定积分概念、性质
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分的概念 微积分基本公式
17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。 本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。
前 言
引例2——变速直线运动的路程
分割区间
取近似值
作和
取极限
（1）细分区间
ti-1
ti
(2) 取近似值
（3）作和
（4）取极限
T1
T2
v
t
曲边梯形面积A：
变速运动的路程 S：
记为
记为
二、定积分的概念（演示）
定积分定义
如果当最大的子区间的长度 时，此和式有极限，则此极限叫作f(x)在 [a，b]上的定积分，
几何意义也很明显
再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得
如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)，则在时间段[T1,T2]内所发生的位移变化为S(T2)-S(T1)
如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知
连续函数 在区间 上的定积分等于它的一个
则有
微积分基本公式（二）——牛顿—莱布尼兹公式
证明思路
记作
例2 求下列定积分
解 因为 在 上连续， 是它的一个原函数
所以
或
解 原式
几何意义
解 原式
几何意义
解 原式
解 原式
x
y
y=x2
1
A
0
如果右边的和式有极限（n→∞），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：
如图所示： 1）将区间[0,1]n等分。
其分点分别为：
2）得n个小条形，每个小条形的宽均为
高则分别
取区间右端点xi(i=1,2,…,n)的函数值
3）相乘为第i个小矩形面积：
x
y
0
x2
x3
xn=1
xn-1
y=x2
(2) 对于[-∞，b]的无穷积分 如果 存在，我们称 收敛， 且定义： 否则，称 发散。
广义积分*
（3）对于区间（-∞，+∞）的无穷积分 如果 =A+B. 如果右边每一个无穷积分都存在，我们称 收敛， 如果其中之一不存在 ，则 发散。
1. 若函数 在 上连续，
2. 若函数 在 上有界，且只有有限个间断点，
三、定积分存在的充分条件
则 在 上可积。
则 在 上可积。
返回
若 是奇函数，则
若 是偶函数，则
a
-a
◆定积分的几何意义
是偶函数， 是奇函数。
-a
a
偶函数
奇函数
广义积分*
定义 假设对 在[a,b] 有定义且可积， (1) 对于[a,+∞]上的无穷积分 如果 存在，我们称 收敛， 且定义： 否则，称 发散。
4.1定积分概念
一、定积分的引入—曲边梯形面积的求法
注：此“面积”一定是以x轴为一边的曲边梯形；
y
x
b
a
A
y=f(x)
例如：求曲线y=x2、直线x=0、x=1和y=0所围成的面积？ 如图所示
此问题的难点是图形有一边是曲的，如何求它的面积呢？
研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长*宽=a*b，那么研究方法是“无限细分，以直代曲”，将曲边图形分划为若干个小矩形，用小矩形面积△Si矩近似代替小曲边梯形面积△Si曲， 即:
合理应用对称区间上 奇偶函数的积分性质， 简化定积分的计算。
解
设
，求
分段函数的积分 计算，应分区间 选取相应的函数
函数在x=1处间断
exit
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
估值定理
exit
积分中值定理
牛顿-莱布尼兹公式
（1）若 是偶函数，则
a
-a
五、定积分的几何性质
-a
a
由定积分几何意义可得：
补充规定：
a
b
x
x+dx
定积分几何意义的应用
1
4
2
8
1
7
3
0
x
y
-3
3
把区间
分成n等份，每份长
，各分点是：
解 因为 在 上连续，所以 存在
广义积分*
例1 求
解 首先我们考察求
广义积分*
例2 讨论广义积分 的敛散性。
记为：
即在定积分 中来自其中“∫”为积分号（把字母s拉长），a，b为积分下限和上限，即积分变量x的范围：a≤x≤b，又叫积分区间；f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。
上例曲边图形的面积用定积分表示
注意：据定义有如下说明: (1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数; (2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关； (3)规定：
例 用定义求定积分
=
规定：
a
b
x
x+dx
六、定积分的基本性质
无论 a, b, c 的相对位置如何，（3）式均成立。
可推广至有限个函数的代数和的情形。
b
c
a
·
·
·
a
c
b
·
·
·
◆定积分的基本性质
则有
推论1设
，对任意
ò
ò
≤
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
（5）对任意
)≥0，则有
(
x
f
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最小值m， 于是， 由性质5有
有界是函数在区间[a,b]上可积的必要条件。
表示曲线 与 x 轴围成的图形面积的代数和。
表示曲线 与 x 轴围成的图形面积。
四、定积分的几何意义（演示）
a
b
A1
A2
A3
（1）
（2）
（2）若 是奇函数，则
原函数 在积分区间上的增量
◆微积分基本公式
而
？
微积分基本公式（一）——变上限的积分定理
a
x
b
证明思路 参见书
例1
例2
解：用分点0插分区间[x,-2x]
例3
例4
设 在区间 上连续， 是它的任意一个原函数，
x0
x1
4）第i个小曲边梯形面积近似：
5）曲边梯形面积S曲近似：
x
y
0
10
y=x2
x0
1
若取n=10
容易发现n越大（即区间分得越细）则此面积误差越小，6）直到用极限方法令n→∞，得曲边梯形的精确值：
总结：求曲边梯形面积的步骤
引例1——曲边梯形的面积（演示）
其中
设物体的运动速度
17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。 本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。
前 言
引例2——变速直线运动的路程
分割区间
取近似值
作和
取极限
（1）细分区间
ti-1
ti
(2) 取近似值
（3）作和
（4）取极限
T1
T2
v
t
曲边梯形面积A：
变速运动的路程 S：
记为
记为
二、定积分的概念（演示）
定积分定义
如果当最大的子区间的长度 时，此和式有极限，则此极限叫作f(x)在 [a，b]上的定积分，
几何意义也很明显
再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得
如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)，则在时间段[T1,T2]内所发生的位移变化为S(T2)-S(T1)
如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知
连续函数 在区间 上的定积分等于它的一个
则有
微积分基本公式（二）——牛顿—莱布尼兹公式
证明思路
记作
例2 求下列定积分
解 因为 在 上连续， 是它的一个原函数
所以
或
解 原式
几何意义
解 原式
几何意义
解 原式
解 原式
x
y
y=x2
1
A
0
如果右边的和式有极限（n→∞），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：
如图所示： 1）将区间[0,1]n等分。
其分点分别为：
2）得n个小条形，每个小条形的宽均为
高则分别
取区间右端点xi(i=1,2,…,n)的函数值
3）相乘为第i个小矩形面积：
x
y
0
x2
x3
xn=1
xn-1
y=x2
(2) 对于[-∞，b]的无穷积分 如果 存在，我们称 收敛， 且定义： 否则，称 发散。
广义积分*
（3）对于区间（-∞，+∞）的无穷积分 如果 =A+B. 如果右边每一个无穷积分都存在，我们称 收敛， 如果其中之一不存在 ，则 发散。
1. 若函数 在 上连续，
2. 若函数 在 上有界，且只有有限个间断点，
三、定积分存在的充分条件
则 在 上可积。
则 在 上可积。
返回
若 是奇函数，则
若 是偶函数，则
a
-a
◆定积分的几何意义
是偶函数， 是奇函数。
-a
a
偶函数
奇函数
广义积分*
定义 假设对 在[a,b] 有定义且可积， (1) 对于[a,+∞]上的无穷积分 如果 存在，我们称 收敛， 且定义： 否则，称 发散。
4.1定积分概念
一、定积分的引入—曲边梯形面积的求法
注：此“面积”一定是以x轴为一边的曲边梯形；
y
x
b
a
A
y=f(x)
例如：求曲线y=x2、直线x=0、x=1和y=0所围成的面积？ 如图所示
此问题的难点是图形有一边是曲的，如何求它的面积呢？
研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长*宽=a*b，那么研究方法是“无限细分，以直代曲”，将曲边图形分划为若干个小矩形，用小矩形面积△Si矩近似代替小曲边梯形面积△Si曲， 即:
合理应用对称区间上 奇偶函数的积分性质， 简化定积分的计算。
解
设
，求
分段函数的积分 计算，应分区间 选取相应的函数
函数在x=1处间断
exit
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
估值定理
exit
积分中值定理
牛顿-莱布尼兹公式
（1）若 是偶函数，则
a
-a
五、定积分的几何性质
-a
a
由定积分几何意义可得：
补充规定：
a
b
x
x+dx
定积分几何意义的应用
1
4
2
8
1
7
3
0
x
y
-3
3
把区间
分成n等份，每份长
，各分点是：
解 因为 在 上连续，所以 存在
广义积分*
例1 求
解 首先我们考察求
广义积分*
例2 讨论广义积分 的敛散性。
记为：
即在定积分 中来自其中“∫”为积分号（把字母s拉长），a，b为积分下限和上限，即积分变量x的范围：a≤x≤b，又叫积分区间；f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。
上例曲边图形的面积用定积分表示
注意：据定义有如下说明: (1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数; (2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关； (3)规定：
例 用定义求定积分
=
规定：
a
b
x
x+dx
六、定积分的基本性质
无论 a, b, c 的相对位置如何，（3）式均成立。
可推广至有限个函数的代数和的情形。
b
c
a
·
·
·
a
c
b
·
·
·
◆定积分的基本性质
则有
推论1设
，对任意
ò
ò
≤
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
（5）对任意
)≥0，则有
(
x
f
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最小值m， 于是， 由性质5有
有界是函数在区间[a,b]上可积的必要条件。
表示曲线 与 x 轴围成的图形面积的代数和。
表示曲线 与 x 轴围成的图形面积。
四、定积分的几何意义（演示）
a
b
A1
A2
A3
（1）
（2）
（2）若 是奇函数，则
原函数 在积分区间上的增量
◆微积分基本公式
而
？
微积分基本公式（一）——变上限的积分定理
a
x
b
证明思路 参见书
例1
例2
解：用分点0插分区间[x,-2x]
例3
例4
设 在区间 上连续， 是它的任意一个原函数，
x0
x1
4）第i个小曲边梯形面积近似：
5）曲边梯形面积S曲近似：
x
y
0
10
y=x2
x0
1
若取n=10
容易发现n越大（即区间分得越细）则此面积误差越小，6）直到用极限方法令n→∞，得曲边梯形的精确值：
总结：求曲边梯形面积的步骤
引例1——曲边梯形的面积（演示）
其中
设物体的运动速度