考研数学一(高等数学)模拟试卷161(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷161(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)二阶连续可导，且=2，则( )．
A．x=1为f(x)的极大点
B．x=1为f(x)的极小点
C．(1，f(1))为y=f(x)的拐点
D．x=1不是f(x)的极值点，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐点
正确答案：C
解析：由=2及f(x)二阶连续可导得f’’(1)=0，当x∈(1－δ，1)时，f’’(x)＞0；当x∈(1，1+δ)时，f’’(x)＜0，则(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，应选(C)．知识模块：高等数学
2．双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可表示为( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：双纽线(x2＋y2)2=x2一y2的极坐标形式为r2=cos2θ，再根据对称性，有A=．选(A)．知识模块：高等数学
3．设直线L：及平面π：4x-2y+z-6=0，猜直线L( )．
A．平行于平面π
B．在平面π上
C．垂直于平面π
D．与平面π斜交
正确答案：C
解析：直线L的方向向量为s=｛1，3，2｝×｛2，一1，一10｝=｛－28，14，一7｝，因为s∥n，所以直线L与平面π垂直，正确答案为(C)．知识模块：高等数学
4．设级数an发散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，则( )．
A．发散
B．收敛于
C．收敛于0
D．敛散性不确定
正确答案：B
解析：知识模块：高等数学
5．设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．
A．C[φ1(x)+φ2(x)]
B．C[φ1(x)一φ2(x)]
C．C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)
D．[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)
正确答案：C
解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)一φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．知识模块：高等数学
6．设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，则g’(4)等于( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：因为g’(4)=，所以选(B)．知识模块：高等数学
7．设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件=0，则( )．
A．f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内
B．f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上
C．f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上
D．f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上
正确答案：B
解析：若f(x，y)的最大点在D内，不妨设其为M0，则有=0，因为M0为最大值点，所以AC—B2非负，而在D内有=0，即AC—B2＜0，所以最大值点不可能在D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为(B)．知识模块：高等数学
填空题
8．=________．
正确答案：
解析：知识模块：高等数学
9．=________．
正确答案：
解析：知识模块：高等数学
10．∫0πx=_________．
正确答案：
解析：知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．求．
正确答案：涉及知识点：高等数学
12．求．
正确答案：涉及知识点：高等数学
13．求∫0x2xf(x—t)dt．
正确答案：涉及知识点：高等数学
14．求f(x)=∫01｜x—t｜dt在[0，1]上的最大值与最小值．
正确答案：f(x)=∫01｜x-t｜dt=∫0x(x-t)dt+∫x1(t-x)dt 涉及知识点：高等数学
15．求∫arctan(1＋)dx．
正确答案：涉及知识点：高等数学
16．求∫－11dx．
正确答案：涉及知识点：高等数学
17．举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．
正确答案：涉及知识点：高等数学
18．计算．
正确答案：涉及知识点：高等数学
19．在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．
正确答案：I=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)．acosx]dx=π－4a+．由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I’’(a)=8a，由I’’(1)=8＞0得a=1为I(a)的极小值点，因为a=1是I(A)的唯一驻点，所以a=1为I(a)的最小值点，所求的曲线为y=sinx．涉及知识点：高等数学
20．判断级数的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛．正确答案：涉及知识点：高等数学
21．设an=A，证明：数列｛an｝有界．
正确答案：取ε0=1，因为=A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an一A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max｛｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1｝，则对一切的n，有｜an｜≤M．涉及知识点：高等数学22．设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x ＞0)．
正确答案：令φ(x)=e－xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=l，φ’(x)=e －x[f’(x)一f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x ＞0)．涉及知识点：高等数学
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：
23．存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；
正确答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)，故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)一F(a)=F’(c)(b一a)=f(c)(b一a)=0，即f(c)=0．涉及知识点：高等数学
24．存在ξ1∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；
正确答案：令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)＋f(x)]且ex ≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．涉及知识点：高等数学
25．存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；
正确答案：令φ(x)=e－x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f’’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．涉及知识点：高等数学
26．存在η∈(a，b)，使得f’’(η)一3f’(η)+2f(η)=0
正确答案：令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e－x[f’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e－2x[f’(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e －2x[f’’(x)一3f’(x)+2f(x)]且e－2x≠0，所以f’’(η)－3f’(η)+2f(η)=0．涉及知识点：高等数学
27．设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0．令．
正确答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)，其中ξ介于0与x之间，因为f(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，从而｜∫0af(x)dx｜≤∫0a｜f(x)｜dx≤∫0aMxdx=M．涉及知识点：高等数学
28．设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明：≥(b一a)2．
正确答案：因为积分区域关于直线y=x对称，涉及知识点：高等数学。