5-1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导-2024

专题五三角函数与解三角形
5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱
导公式
基础篇
考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
考向一三角函数的定义及相关概念
1.(2023届安徽江淮名校质量检测,4)设角θ是第一象限角,且满足|cos θ
2|=−cos θ
2
,则θ
2
的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案C
2.(2023届江苏南京、镇江学情调查,2)已知点P(cos 2
3
π,1)是角α终边上一点,则cos α=( )
A.√5
5B.−√5
5
C.2√5
5
D.−√3
2
答案B
3.(2022石家庄一模,2)已知角α的终边上一点P的坐标为(-2,1),则cos α的值为()
A.√5
5B.−√5
5
C.2√5
5
D.−2√5
5
答案D
4.(2022长沙一中月考八,1)若角α的终边过点P(8m,-3),且tan α=3
4
,则m的值为()
A.-1
2B.1
2
C.−√3
2
D.√3
2
答案A
5.(2020课标Ⅱ理,2,5分)若α为第四象限角,则( )
A.cos 2α>0
B.cos 2α<0
C.sin 2α>0
D.sin 2α<0
答案D
6.(多选)(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,9)下列结论正确的是( )
A.-7π
6
是第三象限角
B.若tan α=2,则
sinα+cosα
sinα−cosα
=3
C.若圆心角为π
3的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为3π
2 D.终边经过点(m ,m )(m >0)的角的集合是{α|α=π
4+2kπ,k ∈Z} 答案 BCD
7.(多选)(2023届重庆南开中学月考,9)已知角α的终边落在第二象限,则下列不等式一定成立的是
( )
A.sin α
2<0 B.tan α
2>0
C.sin α2>cos α2
D.|sin α2|>|cos α
2| 答案 BD
8. (2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB
是以O 为圆心,OA 为半径的圆弧,C 是AB 的中点,D 在AB
上,CD ⊥AB.“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式:s =AB +CD 2
OA
.当OA =2,∠AOB =60°时,s = ( )
A.11−3√3
2
B.11−4√3
2
C.
9−3√3
2 D.
9−4√3
2
答案 B
考向二 同角三角函数的基本关系
1.(2022山东省实验中学二诊,3)已知sin (α+3π)=-1
4,且α为第二象限角,则cos α等于 ( )
A.-√15
4
B.−
√2
4
C.−
2√2
3
D.
2√2
3
答案 A
2.(2022广东江门陈经纶中学月考,13)若tan α=4,则sin(α+π)−2cos(π
2
+α)−sin(−α)+cos(π+α)
= .
答案 4
3
3.(2023届重庆南开中学质检,14) 若θ∈(0,π2),且tan θ=2√2,则2sin (θ+π4
)−√1+cos2θ= . 答案 4
3
考向三 三角函数的诱导公式
1.(2019课标Ⅰ文,7,5分)tan 255°=
( )
A.-2-√3
B.−2+√3
C.2−√3
D.2+√3 答案 D
2.(2014大纲全国,3,5分)设a =sin 33°,b =cos 55°,c =tan 35°,则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b 答案 C
3.(2022广东江门陈经纶中学月考,4)已知sin (α−π3)=13,则cos (α+π
6)的值是 ( ) A.-13 B.1
3 C.2√2
3
D.−
2√2
3
答案 A
4.(2022河北六校联考,5)化简:sin(2π+α)cos(π+α)sin(π
2
+α)
cos(−α)cos(−π+α)tan(−α−π)= ( )
A.sin α
B.-1
cosα C.-1
sinα D.-cos α 答案 D
5.(2021北京,14,5分)若点A (cos θ,sin θ)关于y 轴的对称点为B cos (θ+π
6),sin (θ+
π6
),则θ的一个取值为 .
答案
5π
12
(答案不唯一)
综合篇
考法一三角函数定义的应用
考向一已知终边上一点的坐标求三角函数值
1.(2023届哈尔滨师大附中月考,2)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边过点P(1,-3),则sin 2α的值为( )
A.-4
5B.4
5
C.−3
5
D.3
5
答案C
2.(2021河北唐山三模,5)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-1,-2),则sin2α+sin 2α=( )
A.5
8B.8
5
C.√5
5
D.2√5
5
答案B
3.(2022山东滕州一中开学考,4)已知角α的终边上一点P的坐标为(sin 5π
6,cos 5π
6
),则
角α的最小正值为( )
A.π
6B.2π
3
C.7π
6
D.5π
3
答案D
4.(2018课标Ⅰ文,11,5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=2
3
,则|a-b|=( )
A.1
5B.√5
5
C.2√5
5
D.1
答案B
5.(2022山东日照开学校际联考,6)已知α∈[0,2π],点P(1,tan 2)是角α终边上一点,则α=( ) A.2 B.2+π C.π-2 D.2-π
答案B
考向二三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系的综合应用
1.(2022辽东南协作体期中,3)已知角θ的终边经过点P(1,2),则sin(π−θ)
sinθ+cosθ
=( )
A.-1
3B.1
3
C.−2
3
D.2
3
答案D
2.(2022广东茂名一模,4)已知角α的顶点在原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与直线2x +y +3=0平行,则
sinα−cosα
sinα+cosα
的值为
( )
A.-2
B.-1
4 C.2 D.3 答案 D
3.(2022重庆云阳江口中学期末,4)已知sin (3π
2
−α)+cos (π-α)=sin α,则2sin 2α-sin αcos α
= ( )
A.
2110
B.32
C.
√32
D.2
答案 D
4.(2022重庆八中高考适应性月考五,8)在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边为x 轴的非负半轴,终边与单位圆O 的交点P (x 0,y 0)在第一象限内,若sin (α+π
3)=3
4,则x 0= ( )
A.3+√21
8
B.
3√3±√7
8
C.
3√3−√7
8
D.
3√3+√78
答案 C
考法二 同角三角函数基本关系式的应用
考向一 利用三角函数基本关系式化简求值
1.(2022福建三明二中月考三,4)已知sin θ+cos θ=4
3,θ∈(π4,π
2),则sin θ-cos θ= ( )
A.√2
3 B.−√23
C.13
D.−1
3
答案 A
2.(2022福建龙岩一中月考,3)已知sin (π-α)+sin (π
2−α)=1
5,且α∈(0,π),则tan (α+π4
)=
( )
A.-1
7
B.17
C.7
D.-7 答案 A
3.(2022海南三亚华侨学校月考,15)若sin α-cos α=3√2
5
,则sin 2α= .
答案
725
4.(2023届安徽十校联考,13)若角α的终边在第四象限,且cos α=4
5,则tan (5π
4−α)= . 答案 7
5.(2023届沈阳四中月考,14)已知α是三角形一内角,且sin (α+π4)=35
,则cos α= . 答案 -√2
10
6.(2022广东湛江一中、深圳实验学校联考,17)已知
π
4
<α<
π2, f (α)=2cos(π
2
+α)·√1−sin2αtan(α+π)·√2+2cos2α
. (1)化简f (α);
(2)若f (α)=-1
5,求tan 2α的值. 解析 (1)f (α)=−2sinα·√sin 2α−2sinα·cosα+cos 2α
tanα·√2·2cos 2α
=-sinα·|sinα−cosα|
sinα
cosα
·|cosα|,∵π
4<α<π
2,
∴f (α)=-sinα·(sinα−cosα)
sinα
cosα
·cosα=cos α-sin α.
(2)∵π4
<α<π2
,∴sin α>cos α>0. 由{
cosα−sinα=−15,
sin 2α+cos 2α=1,
可得{
sinα=4
5,
cosα=
35, ∴tan α=sinα
cosα
=
43,∴tan 2α=2tanα1−tan 2α
=
2×
4
31−
169
=−
247
. 考向二 应用齐次式进行化简求值
1.(2022湖北重点高中联考,5)已知tan θ=-2,则sinθ
sinθ+cosθ
=
( )
A.2
B.-1
2 C.1
2 D.-2 答案 A
2.(2022武汉部分学校质量检测,2)若tan α=2,则cos2α
1−sin2α
= ( )
A.-1
3 B.1
3 C.-3 D.3 答案 C
3.(2023届湖北摸底联考,6)在平面直角坐标系xOy 中,角θ的大小如图所示,则9sin 2θ+sin 2θ=
( )
A.1
B.2
3 C.48
13 D.52
答案C
4.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sinθ(1+sin2θ)
sinθ+cosθ
=( )
A.-6
5B.−2
5
C.2
5D.6
5
答案C
5.(2021沈阳市郊联体一模,3)已知2sin(π-α)=3sin(π
2+α),则sin2α-1
2
sin 2α-cos2α=( )
A.5
13B.−1
13
C.-5
13D.1
13
答案B。