a },,{c b a ；Φ }0{．
2．，则:
}06,|{},01,|{22<−+∈=>−∈=x x R x x B x R x x A .__________________,_________,=−=∩=∪B A B A B A
3．；x x f R R f 2sin )(,:=→1cos )(,:+=→x x g R R g ，则:
.____________)(.___________).(____________)(===R f x g f x f g o o
4．，则
32)(,:+=→x x f R R f ._________)(1=−x f 5．N 为自然数集，．找出由N 到B 的映射，且为单射但非满射．
}|3{Z n n B ∈=f f 二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由。

每小题5分，共20分）
1．不存在含有有限个数的数域．
2．两个数环的并也是数环．
3．A n n n f A ∈+=,1:},100,,2,1{a L 是A 到自身的映射． 4．,:;:.||:;:2x x g R R g x x f R R f a a →→则g f =．
三、（10分）证明：)()()(C A B A C B A ∩∪∩=∪∩
四、（10分）证明整数集Z 是含1的最小数环．
五、（10分）证明：},,,|632{Q d c b a d c b a F ∈+++=是一个数域．
六、（10分）平面上有n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条直线不交于一点，证明：这n 条直线共有)1(2
1−=n n V n 个交点． 七、（15分）求下列各题中集合M 与N 的交与并：
1）M={全体有理数}，N ={全体无理数}；
2）M={全体n 阶对称方阵}，N ={全体n 价反对称方阵}；
3）M={数域P 上全体不可约多项式}，N ={在复数域内没有重根的P 上全体多项式}．
八、（10分）令A ={所有正实数}，}{所有实数=A ．试给出A 到A 上的一个一一映射．
自测题2
一、填空题(每小题3分,共12分)
1.则被除所得的商式为____,余式为____. .13)(,14)(234−−=−−=x x x g x x x f )(x f )(x g 2．___,))(),((,2)()()()(],[)(),(),(),(==+∈x g x f x g x v x f x u x F x v x u x g x f 则若
._____))(),((=x v x u
3．
___))(),(()(|)(,0][)(01=≠∈+++=x g x f x g x f a x F a x a x a x f n n n 则且L 4．中是本原多项式的为____.
1,42,0),3)(1(,232−++−+x x x x x 二、判断说明题(先判断正确与错误,再简述理由，每小题5分，共20分)
1．若则必为与的最大公因式.
),()()()()(x d x g x v x f x u =+)(x d )(x f )(x g 2．若在F 上不可约，且)(),()(|)(x p x g x f x p )]()([|)(x g x f x p +则且
)(|)(x f x p ).(|)(x g x p 3．设为F 上的多项式，且不可约.若为的重因式,则必为的重因式．
)(),(x f x p )(x p )(x p )(x f k )(x p )('x f 1+k 4．有理系数多项式在Q 上可约,则有有理根.
)(x f )(x f 三、计算题(每小题16分,共48分)
1．设求以及使
,12)(,12)(3234+−=−+−−=x x x g x x x x x f ))(),((x g x f ),(),(x v x u )).(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+2．设
234)(235+−+−=x x x x x f (1)判断在R 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;
)(x f (2)求在R 上的标准分解式.
)(x f 3．(1)把表示为初等对称多项式3213332313213),,(x x x x x x x x x f −++=321,,σσσ的多项式.(2)已
知321,,ααα是三个根,求的值.
01423=+−−x x x 232322231221321221αααααααααααα+++++四、证明题(每小题10分,共20分)
1．设为正整数,证明:.
2≥k )(|)()(|)(22x g x f x g x f ⇔2．设是整系数多项式,a 为整数,证明:)(x f ).
(|)5()5(|)5(a f a f a −⇔−
小测验一 姓名 学号
一、填空题（每小题6分，共30分）
1．用除2()2g x x x =−+4()25f x x x =++，商式为 ；余式为 .
2．多项式的所有系数之和＝200120002322002()4(54)21(8112)f x x x x x x ⎡⎤=−−−−+⎣⎦ ，
常数项＝ 。

3． 能被任一多项式整除的式项式是 ；能整除任意多项式的多项式一定是 .
4．当t 满足 条件时，32()31f x x x tx =−+−有重根.
5． 5432()41048f x x x x x x =++−−+在有理数上的标准分解式是 .
二、判断题（对的打√，错的打×，每小题2分，共20分）
1．若()()()p x f x g x ，则()()p x f x 或()()p x g x . （ ） 2．若()()f x h x 且()()g x h x ，则()()()f x g x h x . （ ）
3．若多项式的导数没有重因式，则也没有重因式. （ ）
()f x ()f x ′()f x 4．若()|()g x f x 则. （ ）
((),()1f x g x =)5． 数域P 上的任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. （ ）
()p x 6．在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的. （ ）
7．多项式有重根当且仅当有重因式. （ ）
()f x ()f x 8．若α是复系数多项式的复根，则的共轭复数()f x α也是的根. （ ）
()f x 9．若q p
是整系数多项式的根，为互素的整数，则()f x ,p q ()(1)p q f −. （ ） 10．多项式3()51f x x x =−+在有理数域上不可约. （ ）
三、计算与证明（每小题10分，共50分）
1．设，求((.
43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =−−++=−−+),())f x g x 2．证明：若((，则，(),())1f x g x =()(),()())1f x g x f x g x +=.
3．如果(1)|(n )x f x −，求证(1)|(n n )x f x −.
4．设，证明：若，则只能是常数.
0c ≠()()f x f x c =−()f x 5．设，且，求0x y z ++=0xyz ≠222
x y z yz xz xy
++.。