2016-2017年湖南省长沙市岳麓实验中学高一(下)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年湖南省长沙市岳麓实验中学高一（下）期末数学
试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）sin390°＝（）
A．B．C．D．
2．（4分）如图的程序运行后，输出的结果是（）
A．1，3B．4，1C．0，0D．6，0
3．（4分）cos5°sin65°﹣sin5°sin25°的值是（）
A．B．﹣C．D．﹣
4．（4分）向量，且∥，则锐角α的余弦值为（）A．B．C．D．
5．（4分）在△ABC中，有命题
①；
②；
③若，则△ABC为等腰三角形；
④若，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．②③④
6．（4分）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70）的汽车大约有（）
A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆
7．（4分）设，则sinβ的值为（）A．B．C．D．
8．（4分）要得到y＝sin2x的图象只需将y＝sin2x+cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
9．（4分）函数y＝cos x|tan x|（0≤x≤π且）的图象为（）
A．B．
C．D．
10．（4分）函数f（x）＝x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）
A．B．C．D．
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.
11．（4分）已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y＝bx+a必过定点．
12．（4分）把89化成五进制数的末位数字为．
13．（4分）已知sinα•cosα＝，且＜α＜，则cosα﹣sinα＝．14．（4分）已知，，且与垂直，则k＝．15．（4分）已知函数f（x）＝3sin（2x﹣）的图象为C，则
①C关于直线x＝对称；
②C关于点（，0）对称；
③f（x）在（，）上是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C，
以上结论正确的是为．
三．解答题（每小题10分）
16．（10分）已知α为第三象限角，
（1）化简f（α）
（2）若，求f（α）的值．
17．（10分）如图是抽取了高二年级100个学生的体重绘成的频率分布直方图．（1）求体重在50∽60kg的学生的人数；
（2）求这100个学生的体重的众数；
（3）求这100个学生中体重不少于60kg的学生的概率．
18．（10分）已知，
（1）求的值；
（2）求的夹角θ；
（3）求的值．
19．（10分）函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．
20．（10分）设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2＝0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21．（10分）已知＝（sin x，m+cos x），＝（cos x，﹣m+cos x），且f（x）＝
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣，]时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．
2016-2017学年湖南省长沙市岳麓实验中学高一（下）期
末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）sin390°＝（）
A．B．C．D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【解答】解：sin390°＝sin（360°+30°）＝sin30°＝，故选A．
2．（4分）如图的程序运行后，输出的结果是（）
A．1，3B．4，1C．0，0D．6，0
【考点】BA：茎叶图．
【解答】解：分析程序的运行过程知，
a＝1+3＝4，
b＝4﹣3＝1，
输出a＝4，b＝1．
故选：B．
3．（4分）cos5°sin65°﹣sin5°sin25°的值是（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
【解答】解：cos5°sin65°﹣sin5°sin25°＝sin（65°﹣5°）＝sin60°＝，
故选：C．
4．（4分）向量，且∥，则锐角α的余弦值为（）A．B．C．D．
【考点】96：平行向量（共线）；GG：同角三角函数间的基本关系．
【解答】解：∵＝（，tanα），＝（cosα，1），∥，
∴cosαtanα＝sinα＝，
∵α为锐角，
∴cosα＝＝．
故选：D．
5．（4分）在△ABC中，有命题
①；
②；
③若，则△ABC为等腰三角形；
④若，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是（）
A．①②B．①④C．②③D．②③④
【考点】91：向量的概念与向量的模；9B：向量加减混合运算；9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【解答】解：由向量的运算法则知；故①错②对
又
∵
∴即AB＝AC
∴△ABC为等腰三角形故③对
∵
∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形
故选：C．
6．（4分）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70）的汽车大约有（）
A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆
【考点】B8：频率分布直方图．
【解答】解：由图得：时速在[60，70）的频率为0.04×10＝0.4．
所以时速在[60，70）的汽车大约有：0.4×200＝80辆．
故选：D．
7．（4分）设，则sinβ的值为（）A．B．C．D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．
【解答】解：∵，∴α﹣β∈（﹣，0），
又∵，∴．
根据α∈（0，）且sinα＝，可得cosα＝＝．
因此，sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）＝×﹣×（﹣）＝．
故选：C．
8．（4分）要得到y＝sin2x的图象只需将y＝sin2x+cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【解答】解：将y＝sin2x+cos2x，
＝，
要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝的图象向右平移个单位即可得到．
故选：D．
9．（4分）函数y＝cos x|tan x|（0≤x≤π且）的图象为（）
A．B．
C．D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
【解答】解：∵f（x）＝cos x•|tan x|，
∴当，f（x）＝cos x tan x＝sin x．
当，f（x）＝﹣cos x tan x＝﹣sin x．
∴，对照选项，C正确，
故选：C．
10．（4分）函数f（x）＝x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】73：一元二次不等式及其应用；CF：几何概型．
【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，
∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，
∵在定义域内任取一点x0，
∴x0∈[﹣5，5]，
∴使f（x0）≤0的概率P＝＝
故选：C．
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.
11．（4分）已知x与y之间的一组数据为：则y与x的回归直线方程y＝bx+a必过定点
．
【考点】BK：线性回归方程．
【解答】解：∵回归直线方程必过样本中心点，
∵
，
∴样本中心点是（，4）
∴y与x的回归直线方程y＝bx+a必过定点（，4）
故答案为：（，4）
12．（4分）把89化成五进制数的末位数字为4．
【考点】EM：进位制．
【解答】解：89÷5＝17 (4)
17÷5＝3 (2)
3÷5＝0 (3)
故89（10）＝324（5）．
末位数字为4．
故答案为：4．
13．（4分）已知sinα•cosα＝，且＜α＜，则cosα﹣sinα＝﹣．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
【解答】解：∵＜α＜，
∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，
设cosα﹣sinα＝t（t＜0），
则t2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣＝，
∴t＝﹣，即cosα﹣sinα＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（4分）已知，，且与垂直，则k＝﹣3．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【解答】解：∵，，
∴＝（k+3，2k﹣2），
＝（4，0），
∵与垂直，
∴（）•（）＝4（k+3）＝0，
解得k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（4分）已知函数f（x）＝3sin（2x﹣）的图象为C，则
①C关于直线x＝对称；
②C关于点（，0）对称；
③f（x）在（，）上是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C，
以上结论正确的是为①②③．
【考点】H2：正弦函数的图象．
【解答】解：①函数f（x）＝3sin（2x﹣）的对称轴2x﹣＝+kπ，k∈Z，则x＝+，k∈Z，当k＝1时，x＝，
则C关于直线x＝对称；
故①正确；
②由题意可知：函数f（x）＝3sin（2x﹣），由2x﹣＝kπ，k∈Z，解得：x＝+，
k∈Z，
则C的对称中心为（+，0），k∈Z，
当k＝1时，x＝，则C关于点（，0）对称；
故②正确；
③由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，函数f（x）＝3sin（2x﹣）单调递增，
解得：+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
当k＝0时，≤x≤，
∴f（x）在（，）上是增函数；
故③正确；
④y＝3sin2x的图象向右平移个单位y＝3sin2（x﹣）＝3sin（2x﹣）≠3sin（2x
﹣），
故④错误，
故答案为：①②③．
三．解答题（每小题10分）
16．（10分）已知α为第三象限角，
（1）化简f（α）
（2）若，求f（α）的值．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【解答】解：（1）∵α为第三象限角，
＝＝﹣cosα．
（2）∵，
∴﹣sinα＝，解得：sinα＝﹣，可得：cosα＝﹣＝﹣．
∴f（α）＝﹣cosα＝．
17．（10分）如图是抽取了高二年级100个学生的体重绘成的频率分布直方图．
（1）求体重在50∽60kg的学生的人数；
（2）求这100个学生的体重的众数；
（3）求这100个学生中体重不少于60kg的学生的概率．
【考点】B8：频率分布直方图．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图知，体重在50～60kg的频率为
0.02×10＝0.2，
所求的学生人数为
100×0.2＝20；
（2）根据频率分布直方图知，众数为最高小矩形图的底边中点，
即为＝65；
（3）体重不少于60kg的学生的频率为
1﹣（0.015+0.005）×10＝0.8，
用频率估计概率，得所求的概率为0.8．
18．（10分）已知，
（1）求的值；
（2）求的夹角θ；
（3）求的值．
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积
表示两个向量的夹角．
【解答】解：（1）∵已知＝4﹣4﹣3＝64﹣4﹣27，
∴＝﹣6．
（2）设的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣，结合θ∈[0，π]，可得θ＝
．
（3）＝＝＝＝．
19．（10分）函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．
【考点】H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2sin x cos x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1＝sin（2x﹣）﹣1，
∴函数f（x）的最小正周期为＝π．
（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
20．（10分）设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2＝0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CF：几何概型．
【解答】解：（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，
则基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
设事件A为“方程x2+ax+b2＝0有实根”．
则判别式△＝a2﹣4b2≥0，即a≥2b，
若a＝0，则b＝0，
若a＝1，则b＝0，
若a＝2，则b＝0或b＝1，
若a＝3，则b＝0或b＝1共有6个，则对应的概率P＝．
（2）记事件B＝“方程x2+ax+b2＝0有实根”．
由△＝a2﹣4b2≥0，得：a≥2b
全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
其面积为S＝3×2＝6．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，
则D（3，）
其面积为S′＝×3×＝，
对应的概率P＝＝．
21．（10分）已知＝（sin x，m+cos x），＝（cos x，﹣m+cos x），且f（x）＝
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣，]时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HW：三角函数的最值．
【解答】解：（1）f（x）＝•＝（sin x，m+cos x）•（cos x，﹣m+cos x），
即＝，
（2）∵f（x）＝，由，可得，
∴，∴f（x）的最小值为，∴m＝±2，
∴f max（x）＝1+﹣4＝﹣，此时，，即．。