2019届湖南省 怀化市 高三3月第一次模拟考试 数学(文)试题 PDF版含答案

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2019届高三一模 文科数学参考答案
9提示:AQ OA S OAQ 弧扇形⋅=2，AP OA S OAP ⋅=∆2
,又AP AQ =弧 ∴OAP OAQ S S ∆=扇形, 21S S =∴
10提示：设),(11y x A ，),(22y x B ，则32221121=⋅=x y x y k k ，又1212x y =，2222x y =， ∴621=y y .将直线l ：b my x +=代入x y 22=，得0222=--b my y ，∴6221-=-=b y y
∴3-=b .即直线l ：3-=my x ，所以l 过定点），（03-
11提示：⎪⎭⎫ ⎝
⎛+==AC AB AD AG 3132
∵ 120=∠A ，2-=⋅AC AB ，∴
2120cos -==⋅ AC AB
设y
x ==, ∴4= 即4=xy
()21133AG AB AC AB AC ∴=+=+22123AB AC AB AC
=++⋅
13
= 而8222=≥+xy y x （当且仅当y x =取等号）
∴32≥即
的最小值为 12提示：图象法，作|ln |,x y x y a ==的图象，不妨设12,x x <则0<121,x x <<
从而12ln 0,ln 0,x x <>所以121
2ln ,ln ,x x x a x a -== 故121212
12ln()ln +ln +0,0<1x x x x x x a a x x ==-<<所以 .
二、填空题（4520''⨯=）：
13. 4; 14. 12； 15.
32； 16.2
16提示（法一）:双曲线的渐近线方程为x a
b y ±=，焦点为()0,1
c F -，()0,2c F ， 由题意可得00x a b y =，①
又21MF MF ⊥，可得10
000-=-⋅+c x y c x y ， 即为22020c x y =+，② 由222c b a =+，联立①②可得a x =0，b y =0，
由F 为焦点的抛物线2C ：px y 22=()0>p 经过点M ，
可得pa b 22=，c p =2
， 即有2224a c ac b -==， 由a
c e =，可得0142=--e e ， 解得52+=e （法二） 21MF MF ⊥ ，O 为21F F 中点，∴c F F OM ==212
1 ()b a M ,∴ 又p c 21=
， ca b 42=∴ （下同法一） 17解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d.因为3105,100.a S ==
所以11
251045100+=⎧⎨+=⎩a d a d ……………2分 解得11
2=⎧⎨=⎩a d ………………4分 所以1=+1)21n a a n d n -=-（.……………6分
（II ）由（I ）可知221111()(5)(24)(2)22n n b n a n n n n n n =
===-++++……………8分
∴n n b b b T +⋅⋅⋅++=21
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21111115131412131121n n n n ……………10分 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=)2)(1(322321n n n T n ……………12分
18（I ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥……………2分
∴⊥PA 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，∴BD PA ⊥……………4分
又A AC PA =⋂，∴⊥BD 平面PAC ，
又⊂BD 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ……………6分
（II ）连接OE ，由（Ⅰ）知⊥BD 平面PAC ，⊂OE 平面PAC ，
∴OE BD ⊥……………7分
∵8=BD ，由()42
1min =⋅=∆OE BD S BDE 得：()1min =OE ……………8分 ∴当PC OE ⊥时，OE 取到最小值1……………9分 此时22132222=-=-=OE OC CE ……………10分
作PA EH //交AC 于H ，∵⊥PA 平面ABCD ，∴⊥EF 平面ABCD ……………11分
由EH ＝＝．得点E 到底面ABCD 的距离
32
2=EH ……………12分 19解：（Ⅰ）由题意得，557ˆ 6.684
b =≈.......................2分 33 6.626138.6ˆa =-⨯=-..............................4分
关于的线性回归方程为： 6.6138.6ˆy x =-..........................6分
（Ⅱ）线性回归方程对应的相关指数为： 9398.00602.013930
64.23612=-≈-=R ......................8分 因为.....................9分
所以回归方程，比线性回归方程 6.6138.6ˆy x =-拟合效果更好..............10分 由知，当温度时，
..................................11分 即当温度为时该批紫甘薯死亡株数为190.............................12分
20解：（I ）设椭圆C 的方程为122
22=+b
y a x ()0>>b a ，则由题意知1=b ……………2分 ∴
552222=-a b a ．即552112=-a ∴52=a ……………4分 ∴椭圆C 的方程为1522=+y x ……………5分
∴y ∴x ()i ˆ 6.6138.6y
x =-0.93980.9522<0.2303ˆ0.06x y
e =()ii ()i 35x C =︒0.230335ˆ0.060.063167190y
e ⨯=≈⨯≈35C ︒
（II ）设A 、B 、M 点的坐标分别为()11,y x A ，()22,y x B ，()0,0y M ．
又易知F 点的坐标为()0,2 ……………6分
显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是)2(-=x k y ……………7分 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得
052020)51(2222=-+-+k x k x k ……………8分 ∴22
215120k k x x +=+ ，
222151520k k x x +-=……………9分 ∵AF m MA = ， BF n MB =
∴将各点坐标代入得112x x m -=，
222x x n -=……………11分 ∴10)(242)(2222
12121212211-=⋅⋅⋅=++--+=-+-=+x x x x x x x x x x x x n m ……………12分 21解：
（I ）)(x f 的定义域为),0(+∞，()b ax x x f --='1……………1分 由0)1(=f ，得a b -=1．
∴()x
x ax a ax x x f )1)(1(11-+-=-+-='……………2分 ①若0≥a ，由()0='x f ，得1=x ．
当10<<x 时，()0>'x f ，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，()0<'x f ，此时)(x f 单调递减． 所以1=x 是)(x f 的极大值点……………3分
②若0<a ，由()0='x f ，得1=x ，或a x 1-
=． 因为1=x 是)(x f 的极大值点，所以11>-a
，解得01<<-a ……………4分 综合①②：a 的取值范围是1->a ……………5分
（II ）因为方程2mf （x ）＝x 2有唯一实数解，
所以x 2﹣2mlnx ﹣2mx ＝0有唯一实数解……………6分
设g （x ）＝x 2
﹣2mlnx ﹣2mx ，则()x m mx x x g 2222--='……………7分 令()x g '＝0，x 2﹣mx ﹣m ＝0．因为m ＞0，x ＞0，
所以02
421<+-=m m m x （舍去），2422m m m x ++=……………8分 当x ∈（0，2x ）时，()x g '＜0，g （x ）在（0，2x ）上单调递减， 当x ∈（2x ，+∞）时，()x g '＞0，g （x ）在（2x ，+∞）单调递增 当x ＝2x 时，()x g '＝0，g （x ）取最小值g （2x ）……………9分
则()()⎩⎨⎧='=0022x g x g 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--0
2ln 22222222m mx x mx x m x ……………10分 所以2mlnx 2+mx 2﹣m ＝0，因为m ＞0，所以2lnx 2+x 2﹣1＝0（*）
设函数h （x ）＝2lnx +x ﹣1，因为当x ＞0时，h （x ）是增函数，
所以h （x ）＝0至多有一解……………11分
因为h （1）＝0，所以方程（*）的解为x 2＝1，即12
42=++m m m ，解得21=m ……………12分 22解（Ⅰ）∵曲线C 的参数方程为()为参数ϕϕϕ⎩⎨
⎧==sin 3cos 2y x , ∴曲线C 的普通方程为
＝1........................................2分 ∵直线l 的极坐标方程是：6
sin cos 21
θθρ+= ∴6sin cos 2=+θρθρ，....................................................3分
∴直线l 的直角坐标方程为062=-+y x ．..............................5分
（Ⅱ）∵点P 是曲线C 上的动点，
∴设P （2cos φ，3sin φ），则P 到直线l 的距离： ()56
sin 5146
sin 3cos 4-+=+-+=θϕϕϕd ,tan θ＝34.
.................8分 ∴当sin （θϕ+）＝﹣1时，点P 到直线l 距离取最大值d max ＝
＝...............9.分 当sin （θϕ+）＝1时，点P 到直线l 距离取最小值d min ＝＝
．.............................10分
23解：（I ）由已知可得12,0
()1,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩
，所以m i n ()1
f x = 因为()|1|f x m ≥-恒成立，所以|1|1m -≤
，从而可得02m ≤≤ 所以实数m 的最大值M=2……………5分
（II ）由（I ）知，M=2，所以222,a b +=要证2.a b ab +≥，
只需证22()(2),a b ab +≥即证22224,ab a b +≥即证22210,a b ab --≤即(21)(1)0,ab ab +-≤
又因为,a b 是正数，所以210,ab +>
故只需证10,ab -≤即1,ab ≤而2=222a b ab +≥，可得1,ab ≤故原不等式成立………10分。