圆锥曲线题

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=
；
（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;
（3）给出0
=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;
（4）给出()
+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=
使；③若存在实数
,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+
且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（6） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知
AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,
（8）给出=⎫⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/
（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-
，等于已知ABCD 是矩形;
（11）在ABC ∆中，给出2
2
2
==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ∆中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在ABC ∆中，给出+=OA OP ()||||
AB AC AB AC λ+
)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的内心；
（15）在ABC ∆中，给出=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在ABC ∆中，给出()
12
AD AB AC =+
,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; 圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________
(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 时，距离和最小。

解：（1）（2，2）（2）（
1,4
1
） 1、已知椭圆C 1的方程为14
22
=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1顶点分别是C 1的左、右焦点。

(1) 求双曲线C 2的方程；
(2) 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12
2
22=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由
故C 2的方程为22
1.3x y -=（II ）将.0428)41(14
22222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得
,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即 21
.4
k > ①
0926)31(13
22222
=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不
同的交点A ，B
得2
22
222
2130,1 1.3()36(13)36(1)0.
k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且
2
9
(,),(,),1366,(A A B B A B A B
A B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=⋅=-⋅<+<+=+++
设则由得而
22
22
22(1)()2
9(1)2131337
.31
A B A B k x x x x k k k k k =+++-=+⋅
⋅+--+=-
2222
3715136,0.3131
k k k k +-<>--于是即解此不等式得22
131.153k k ><或 ③ 由①、②、③得
.115
13
314122<<<<k k 或 故k
的取值范围为11(1,()(,3223--- 2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA
=（-x,-1-y ）, MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知（MA +MB
）• AB =0,即（-x,-4-2y ）• (x,-2)=0.
所以曲线C 的方程式为y=
14x 2-2. (Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14x 2-2上一点，因为y '=12
x,所
以l 的斜率为
12x 0因此直线l 的方程为0001
()2
y y x x x -=-，即200220x x y y x -+-=。

则O 点到l
的距离2
d =又200124y x =-
，所以2
01412,2x d +==≥
当2
0x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.
3、设双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2
+1相切，则该双曲线的离心率等于( )
【解析】设切点
00(,)P x y ，则切线的斜率为0'
|2x x y x ==.由题意有
00
2y x x =又2001y x =+解得
: 201,2,b x e a =∴===
双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21
b y x
a y x ⎧
=⎪⎨⎪=+⎩,消去
y,得2
10b
x
x a
-
+=有唯一解,所以△=2()40b a -=,所以2b a =
,2c e a a ====
5、过椭圆22
221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若
1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为
6、已知双曲线
)0(1222
2>=-b b
y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1·2PF ＝( )
由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和
（2，0），且)1,3(
P 或)1,3(-P .不妨去)1,3(P ，则)1,32(1---=PF ，)1,32(2--=PF .
∴1PF ·2PF ＝01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=----
-
7、已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2
:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若
||2||FA FB =，则k =( )
【解析】设抛物线2:
8C y x =的准线为:2l x =-直线
()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别
作
AM l
⊥于
M
,
BN l
⊥于
N
, 由
||2||
FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结
OB
,则
1
||||2
OB AF =
, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为
k ∴=
=
故选D
8、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）
9、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为_____________.
()()()2
11
1122122
22
22
1212121212
4,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x
10、椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .
11、过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45
的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________。