摆的周期问题

摆的周期问题
通过中学对单摆运动的学习，我们知道单摆的振动周期T 和振幅A 无关，和摆球的质量m 无关，和摆长l 有关，且摆长l 越长，振动越慢，摆动周期T 就越大；和重力加速度g 有关，且重力加速度越大，摆动周期就越小。

我们还得到了单摆的周期公式：g
l T
π
2=。

而我们说的单摆只是一种理想化
的模型，实际中的摆只要求摆线是不可伸缩的，摆球的直径远小于摆线的长度。

一．下面对几种简单的摆的周期进行推导：
例1．如图1，一长为l 的不可拉伸的细线，拴着一个直径远小于l 的质量为m 的钢质小球，小球静止时处于O 处，现把小球轻轻拉离平衡位置O 处至M 处，然后静止释放小球，小球将在MN 之间做来回摆动。

在忽略空气阻尼下，这就是一个传统的单摆模型。

求其摆动周期。

解析 如图1,当摆球处于O 处时,摆球所受到的重力G 和细线拉力T 作用,且两力相平衡,摆球所受合力为零,此处即为单摆运动的平衡位置。

摆球在偏离平衡位置的任意一点P 处，摆球受到的重力G 和细线拉力T 将不再平衡，摆球将在两个力的共同作用下加速靠近平衡位置（或者减速离开平衡位置）。

在P 点，摆球所受到的重力G 沿圆弧切线方向的分力
θ
sin 1mg G =。

这就是提供摆球作为来回摆动的回复力F ，且θ
s i n 1mg G F
==，
N G
G
图 1
当偏角θ很小﹝如θ＜5°﹞时，l
x ≈
≈θθ
s in ，所以单摆受到的回复力
x
l mg F -
=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复
力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、l 都是确定的常数，所以l
mg 可以用
常数k 来表示，于是上式可写成kx F
-=。

因此，在偏角θ
很小时，单摆受到
的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。

那么回复力F 就可以用公式kx F
-=来表示，其中k
是比例系数，且k 等于
l
mg ，
x 是位移。

假设在t 时刻（位移是x ）小球的加速度为a ，根据牛顿第二运动
定律有：kx
ma F
-==，即x
m
k a
-
=。

因此小球的加速度a 与它相对平衡位置
的位移x 成正比，方向与位移x 相反。

因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。

把加速度a 写成
2
2
dt
x d ，并把常数
m
k 写成2ω得到
x dt
x d 2
22
ω-=,可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。

这说明小球的位移x 是按正弦曲线
的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为T
l
πω2g =
=，从而得
到作简谐运动物体的周期为g
l T
π
2=。

例2．如图2所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根等长的细线悬挂一个小球而构成的。

已知摆长为L ，摆线与天花板之间的夹角为θ。

求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。

解析 小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为θsin L ，其他条件与例1相仿，所以此双线摆的周期g
T
θπ
Lsin 2=。

例3． 如图3所示，求在匀加速上升的升降机内单摆的周期。

图 2
解析 设升降机匀加速上升的加速度为a ，单摆的摆长为L ，摆球的质量为m 。

当摆球在平衡位置保持相对静止．．．．时，摆球受到的力如图5所示即摆线的拉力T 和重力G 以及惯性力
ma
F ='，方向与系统的加速度方向相反。

摆球所受到的外力
中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力
ma
mg F +=，因此
a
g m
F g +==
'，所以单摆的周期
a
g L g L T +='=π
π
22。

例4．如图4所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内，单摆的摆长为L ，系统水平向右的加速度为a
摆球的质量为m ，求这一单摆的周期。

解析 摆球受到摆线的拉力T 和重力G 以及惯性力
ma
F ='，惯性力的方向与系统的加速度方向相反。

摆球所受到的外力中除
去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力
2
2
g
a m F
+=，因此， 2
2g
a g +=
'，单摆的周期2
2
2g
a L T
+=π。

例5．如图5所示为一单摆，摆绳长为L ，摆球的质量为m 摆球带有正电荷的电量为q ，在单摆的悬点处放有一带电量为
Q 的正电荷，试求这一单摆的周期。

解析 摆球受到摆绳的拉力T 、重力G 和电场力F '。

其中电场力F '始终沿着摆绳的方向，当摆球在平衡位置保持相对静．．．
止．
时，摆球受到的外力中除去所有的始终沿着摆绳方向的力，剩余的各力沿着摆绳方向的合力mg
F
=，g
m
F g ==
'。

因此，单摆的周期是g
l T
π
2=。

例6．如图6所示，单摆处在方向垂直纸面向里的磁场中，已知摆球的
图 3
a
图 4
图 5
带电量为q +，磁感应强度为B ，求该单摆的周期。

解析 摆球在平衡位置周围往复运动时，除了重力和拉力 外，还将受到洛伦兹力的作用，而洛伦兹力的方向总是沿着 摆线的方向， 摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线 方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力mg
F =，g
m
F g ==
'。

因此，单
摆的周期是g
l T
π
2=。

图 6。