[推荐学习]2019年高考数学专题01高考考前调研卷一

专题01 高考考前调研卷（一）
【试题说明】命题者认真研究近几年新课标全国卷高考试题，命题时严格按照全国Ⅰ卷格式编排，以最新发布的2018年全国卷《考试说明》为依据，内容确保不超纲。

调研卷体现高考“前瞻性”和“预测性”。

试卷力争做到形、神与新课标全国卷风格一致，让学生和教师有“高考卷”的感觉。

试卷中知识点分布、试卷的总字数（包括各科选择题的题干字数、大题材料的长度、信息的有效性）、选项文字的长度、答案的规范、难易度的梯度等，都要符合高考试卷特点。

一．选择题
1. 已知集合{0,1,3},{|(1)(2)0,}A B x x x x Z ==+-<∈，则A ∩B 的子集个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】.C
【解析】：∵{0,1,3},A ={|(1)(2)0,}{0,1}B x x x x Z =+-<∈=，∴A ∩B={0， 1，2}∩{0，1}={0，1}．所以A ∩B 的子集个数4个。

故选：C ． 2. 设i 为虚数单位，复数z 满足
21i
i z
+=-,则复数||Z =（ ）
A ．2
B ．
32 C ．12 【答案】C
3.设0a b >>,则下列不等式成立的是（ ）。

A. 113
3
a b < B. sin sin 0a b -> C. 11a b > D.11
()()033
a b -< 【答案】.D
【解析】：A 由于幂函数1
3
y x =是单调递增函数，所以A 错误；,,sin sin 04
x y a b π
π==
∴-<,所以B 错
误；显然C 也错误；D 由于1
()3
x
y =是单调递减函数，所以11()()03
3
a
b
-<成立。

4. 已知关于x 的不等式2
680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围为区间D ，在区间[-1,3]上随机取一个数k ，k D ∈的概率是（ ）。

A.
12 B. 13 C. 14 D. 1
5
【答案】.C
5.《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，AB=4，1
//
2
EF AB =
，若这个刍甍的体积为
40
3
，则CF 长度为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3 D4 【答案】C
【解析】：取CD ，AB 的中点M ，N ，连接FM ，FN ，
则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分，设E 到平面ABCD 的距离为h ，
则
1140
4h 242233
h ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴h=2，∵CN =3=. 6. 在△ABC 中，使得tan ,tan ,tan A B C 依次成等差数列的tan B 的取值范围是tan 1B ≥的（ ） A.充分条件 B.充要条件 C 必要条件 D 即不充分也不必要条件 【答案】.A
【解析】：由已知得2tanB=tanA+tanC ＞0（显然tanB ≠0，若tanB ＜0，因为tanA ＞0且tanC ＞0，tanA+tanC
＞0，这与tanB ＜0矛盾）， 又tanB=﹣tan （A+C ）=tan tan 2tan 01tan tan 1tan tan A C B
A C A C
+-
=-≠--，所以tanAtanC=3．
又（2tanB ）2
=（tanA+tanC ）2
=tan 2
A+tan 2
C+2tanAtanC ≥4tanAtanC=12， 因此tan 2
B ≥3，又tanB ＞0，所以，所以
一定可以推出tan 1B ≥，但是反过来不一
定成立，所以选择A 。

7. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）cm 3
．
A ．4+
23π B ．4+32π C ．6+23π D ．6+3
2
π 【答案】D
【解析】：由三视图还原原几何体如图，
是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，
半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3． ∴V=
2113
223136222
ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+． 故选：D ．
8..已知某函数在[,]ππ-上的图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）。

A.sin 2x y =
B. cos ||y x x =+
C.ln |cos |y x =
D. sin ||y x x =+ 【答案】. A
9. 更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入a=204，b=85，则输出的a 值是（ ）
A ．16
B ． 17
C ．18
D ．19 【答案】.B
【解析】：第一次循环得：a=204-85=119； 第二次循环得：a=119-85=34; 第三次循环得：b=85﹣34=51； 同理，第四次循环b=51﹣34=17； 第五次循环a=34﹣17=17， 此时a=b ，输出a=17，故选：B ．
10. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos cos 2cos a B b A c C +=，并且c=，
△ABC 的面积为
，则△ABC 的周长．（ ）．
【答案】.D ；
11．设F 1，F 2分别是椭圆：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△
A 12F F 的面积是△
B 12F F 的三倍，23
cos 5
AF B ∠=
，则椭圆E 的离心率为（ ）
A ．
12 B ．23 C ．2 D ．2
【答案】.D;
【解析】：设|F 1B|=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB|=4k ， ∴|AF 2|=2a ﹣3k ，|BF 2|=2a ﹣k
∵23cos 5
AF B ∠=
，在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF 2|2+|BF 2|2﹣2|AF 2|•|BF 2|cos ∠AF 2B ，∴（4k ）2
=（2a ﹣3k ）2+（2a ﹣k ）2
﹣65
（2a ﹣3k ）（2a ﹣k ），
化简可得（a+k ）（a ﹣3k ）=0，而a+k ＞0，故a=3k ，
∴|AF 2|=|AF 1|=3k ，|BF 2|=5k ，∴|BF 2|2
=|AF 2|2
+|AB|2
，∴AF 1⊥AF 2，
∴△AF 1F 2是等腰直角三角形，∴c=2
a ，∴椭圆的离心率e=2c a ==，
故选：D ． 12.已知定义在(0,
)2
π
上的函数，'()f x 为其导函数，且'()sin ()cos 0f x x f x x ->恒成立，则（ ）
A ．()2()26f f ππ>
B ()()
4
3π
π
>
C ()()63f ππ<
D ．(1)2()sin16
f f π
<
【答案】C;
二．填空题
13. 为了调查消费者对网购的满意度，用系统抽样的方法从400位消费者中抽取容量为20的一个样本，将400人随机编为1﹣400号，按编号顺序平均分为20各组（1﹣20号，21﹣40号，…381﹣400号），若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为16，则第15组抽取的号码为 ． 【答案】.296；
【解析】：样本间隔为400÷20=20，若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为16，则第15组抽取的号码为16+14×20=296，故答案为：296.
14.已知平面向量,a b ，(2,3),||4,||6,a b a b ==+=并且则a b 在上的投影是______。

【答案】
13
8
； 【解析】由(2,3)a =可得：||7a =，对||6a b +=两边平方可得：
2213||||2.36,7162.36,.2
a b a b a b a b ++=∴++=∴=
， 所以a b 在上的投影是
13
.13
24
8||a b b == 15.已知双曲线()22
2210,
0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆22(2x
y +=相交，则双曲线的离心率的范围
是________。

【答案】.1e <<；
16. 斜解一个长方体，得两个两底面为直角三角形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”，今有一“堑堵”
EFG 面上的四面体的体积最大值是3，则该球的体积是______。

【答案】.
323
π
； 【解析】如果以ABC 为底面的三棱锥的体积最大，由于底面ABC 是定值，所以当顶点与其在底面的射影垂直底面时体积最大，所以
1
h 3h 33
ABC S ∆⨯==，所以，即EC=3， 设O 是球心，△ABC 所在球的小圆的圆心在斜边
AC 上，设小圆圆心是Q,在直角三角形AQO 中，
2222
22
,(3)OA AQ OQ R R =+∴=+-,解得R=2，所以球的体积是： 343233
V R π
π==.
三．解答题
17.在等比数列{}n a 中，132420,40a a a a +=+=。

（1）求数列{}n a 通项公式；
（2）正项等差数列{}n b 中，12315b b b ++=，若1232,5,13b b b +++成等比数列，求数列{}n
n
b a 的前n 项和T n ．
【解析】：等比数列{}n a 中，132420,40a a a a +=+=，所以241340
220
a a q a a +===+，…………2分
所以111920,2a a a +=∴=，
所以1222n n n a -=⨯=。

…………4分
所以21113.
5.(21).222
n n T n =++++， 23111111
3. 5.(21).(21).22222
n n n T n n +=+++-++， 两式相减得：
2311111
11
3.2()(21).2222
22n n n T n +=++++
-+， 即
2311
1111111
3.()(21).22222
22n n n T n -+=+++++
-+， 即123211111
111231)(21).3(21).1222
22212
n n n n n T n n ---
=++
++++-+=+-+
- =25
52n
n +-
………………12分 18. 在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面A 1BA ；
（Ⅱ）若AD =AB=BC=2，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积．
（Ⅱ）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥AB ． ∵AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上， ∴AD ⊥A 1B ．
在Rt ∠△ABD 中，AD =AB=BC=2，
sin AD ABD AB ∠=
=
在Rt ∠△ABA 1中，0
1tan60AA AB ==（8分）
由（Ⅰ）知BC ⊥平面A 1AB ，AB ⊂平面A 1AB ，
从而BC ⊥AB ，11
.22222
ABC S AB BC ∆==⨯⨯=． ∵P 为AC 的中点，1
12
BCP ABC S S ∆∆==（10分）
∴11111.133P A BC A PBC BCP V V S A A --∆==
=⨯⨯=（12分） 19.某市甲、乙两地为了争创市级文明城市，现对甲乙两地各派10名专家对两地打分评优，所得分数情况
如下所示．
（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值；并且计算乙地的中位数；
（2）在对甲乙两地所打成绩中超过90分中抽取2个成绩分析合理性，其中2份成绩都是来自甲地的概率。

【解析】（1）解析：甲地平均数=
77788385808988999792
86.810
+++++++++=
乙地的平均数=
65727579828084869691
8110
+++++++++= 乙地的中位数是：
8280
812
+=………………6分
20. 已知点00(,)M x y 在圆224x y +=上运动，且存在一定点N （6，0），点P （x ，y ）为线段MN 的中点． （1）求点P 的轨迹方程
（2）过A(0,1)并且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹方程交与点E,F ，是否存在实数k 使得.13,(OE OF O =是坐标原点）；如果存在求出k 的值；并且求出|EF|长度，如果不存在，请说明理由。

【解析】：（1）由中点坐标公式得：
00
62
2
x x y y +⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，即0026,2x x y y =-=．…………2分 ∵00(,)M x y 在圆224x y +=上运动， ∴22004x y +=． 即22(26)(2)4x y -+=．
整理得22(3)1x y -+=；…………4分
212122
13611.131k k OE OF x x y y k ++=+==+，所以12k =。

…………9分 经过A 的直线方程是：1y kx =+，圆心（3，0），半径R=1
1=解得304k k ==-或，所以当304
k -<<,经过A 的直线方程是：1y kx =+有两个交点，显然这样的直线不存在，所以不存在实数k 使得.13,(OE OF O =是坐标原点）；…………12分。

21.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当a=1时，若方程ln x x -=m （m ＜﹣2）有两个相异实根12,x x ，且12x x <，证明：212.2x x <．
【解析】：（1）'11()(0)ax f x a x x x
-=-=>…………1分 ①当0a ≤时，由于x ＞0，得：1﹣ax ＞0，'()f x ＞0，
所以()f x 的单调递增区间为（0，+∞），…………2分
②当a ＞0时，'()f x =0，得1x a =
， 在区间（0，1a
）上，'()f x ＞0，
在区间（
1a
，+∞）上，'()f x ＜0， 所以f （x ）的单调递增区间为（0，1a
）， 单调递减区间为（1a ，+∞）； …………5分
令g （x ）=lnx ﹣x ﹣m
g （1x ）﹣g （222x ）=﹣x 2+2
22x +3lnx 2﹣ln2 令h （t ）=22t t -+
+3lnt ﹣ln2（t ＞2）， 则2'3(2)(1)()t t h t t
-+=-．…………9分 当t ＞2时，h′（t ）＜0，h （t ）是减函数，所以h （t ）＜h （2）=2ln2﹣
32＜0． 所以当22x > 时，g （1x ）﹣g （222x ）＜0，即g （1x ）＜g （22
2x ） 因为g （x ）在（0，1）上单调递增，
所以x 1＜22
2x ，故212.2x x <． 综上所述：212.2x x <………………12分
22. 在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l
的极坐标方程为sin()4π
ρθ-=．以原点
O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，在极坐标系中．曲线C
：(sin x y ααα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩是参数）； （1）直线l 化为普通方程并且求出直线的斜率；
（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．
（2）曲线C 上任取一点A
α，sin α），则点A 到直线的距离为
则点A 到直线的距离为
0=显然当0sin(60)1α-=-，距离d 取得最大值，此时最大值是
10分.
23. 已知函数()|2|||(0)f x x x a a =++->，若()7f x ≥的解集是{|34}x x x ≤-≥或。

（1）求a 的值；
（2）若,x R ∀∈不等式3()(1)f x f a >+恒成立，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）因为2a >-，所以22,2()2,222,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+->⎩
，…………2分
作出函数()f x 的图象，如图所示：
由()7f x ≥的解集为{|34}x x x ≤-≥或及函数图象，
可得627827
a a +-=⎧⎨+-=⎩，得3a =．…………6分
（2）解：,x R ∀∈不等式3()(1)f x f a >+恒成立，即,x R ∀∈不等式
3[|2||3|]|3||2|x x a a ++-≥++-恒成立，。