山东专版2019版中考数学总复习第六章空间与图形6.3解直角三角形试卷部分课件20180917218

BAO= 3 = BO = 3 ,
5 AB 5
∴BO=9,∴AO= AB2 OB2 = 152 92 =12,∴AC=2AO=24.
考点三 解直角三角形的应用
1.(2016济南,12,3分)如图,为了测量石坝的坡度(坡面的垂直高度与水平宽度的比称为坡度).把 一根长5 m的竹竿斜靠在石坝旁,测得竹竿长1 m处的点D离地面的高度DE=0.6 m,又测量出竹 竿的底端距石坝的距离AB=3 m,则石坝的坡度为 ( )
正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻
加速,若以75海里/小时的速度继续航行,则
小时即可到达.(结果保留根号)
答案 18 6 3 5
解析 过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,过点M作MN⊥AB,垂足为N.
AB=60×1.5=90海里, 设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向可知,∠PAQ=45°, ∴AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里, 在Rt△PBQ中,∠PBQ=90°-30°=60°,
EB EF BF
点E是边BC的中点,AD=BC,∴ AD = AF = DF =2.设EF=x,则AF=2x,在Rt△ABE中,可得BF= 2 x.
EB EF BF
∵ DF =2,∴DF=2 2 x.在Rt△DEF中,tan∠BDE= EF = x = 2 .故选A.
ห้องสมุดไป่ตู้BF
DF 2 2x 4
2.(2018日照,10,3分)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的☉O的圆心O在格点上, 则∠BED的正切值等于 ( )
1 2
x

·tan
15.6°= 3 x+2, 2
即 0.216

1 2
x

×0.28=0.86x+2,解得x=1.5.
答:保温板AC的长约是1.5米.
AD
AD
解得AD=200 3 (米).
在Rt△BCD中,∠B=45°,
∴∠BCD=45°.
∴BD=CD=200米.
∴AB=AD+BD=200 3 +200=200( 3 +1)米.
即A、B两点的距离是200( 3 +1)米.
故答案为200( 3 +1).
6.(2018临沂,22,7分) 如图,有一个三角形的钢架ABC,∠A=30°,∠C=45°,AC=2( 3+1)m.请计算 说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门.
.
答案 4 2 解析 如图,连接OB,OC,∴∠A=45°,∴∠O=2∠A=2×45°=90°,∴在Rt△OBC中,OC=BC·sin 45°
=4× 2 =2 2 ,∴☉O的直径为4 2 . 2
2.(2017烟台,14,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC= 3 ,则sin A =
.
2
答案 1
2
解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC= 3 ,
∴sin A= 3 ,∴∠A=60°,∴sin A =sin 30°= 1 .
2
2
2
3.(2015滨州,14,4分)如图,菱形ABCD的边长为15,sin∠BAC= 3 ,则对角线AC的长为
.
5
答案 24 解析 连接BD,交AC于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,在Rt△AOB中,∵AB=15,sin∠
道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30
°,B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、D、B在同一直线上,
则A、B两点的距离是
米.
答案 200( 3 +1)
解析 由题意,得∠A=30°,∠B=45°.
在Rt△ACD中,tan A= CD ,即tan 30°= 200 ,
参考数据: 3 ≈0.86,sin 9°≈0.16,cos 9°≈0.99,tan 9°≈0.16,sin 15.6°≈0.27,cos 15.6°≈0.96, 2
tan 15.6°≈0.28
解析 设AC=x米,在Rt△ABD中,∵tan 9°= AB = 2 ,
BD BD
∴BD= 2 .
tan 9
东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到
海岸线l的距离是
km.
答案 3 解析 如图所示,过点C作CH⊥l,垂足为H.由题意得∠ACH=60°,∠CBH=60°,∠BCH=30°.设
CH=x km,在Rt△ACH中,AH=CH·tan∠ACH=x·tan 60°= 3 x.在Rt△BCH中,BH=CH·tan∠BCH=
格点上,则∠BAC的正弦值是
.
答案 5 5
解析 由勾股定理可得,AB2=32+42=25,BC2=12+22=5,AC2=22+42=20,∴AB2=BC2+AC2,∴∠ACB=9
0°,∴sin∠BAC= BC = 5 = 5 . AB 25 5
考点二 解直角三角形
1.(2018泰安,14,3分)如图,☉O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则☉O的直径为
2
∴ED=BD-BE=BD-AG= 2 - 1 x,
tan 9 2
在Rt△CED中,tan∠CDE= tan 15.6°= CE ,
ED
∴CE=ED·tan
15.6°= tan29

1 2
x

·tan
15.6°,
又CE=CG+GE= 3 x+2, 2
∴
2 tan 9

PC
5.(2018滨州,15,5分)在△ABC中,∠C=90°,若tan A= 1,则sin B=
.
2
答案 2 5 5
解析 设Rt△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°,根据tan A= 1 ,可设a=1,则b=2,c=
2
5
,所以sin
B= 2 5
= 2 5 5
.
6.(2018德州,16,4分)如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在
过点C作CE⊥BD,垂足为E,过点A作AG⊥CE,垂足为G, 如图,在Rt△AGC中,∵∠BAC=150°,∴∠CAG=60°,
∵sin∠CAG= CG ,cos∠CAG= AG ,
AC
AC
∴CG=AC·sin∠CAG= x·sin 60°= 3 x, 2
AG= AC·cos∠CAG= x·cos 60°= 1 x,
tan 60°= x = 3 ,
x 90
解得x=135+45 3 . 经检验,x=135+45 3 是分式方程的解,且符合题意. 在Rt△BMN中,∠MBN=90°-60°=30°,
∴BM=2MN=2x=2×(135+45 3 )=(270+90 3 )海里,
∴航行时间为 270 90 3 = 18 6 3 小时.
x·tan 30°= 3 x.因为AH-BH=AB,所以 3 x- 3 x=2,解得x= 3 ,即船C到海岸线l的距离是 3 km.
3
3
4.(2018潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P
在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P
A. 5 B. 2 5
5
5
C.2 D. 1
2
答案 D 如图,在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,
∴tan∠BAC= BC = 1 .∵∠BED=∠BAD,∴tan∠BED= 1 .
AB 2
2
3.(2017聊城,2,3分)在Rt△ABC中,cos A= 1 ,那么sin A的值是 ( )
2
中考数学 (山东专用)
§6.3 解直角三角形
五年中考 A组 2014—2018年山东中考题组
考点一 锐角三角函数
1.(2018枣庄,11,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE 的值为 ( )
A. 2 B. 1 C.1 D. 2
4
4
3
3
答案 A ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△ADF∽△EBF,∴ AD = AF = DF .∵
解析 如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D.
在Rt△ABD中,∵∠A=30°,∴∠ABD=90°-∠A=60°, ∴AD=tan∠ABD×BD= 3 BD; 在Rt△BCD中,∵∠C=45°,∴CD=BD, ∴AC=AD+CD= 3 BD+BD=( 3 +1)BD=2( 3 +1), 解得BD=2, 又∵2 m<2.1 m, ∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门. 思路分析 过点B作BD⊥AC,垂足为D,将△ABC转化为两个直角三角形,利用解直角三角形求 出BD的长,然后把求得的BD的长与直径2.1 m比较大小即可作出判断.
A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 答案 B 根据题意得∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC, ∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°,∴∠ADB=∠A=30°, ∴BD=AB=60 m,
∴CD=BD·sin 60°=60× 3 =30 3 ≈51(m).故选B. 2
3.(2018济宁,14,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A、B两个观测站,B站在A站的正
A. 2 B. 3 C. 3 D. 1
2
2
3
2
答案 B ∵cos A= 1 ,∴∠A=60°,∴sin A=sin 60°= 3 .
2
2
4.(2016淄博,9,4分)如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的 格点上.线段AB,PQ相交于点M.则图中∠QMB的正切值是 ( )
7.(2018聊城,22,8分)随着我市农产品整体品牌形象“聊·胜一筹!”的推出, 现代农业得到了更 快发展. 某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚,如图1.线段AB,BD分别表示大棚 的墙高和跨度,AC表示保温板的长. 已知墙高AB为2米, 墙面与保温板所成的角∠BAC=150°, 在点D 处测得A点、C点的仰角分别为9°,15.6°,如图2.求保温板AC的长约是多少米? (精确到0. 1米)
A. 3 B.3 C. 1 D.4
2
3
答案 B 如图,过点C作CF⊥AB于点F,则DE∥CF. ∴△ADE∽△ACF.
∴ AD = DE .
AC CF
∵AD=1 m,DE=0.6 m,AC=5 m,∴ 1 = 0.6 .
5 CF
∴CF=3 m. 在Rt△ACF中,由勾股定理,得AF=4 m. ∵AB=3 m, ∴BF=1 m.
A. 1 B.1 C. 3 D.2
2
答案 D 设每个小正方形的边长为1,过点P作PC∥AB,连接QC,则∠QMB=∠P. ∵PC=2 2 ,QC=4 2 ,PQ=2 10 , ∴PC2+QC2=PQ2,∴△PCQ为直角三角形,且∠C=90°,
∴tan∠P= QC =2,即tan∠QMB=2.故选择D.
75
5
思路分析 解题的关键是构造直角三角形,先过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,过点M作MN⊥AB,垂
足为N.设PQ=MN=x海里,解Rt△APQ和Rt△PBQ求得x的值,再解Rt△BMN求出BM的长度,利用
路程、速度和时间的关系解答即可.
5.(2015东营,14,3分)4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频
2.(2016济南,12,3分)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学 对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60 m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计, 3 ≈1.7,结果精确到1 m,则该楼的高度CD为 ( )
∴石坝的坡度i=tan∠CBF= CF = 3 =3.
BF 1
易错警示 本题易错处有三处:一是不理解坡度的意义,找不到解题的思路,无法切入解题过 程;二是不会构造直角三角形,不能将实际问题转化为数学问题;三是不能综合利用几何知识求 出坡面BC的垂直高度与水平距离,导致求不出坡面BC的坡度. 方法规律 解决解直角三角形的应用题一般有以下几个步骤: (1)把实际问题转化为数学问题,转化的过程要注意识别方位角,仰角,俯角和坡度等概念; (2)分析题目中的已知条件和要求的线段的关系; (3)用逆推法找出已知条件和未知条件之间需要用哪些中间量(线段或角); (4)解直角三角形(有时还需先构造直角三角形); (5)写出答案.