河北省衡水中学高考数学 万卷检测 平面向量 文

平面向量
一、选择题
1.已知,,O N P 在ABC ∆所在平面内，且
,0
OA OB OC NA NB NC ==++=
且PA PB PB PC PC PA •=•=•则点,,O N P 依次是ABC ∆的 （ ）
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 2.已知,,A B C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确保点M 与点,,A B C 共面
的是（ ） A.OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r B.2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u r
C.1123OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r
D.111632
OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r
3.已知D 为ABC ∆的边BC 上的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足PA BP CP ++=0u u u r u u u r u u u r
，
则 PD AD
u u u r u u u r 等于（ ）
A.1
3
B.12
C.1
D.2
4.若向量(1,2)=a ,(1,1)=-b ,则2+a b 与-a b 的夹角等于( )
A. 4
π
-
B.
6
π
C. 4π
D.
34
π
5.在ABC ∆
中
AB =
u u r
,1BC =u u r
,cos cos AC B BC A =u u r
u u r
,则AC AB ⋅u u u r u u u r
=( )
A .32
或2 B. 3
2
2
6.如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111AC B C ==，
且11190,AC B D ∠=︒点在棱1AA 上且12AD DA =，
P 点在棱1C C 上，则 1PD PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A.52
B.14
-
C.14
D.52
-
7.已知2
1,,3
OA OB k AOB π==∠=u u u r u u u r ，点C 在ABC ∆内部，0OC OA ⋅=u u u r u u u r ，
若2,OC mOA mOB OC =+=u u u r u u u r u u u r u u u r
，则k 等于（ ）
A.1
B.2
D.4
8.如果平面a b ，，直线m,n,点A,B,满足：//a b ，a b 烫m ,n ,a b 挝A ,B ,且AB 与a 所
成的角为4p ，m AB ^,n 与AB 所成的角为3p
，那么m 与n 所成的角大小为（ ） A.3p B. 4p C. 6p D. 8
p 9.已知向量(4,6),(3,5),OA OB ==u u u r u u u r 且,//,OC OA AC OB ⊥u u u r u u u r u u u r u u u r
则向量OC u u u r 等于（ ）
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛-72,73 B.⎪⎭
⎫
⎝⎛-214,72 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛-214,72
二、填空题
10.已知ABC V 中，90,4,A
BC ?=o
点A 为线段EF 的中点，EF=2，若EF uu u v 与BC uu u
v 的夹
角为60o
，则BE CF
?uuv uu u v
＿＿＿。

11.已知()1,1,,,OA OB =-=-=+u u u r
u u u r
a a
b a b 若OAB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB ∆的面积为
12.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒
∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r
, 则AB 的
长为 .
13.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r
，则
λ=_________.
三、解答题
14.已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ,(1,0)=-c (1) 求向量+b c 的长度的最大值; (2) 设4
π
α=,且()⊥+a b c ,求cos β的值.
15.ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且345.OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r
(1)求数量积,,OA OB OB OC OC OA ⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
(2)求ABC ∆的面积.
16.设两个非零向量1e 与2e 不共线，如果()121212,28,3,AB BC CD =+=+=-u u u r u u u r u u u r
e e e e e e 求
证：
（1）,,A B D 三点共线；
（2）试确定实数k 的值，使11k +e e 和12k +e e 共线。

17.在平面直角坐标系xOy
中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有两个不
同的交点P 和Q .
(1)求k 的取值范围；
(2)设椭圆与x 轴正半轴.y 轴正半轴的交点分别为,A B ，是否存在常数k ，使得向量
OP OQ +u u u r u u u r 与
AB u u u r
共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由.
18.如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，
AC 于,M N 两点，若,,AM xAB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 试问：11
x y +是否为定
值？
A B C
D
G M N
19.设向量cos sin m x x =r （，），(0,)x π∈，(1,n =r
.
（1）若||m n -=
r r
，求x 的值；
（2）设()()f x m n n =+⋅u r r r
，求函数()f x 的值域.
平面向量答案 单项选择题 1.C 2.D
3. C
4.C 【解析】2(3,3)+=a b ,(0,3)-=a b ,则cos 2,<+->a b a b
(2)()
2+⋅-=+⋅-a b a b a b a b
故夹角为4
π
，选C. 5.A
【解析】本题考查解三角形.三角恒等变换及向量的数量积的知识的应用.
cos cos ,AC B BC A =u u u r u u u r Q cos cos AC A B BC ∴=u u u r u u u r ,而根据正弦定理,可得sin sin AC B A BC
=
u u u r u u u r ,从而有sin cos sin cos B A A B
=,于是得sin2A=Sin2B,即A=B 或2A B π
+=,当A=B 时,可得
1AC BC ==u u u r u u u r
,于是可
得
6
A π
=
,从而31cos 6
2
AC AB π
⋅⨯=u u u r u u u r
;当2
A B π
+=
时，由勾股定理可得AC cos A =
从而AC AB ⋅u u u r u u u r
=2.32AC AB ⋅=u u u r u u u r 或2
6.B
7.D
8.B 9.D 填空题
10.解答：根据条件知：BE CF
?uuv uu u v ().()BA EA CA FA --uu r uu r uu r uu r
=BA CA EA CA =-uu r uu r uu r uu r g g
BA -uu r ×FA uu r +EA uu r ×FA uu r =0－EA uu r ×CA uu r ＋BA uu r ×EA uu r －１＝EA uu r ×()BA CA -uu r uu r
－１=EA uu r ×BC uu u r －
１=1´4´cos 60o
－1=1。

11.2 12.
12
13.2 解答题 14.解
:（1）解法一：
+=
b c (cos 1,sin ),ββ-则
2
+=
b c 22(cos 1)sin 2(1cos ).βββ-+=-
2
1cos 104,β-∴+Q ，b c ≤≤≤≤
即02+b c ≤≤.当cos 1β=-
时，有2+=b c ，所以向量b+c 的长度的最大值为2.
解法二：1,1,2.==++=≤b c b c b c 当cos β=–1时，(2,0)+=-b c ，即2+=b c ， 所以向量+b c 的长度最大值为2.
（2）解法一：由已知可得(cos 1,sin )ββ+=-b c ，
()cos cos sin sin cos αβαβα+=--a b c =cos()αβ-cos α-
.(),(),⊥+⋅+=Q a b c a b c 0即cos()cos .αβα-=.由4
π
α=
，得 cos(
)cos
4
4
π
π
β-=即2()4
4
k k π
π
βπ-
=±
∈z ，22
k π
βπ∴=+
或2k βπ=，k ∈z 于是cos 0β=或cos 1β=.
解法二：若4
π
α=
，则=a .又由 (cos ,sin ),(1,0)ββ==-b c ，得()⋅+=a b c
(cos 1,sin )ββββ⋅-(),()0⊥+∴⋅+=Q a b c a b c ，即cos sin 1ββ+=.
sin 1cos ,ββ∴=-平方后化简得cos (cos 1)0ββ
-= 解得cos 0β=或cos 1β=.经检验cos 0β=或cos 1β=.
15.解：(1)1OA OB OC ∴===u u u r u u u r u u u r
，由条件可得，345.OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r 两边平方，得2924OA OA OB +⋅u u u r u u u r u u u r
221625,0.OB OC OA OB +=∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 同理可得43,.55
OB OC OC OA ⋅=-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r
(2)由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，得.OA OB ⊥u u u r u u u r 11.22AOB S OA OB ∆∴==u u u r u u u r 由4
,5
OB OC ⋅=-u u u r u u u r 得
4cos 5BOC ∠=-，313sin .sin .5210BOC BOC S OB OC BOC ∆∴∠=∴=∠=u u u r u u u r 由3
5
OC OA ⋅=-u u u r u u u r ，
得3
cos .5
COA ∠=-
4sin .5
COA ∴∠= 12sin .25AOC
S OA OC COA ∆∴=∠=u u u r u u u r 1
2
ABC AOB BOC COA S S S S ∆∆∆∆∴=++=
+3261055
+= 16. 解：利用向量共线的定义解题。

证明：（1）12555BD BC CD AB =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r
e e
BD u u u r Q ∥AB u u u r
,又AB BD 有公共点B ，,,A B D ∴三点共线。

（2）由12k +e e 与()1212k λ+=+e e e e 2,11
1k k k k λλ
⎧=⇒=⇒=±∴⎨=⎩
17.解：(1)由已知条件，直线l
的方程为y kx =+代入椭圆方程，
得2
2( 1.2
x kx +=整
理，
得22
1()10.2
k x +++= ①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于
221
84()2
k k ∆=-+
2420.k =->
解得k <
k >，即k
的取值范围为(,).-∞+∞U (2)设1122(,),(,),P x y Q x y 则1212(,).OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r
由方程①得12x x +=②又12y y +
12()k x x =++
③而(0,1),(A B AB =u u u r OP OQ ∴+u u u r u u u r 与AB u u u r
共线等价于12x x +=
12)y y +
，将②③代入上式，得k =
由(1)
知k <
或k >，故没有符合题意的常数k .
18.解：设,,AB AC ==u u u r u u u r a b 则()
()
111
,,244AM x AN y AG AD AB AC ====+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b a b
()111,444MG AG AM x x MN AN AM y x x y ⎛⎫
∴=-=+-=-+=-=-=-+ ⎪⎝⎭
u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r a b a a b b a a b
又MG u u u u r Q 与MN u u u u r 共线，∴存在实数λ，使MG MN γ=u u u u r u u u u r ()1144x x y x x λλλ⎛⎫
∴-+=-+=-+ ⎪⎝⎭
a b a b a b
Q a 与b 不共线，1
414
x x y
λλ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩消去λ，得114x y +=∴11x y +为定值4。

19.解：（1
）(cos 1,sin m n x x -=-u r r Q
由||m n -=r r
得
22cos 2cos 1sin 35x x x x -++-+=
整理得cos x x = 显然cos 0x ≠
∴tan 3
x =- ∵(0,)x π∈，∴56
x π=
（2
）(cos 1,sin m n x x +=+u r r
Q
∴()()f x m n n =+⋅u r r r
＝(cos 1,sin x x +
cos 13x x =+++
＝12(
cos )422x x ++＝2sin()46
x π
++
∵0x π<< ∴76
6
6
x π
π
π<+
<
∴1sin()126x π-
<+≤12sin()26
x π
⇒-<+≤ ∴32sin()466
x π
<++≤即函数()f x 的值域为(3,6].。