北师版八年级上数学第一章随堂练习61

北师版八年级上数学第一章随堂练习61
一、选择题（共5小题；共25分）
1. 在①，，；②，，；③，，；④，，这四组数中，勾股数组有
A. 组
B. 组
C. 组
D. 组
2. 如图，在中，，，，将折叠，使点与
的中点重合，折痕为，则线段的长度为
A. B. C. D.
3. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，由
弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是
A. B. C. D.
4. 如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管
任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是
D.
5. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的
最短路线的长是
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
6. 如图，已知一根长的竹竿在离地处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时顶部距底部
有．
7. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为
与交于点，若，，则的长为．
8. 如图，在长方形中，，点为长方形内部一点，过点分别作
于点，于点，分别以，为边作正方形，正方形，若两个正方形的面积之和为，长方形的面积为，，则长方形
的面积为．
9. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，若一只蚂蚁从点开始经过个
侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .
三、解答题（共4小题；共52分）
10. 如图，在一张长方形纸张中，一边折叠后落在对角线上，点为折痕与边
的交点，若，，求图中阴影部分的面积．
11. 已知：如图，在中，，是的中点．求证：
．
12. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书
《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一
种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图，，，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有个；
②如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）
的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”．在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①；
②与的关系为，与的关系为．
13. 如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短
路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）?
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. B 【解析】设吸管为，过的圆柱体的高为，连接，
则必为底面圆的直径
，．
在中，
．
5. B
【解析】如图，；
如图，．
第二部分
6.
8.
【解析】四边形和四边形都是正方形，
，，
，
长方形的面积为，
，
，
，
长方形的面积，
长方形的面积．
9.
【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.
如图
，，，
第三部分
10. 设点折叠后落在对角线上的点，连接，
由折叠的性质可知，，，
则是直角三角形，，
在中，，
，
设，则，，
在中，，
解得，，
所图中阴影部分的面积．
11. 略．
12. （1）①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）．
②在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即，化简得．
在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即，化简．
（2）①
②结论．
，
，
，
．
（3）①
②；
13.。