安徽省芜湖市田家炳中学高一数学理测试题含解析

安徽省芜湖市田家炳中学高一数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的零点所在的区间是（）
A． B． C． D ．
参考答案：
B
2. 设定义在上的函数对任意实数满足，且，则的值为（）
A．－2 B．C．0
D．4
参考答案：
B
略
3. 函数的值域是（）
A．R B．[，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）
参考答案：
B
【考点】复合函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】令t=﹣x2+2x，则y=，再根据t≤1以及指数函数的单调性求得y的值域．
【解答】解：令t=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，则y=．由于t≤1，∴y≥=，
故选：B．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性、指数函数的定义域和值域，属于基础题．
4. 已知，i是虚数单位，若，则的值为（）
A. 1
B.
C.
D.
参考答案：
D
【分析】
根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模.
【详解】
故选D
【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.
5. 已知函数（其中a>b），若f(x)的图象，如右图所示，则函数的图象可能是（）
参考答案：
A
略
6. 函数的零点所在区间为
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
参考答案：
B
试题分析：由题意，得，，即，由函数的零点存在定理，得函数的零点所在的区间是(1,2)；故选B．
7. 判断下列各命题的真假：
（1）向量的长度与向量的长度相等；
（2）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
(6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
参考答案：
C
8. 在等差数列中，已知，则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
9. 设为基底向量,已知向量,若三点共线,则实数的值等于
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
10. 已知，则等于( )
A．B．C．D．参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. +
参考答案：
略
12. 函数f(x)＝2sin(ωx＋)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值为，则正数ω＝
________.
参考答案：
1
13. 设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A M，A不是空集，且满足：若a A，则，则满足条件的集合A共有_____________个．
参考答案：
7
14. 对于函数成立的所有常数M中,我们把M的最大值叫做的下确界,则对于不全为0, 的下确界
是
参考答案：
15. 函数在区间[-3，0]上的值域为
参考答案：
[-4，0]
略
16. 直三棱柱ABC - A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若,，则此球
的表面积等于。

参考答案：
20π 【详解】
17. 已知、均为单位向量，它们的夹角为
，那么
等于 ．
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
,
为
的中点,.
(1) 求证：平面；
(2) 若
，求三棱锥
的体积.
参考答案：
（1）连接
,设
与
相交于点
,连接. …………1分 ∵ 四边形是平行四边形,∴点
为
的中点.
∵为
的中点，∴
为△
的中位线,
∴ . …………4分 ∵平面,
平面
,
∴
平面
. ………… 6分
（2）∵三棱柱，∴侧棱
，
又∵底面，∴侧棱
，
故
为三棱锥
的高，
， …………8分 …………10分
…………12分
19. 某家电专卖店试销A 、B 、C 三种新型空调，连续五周销售情况如表所示：
（I）求A型空调平均每周的销售数量；
（Ⅱ）为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店第二周售出的A、B型空调销售记录中，随机抽取一台，求抽到B型空调的概率；
（III）已知C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，且每周销售数量C1，C2，C3，C4，C5互不相同，求C型空调这五周中的最大销售数量。

（只需写出结论）
参考答案：
（I）15台；（Ⅱ）；（Ⅲ）10台
【分析】
（I）根据题中数据，结合平均数的计算公式，即可求出结果；
（Ⅱ）先设“随机抽取一台，抽到B型空调”为事件D，再由题中数据，确定事件D 包含的基本事件个数，以及总的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；
（III ）先根据题意，设，结合平均数与方差得到
，求出范围，分别取验证，直到得到符合题意的数据为止.
【详解】（I ）A型空调平均每周的销售数量（台）
（Ⅱ）设“随机抽取一台，抽到B 型空调”为事件D ，
则事件D 包含12个基本事件，而所有基本事件个数为，所以
（Ⅲ）由于C型空调的每周销售数量互不相同，
所以不妨设，因为C型空调连续五周销量的平均数为7，方差为4，
所以，为了让C型空调这五周中的最大周销售数量最大，即只需让最大即可，
由于，所以易知，
当时，由于
所以
此时必然有，而与题目中所要求的每周销售数量互不相同矛盾，故.
当时，由于，
所以，且
若不存在的情况，则的最大值为，
所以必有，即，
而此时，易知，符合题意，故C型空调的五周中的最大周销售数量为10台.
20. 已知函数（其中a,b为常数，且a>0,a≠1）的图像经过点A(-2,0),B(1,2)
（1）求的解析式（2）若函数,求的值域
参考答案：
（1）有题意知；-----------2分
∴，
∴ --------5分
∴
--------6分
（2）
设，则--------8分
∴，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增。

--------11分
∴时，有最小值，--------12分
时，有最大值-------13分
∴的值域为
-----------14分
21. 联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可
近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）
=10×[1+k%?（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．
（Ⅰ）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；
（Ⅱ）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．
参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）利用2010年该地区人口共计105万求W的值，利用
≥142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万；（Ⅱ）利用该地区2013年恰好进入老龄化社会，求出k%≈，即可预测2040年该地区60岁以上人口数．
【解答】解：（Ⅰ）∵2010年该地区人口共计105万，
∴x=2010，P==105，
∴W≈142．
令≥142，
∴0.35×（0.94）x﹣2010≤0无解，
∴未来该地区的人口总数不可能突破142万；
（Ⅰ）∵该地区2013年恰好进入老龄化社会，
∴10×[1+k%?（2013﹣2010）]=10%×，
∴k%≈，
∴x=2040，L（2040）≈10×[1+?（2040﹣2010）]=20万
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．
22. （本小题满分12分）已知是等差数列，其中，前四项和．
（1）求数列的通项公式a n；
（2）令，①求数列的前项之和
②是不是数列中的项，如果是，求出它是第几项；如果不是，请说明理由．
参考答案：。