高三数学一轮复习(3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升)第9章 直线和圆的方程试题

第九章 直线和圆
考点1 直线与方程
1. (2016·，7)已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8 1.解析线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4.
即2x ＋y －9＝0，2≤x ≤4，因为P (x ，y )在线段AB 上， 所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.
又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7，故2x －y 最大值为7. 答案 C
2.(2015·某某，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A.－2或12 B.2或－12C.－2或－12 D.2或12
2.解析 圆方程可化为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆， ∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |
32＋42
＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D
3.(2014·某某，6)已知直线l 过圆x 2
＋(y －3)2
＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则
l 的方程是( )
A.x ＋y －2＝0
B.x －y ＋2＝0
C.x ＋y －3＝0
D.x －y ＋3＝0
3.解析 依题意,得直线l 过点(0,3),斜率为1,所以直线l 的方程为y －3＝x －0,即x －y ＋3＝0.故选D. 答案 D
4.(2014·某某，9)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋ 3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的取值X 围是( ) A.[5，25] B.[10，25]C.[10，45] D.[25，45]
4.解析 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1，3)，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故|PA |＋|PB |＝|AB |cos ∠PAB ＋|AB |sin ∠PAB ＝10·2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫∠PAB ＋π4∈[10，25]，故选B.
答案 B
5.(2015·某某，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2
－y 2
＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.
5.解析 双曲线x 2
－y 2
＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝
|1－0|12
＋1
2
＝
2
2
.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤
22，故c 的最大值为22. 答案
2
2
考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系
1.(2016·新课标全国Ⅱ，6)圆x 2＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A.－43
B.－3
4
C. 3
D.2
1.解析 由圆的方程x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得
d ＝
|1×a ＋4－1|1＋a
2
＝1，解之得a ＝－4
3. 答案 A
2.(2016·，5)圆(x ＋1)2
＋y 2
＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B.2 C. 2 D.22 2.解析 圆(x ＋1)2
＋y 2
＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）
2
＝ 2.
答案 C
3.(2016·某某，7)已知圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2
＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切
D.相离
3.解析∵圆M ：x 2
＋(y －a )2
＝a 2
，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，
圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2
，解得a ＝2.
∴M (0，2)，r 1＝2.
又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，
∴|MN |＝（1－0）2
＋（1－2）2
＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B. 答案 B
4.(2015·新课标全国Ⅱ，7)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.4
3
4.解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －
32＝33⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，② 联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，23 3，
其到原点的距离为12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫23 32
＝213.故选B. 答案 B
5.(2015·，2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2
＋(y －1)2
＝1B.(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝1 C.(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝2D.(x －1)2
＋(y －1)2
＝2
5.解析 圆的半径r ＝12
＋12
＝2，∴圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝2. 答案 D
6.(2014·某某，6)若圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A.21 B.19 C.9 D.－11
6.解析 圆C 1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2
＋(y －4)2
＝25－m ，所以圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m .从而|C 1C 2|＝32
＋42
＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.
7.(2014·某某，5)已知圆x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
7.解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2－a ,所以圆心为(-1,1),半径r ＝2－a ,圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2,故r 2－d 2
＝4,即2－a －2＝4,
所以a ＝-4，故选B. 答案 B
8.(2014·，7)已知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4
8.解析 若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为x 2
＋y 2
＝m 2
.由题意知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝1与圆O ：x 2
＋y 2
＝m 2
有公共点，所以|m －1|≤|OC |≤m ＋1，易知 |OC |＝5，所以4≤m ≤6，故m 的最大值为6.故选B. 答案 B
9.(2014·某某，6)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值X 围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3
9.答案 过P 点作圆的切线PA 、PB ，连接OP ，如图所示.
显然，直线PA 的倾斜角为0，又OP ＝（－3）2
＋（－1）2
＝2，PA ＝3，OA ＝1，因此∠
OPA ＝π6，由对称性知，直线PB 的倾斜角为π3
.若直线l 与圆有公共点，由图形知其倾斜角
的取值X 围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D.
10.(2014·新课标全国Ⅱ，12)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2
＋y 2
＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值X 围是( )
A.[－1,1]
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12
C.[－2，2]
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22
，22
10.解析 过M 作圆O 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A 、B ，若在圆O 上存在点N ，使∠OMN ＝45°，则∠OMB ≥∠OMN ＝45°，所以∠AMB ≥90°，所以－1≤x 0≤1，故选A.
答案 A
11.(2016·新课标全国Ⅰ，15)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2
＋y 2
－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.
11.解析圆C ：x 2
＋y 2
－2ay －2＝0，即C ：x 2
＋(y －a )2
＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |
2
.
又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2
＋2)＝4π.
答案4π
12.(2016·新课标全国Ⅲ，15)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________. 12.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨
⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2
＝12，
得y 2
－33y ＋6＝0，则y 1＋y 2＝33，又y 2＝23，∴y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0，23).过A ，B 作l 的垂线方程分别为y -3＝-3(x ＋3)，y －23＝-3x ，令y ＝0，则x C ＝-2，x D ＝2，∴|CD |＝2-(-2)＝4. 答案 4
13.(2016·某某，10)已知a ∈R ，方程a 2x 2
＋(a ＋2)y 2
＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标
是________.半径是________.
13.解析由已知方程表示圆，则a 2
＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2
＋y 2
＋4x ＋8y －5＝0，
化为标准方程为(x ＋2)2
＋(y ＋4)2
＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (-2，-4) 5
14.(2015·某某，13)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.
14.解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，
∴∠DBO ＝30°，
又|OD |＝|3×0－4×0＋5|
5＝1，
∴r ＝2|OD |＝2. 答案 2
15.(2015·某某，10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.
15.解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2
＋（0＋1）2
＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝2. 答案 (x －1)2
＋y 2
＝2
16.(2015·某某，16)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正
半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2. (1)圆C 的标准方程为________.
(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.
16.解析 (1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫|AB |22
＋12＝2，
解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2
＝2.
(2) 方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0, 2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.
方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2
＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1. 答案 (1)(x －1)2
＋(y －2)2
＝2 (2)－2－1
17.(2014·某某，17)已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2)和常数
λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝________；(2)λ＝________.
17.解析 设M (x ，y )，则x 2
＋y 2
＝1，y 2
＝1－x 2
，
λ2＝|MB |2
|MA |2＝（x －b ）2
＋y 2
（x ＋2）2＋y 2
＝x 2
－2bx ＋b 2
＋1－x 2
x 2＋4x ＋4＋1－x 2＝b 2
＋1－2bx 5＋4x ＝－b
2＋b 2＋52b ＋1
5＋4x
. ∵λ为常数，∴b 2
＋52b ＋1＝0，解得b ＝－12
或b ＝－2(舍去).
∴λ2
＝－b 2＝14，解得λ＝12或λ＝－12
(舍去).
答案 (1)－12 (2)1
2
18.(2014·某某，14)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2
＋y 2
＋2x －4y －4＝0相交于A ，
B 两点，且A
C ⊥BC ，则实数a 的值为________.
18.解析 圆C ：x 2
＋y 2
＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x +1)2
+(y -2)2
＝9，所以圆心为C (－1，2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |
2
＝
32
2
，所以a ＝0或6. 答案 0或6
19.(2015·新课标全国Ⅰ，20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值X 围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.
19.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|
1＋k
2
<1.
解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73
，4＋73.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2
＋(y －3)2
＝1，整理得 (1＋k 2)x 2
－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.
OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2
＋8. 由题设可得4k （1＋k ）
1＋k
2
＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.
20.(2015·某某，20)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2
＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，
B .
(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由.
20.解 (1)圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0化为(x －3)2
＋y 2
＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1M 垂直于直线l ，
设直线l 的方程为y ＝mx ，易知直线l 的斜率存在，所以kC 1M ·m ＝－1，y 0＝mx 0， 所以y 0
x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝
⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94，
因为动直线l 与圆C 1相交，所以
|3m |
m 2＋1
<2，所以m 2<4
5，
所以y 20＝m 2x 20<45x 20，所以3x 0－x 20<45x 2
0，解得x 0>53或x 0<0，又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3.
所以M (x 0，y 0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322
＋y 20＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x 0≤3，即M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋y 2
＝
94⎝ ⎛⎭
⎪⎫53<x ≤3.
(3)由题意知直线L 表示过定点T (4，0)，斜率为k 的直线.结合图形，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋y 2＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫53<x ≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253按逆时针方向运动到⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253的圆弧.
根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5
3
，－253，则k PT ＝25
34－53
＝257，而当
直线L 与轨迹C 相切时，
⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k 2－4k k 2＋1＝3
2
，解得k ＝±34在这里暂取k ＝34，因为257<3
4，所以
k PT <k .
结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当－257≤k ≤0或k ＝3
4时，直线L 与x 轴对称
下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－257≤k ≤257或k ＝±3
4
，
综上所述：当－257≤k ≤257或k ＝±3
4时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一交点.
21.(2014·新课标全国Ⅰ，20)已知点P (2,2)，圆C ：x 2
＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.
21.解(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2
＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.
设M (x ,y ),则CM →＝(x ,y -4)，MP →＝(2-x ,2-y ).由题设知CM →·MP →
＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2-y )＝0，即(x －1)2
＋(y －3)2
＝2.
由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2
＋(y －3)2
＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3
.
又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16
5.。