高三数学12月调研考试试题 理 试题

2021～2021学年度第一学期高三12月份调研卷
数学〔理科〕试题
考试时间是是120分钟 ，满分是150分。

仅在答题卷上答题。

一、选择题〔此题有12小题，每一小题5分，一共60分。

〕
1.假设全集为实数集R ，集合(
)12log 210A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭
，那么〔 〕
A. 1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
B. ()1,+∞
C. [)10,1,2⎡⎤
⋃+∞⎢⎥⎣⎦
D. [)1,1,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝
⎦
2.假设12i
z i
+=
,那么复数z =〔 〕 A. 2i -- B. 2i -+ C. 2i - D. 2i +
3.假设变量,x y 满足约束条件2{ 1 1
y x
x y y ≤+≤≥-,那么2x y +的最大值是〔 〕
A. 52-
B. 0
C. 5
2
D.
53
4.在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，假设BC CD ⊥， 32AC =， 3AD =
，
3
sin ABC ∠=
ABC ∆的面积是〔 〕 A.
92
B. 152
C. 22
5.如下图的一个算法的程序框图，那么输出的最大值为〔 〕
A. B. 2 C.
D.
6.抛物线2
:4M y x =，圆()2
22:1N x y r -+= (0)r >．过点()1,0的直线l 交圆N 于
,C D 两点，交抛物线M 于,A B 两点，且满足AC BD =的直线l 恰有三条，那么r 的取
值范围为( )
A. 30,2
r ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
B. (]
1,2r ∈ C. ()2,r ∈+∞
D. 3,2r ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
7.函数()(0,1)x
f x a b a a =+>≠的图象经过点()1,3P ， ()2,5Q ．当*n N ∈时，
()()()
11n f n a f n f n -=
⋅+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，当10
33
n S =
时， n 的值是〔 〕 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8.以下函数中，在[]
1,1-上与函数2
cos
2
x
y =的单调性和奇偶性都一样的是〔 〕
A. 22x x y -=-
B. 1y x =+
C. ()2
2y x
x =+ D.
22y x =-+
9.函数f(x)＝e x
－(x ＋1)2
(e 为2.718 28…)，那么f(x)的大致图象是( )
A. B. C.
D.
10.设1F 、2F 分别为双曲线22
21x y a b
-=〔0a >， 0b >〕的左、右焦点， P 为双曲线右
支上任一点．假设
2
12
PF PF 的最小值为8a ，那么该双曲线离心率e 的取值范围是〔 〕．
A. ()0,2
B. (]1,3
C. [
)2,3 D. []
3,+∞
11.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-获得最大值，那么cos θ=〔 〕
25 B. 5
C. 25
D. 5 12.在平行四边形ABCD 中， 60A ∠=︒，边2AB =， 1AD =，假设M 、N 分别是边BC 、
CD 上的点，且满足
BM CN BC
CD
=
，那么AM AN ⋅的取值范围是〔 〕
A. []1,3
B. []1,5
C. []
2,4 D. []
2,5
二、填空题〔此题有4小题，每一小题5分，一共20分。

〕
13.在ABC ∆中， 3AB =， 5AC =，假设O 为ABC ∆外接圆的圆心〔即满足
OA OB OC ==〕，那么·AO BC 的值是__________.
14.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ， A B ，
是抛物线上的两个动点，且满足3
AFB π
∠=
，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，那么
MN AB
的最大值是
__________．
15.函数()()sin 04f x x πωω⎛
⎫
=-> ⎪⎝
⎭
，假设()f x 在区间(),2ππ上存在零点，那么ω的取值范围为__________． 16.数列
的前项和是，且
，那么数列
的通项公式
__________．
三、解答题〔此题有6小题，一共70分。

〕
17. 〔12分〕设函数()log (2)log (3),a a f x x a x a =-+-其中0a >且1a ≠. 〔1〕(4)1f a =,求a 的值；
〔2〕假设在区间[3,4]a a ++上()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 18.〔10分〕双曲线
＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．
(1)假设双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－
，求双曲线的离心率．
19. 〔12分〕等比数列{}n a 中， *112
1112
0,,,64n n n n a a n N a a a ++>=-=∈. 〔1〕求{}n a 的通项公式；
〔2〕设()()2
21?log n
n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .
20. 〔12分〕如图，椭圆22
122:1x y C a b
+= (0)a b >>的左右焦点分别为的1F 、2F ，离心
率为
32
；过抛物线2
2:4C x by =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当74MF =时，
M 点在x 轴上的射影为1F 。

连结,NO MO 并延长分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ；
OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆， OAB S ∆，设OMN
OAB
S S λ∆∆=
. 〔Ⅰ〕求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； 〔Ⅱ〕求λ的取值范围.
21. 〔12分〕函数()()3sin (0,)2
2
f x x π
π
ωφωφ=+>-≤<
的图象关于直线3
x π
=
对
称，且图象上相邻两个最高点的间隔 为π. 〔1〕求ω和φ的值；
〔2〕假设32()246
3f αππα⎛⎫=<<
⎪⎝⎭，求3cos 2πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值. 22. 〔12分〕设函数()()ln ,1x
f x x
g x xe x ==-- . (1)关于x 的方程()2
10
3
f x x m =-
+在区间[]1,3上有解，求m 的取值范围； (2)当0x >时， ()()g x a f x -≥恒成立，务实数a 的取值范围.
数学〔理科〕试题参考答案
6.C 8.D 9.C 10.B 11.C
15.115,,848⎛⎫⎛⎫
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
16.
17.〔1〕1
2
a =
.〔2〕01a <<. 【解析】〔1〕1(4)log (42)log (43)12
a a f a a a a a a =-+-=⇒=
. 〔2〕2
2
2
25()log (56)log [()],24
a a a a f x x ax a x =-+=--
由2030
x a x a ->⎧⎨->⎩得3,x a >由题意知33,a a +>故3
2a <，
从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数2
25()()24
a g x x a =--在区间[3,4]a a ++上单
调递增.
①假设01,a <<那么()f x 在区间[3,4]a a ++上单调递减，所以()f x 在区间[3,4]
a a ++上的最大值为2
(3)log (299)1a f a a a +=-+≤，即2299a a a -+≥，解得
5757
22
a a +-≥
≤
或，又01a <<，所以01a <<. ②假设3
1,2
a <<
那么()f x 在区间[3,4]a a ++上单调递增，所以()f x 在区间[3,4]a a ++上的最大值为2(4)log (21216)1a f a a a +=-+≤，221216a a a -+≤，
解得
13411341
42
a -+≤≤
，与312a <<联立无解. 综上：01a <<. 18.〔1〕
＝1〔2〕
【解析】 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±x ，∴a ＝b ，
∴c 2
＝a 2
＋b 2
＝2a 2
＝4，∴a 2
＝b 2
＝2，∴双曲线方程为＝1.
(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)， ∴直线AO 的斜率满足·(－
)＝－1，∴x 0＝
y 0.①
依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，
将①代入圆的方程得3＋＝c 2，即y 0＝c ，∴x 0＝c ， ∴点A 的坐标为
，代入双曲线方程得
＝1，即b 2c 2－a 2c 2＝a 2b 2，②
又∵a 2
＋b 2
＝c 2
，∴将b 2
＝c 2
－a 2
代入②式，整理得c 4
－2a 2c 2
＋a 4
＝0， ∴3
4－8
2
＋4＝0，
∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝，
∴双曲线的离心率为.
19.〔1〕17*1
22,64
n n n a n N --=⨯=∈〔2〕2213n n -
【解析】〔1〕设等比数列{}n a 的公比为q ，那么0q >， 因为
12112n n n a a a ++-=，所以11
111112n n n a q a q a q -+-=， 因为0q >，解得2q =， 所以17*1
22,64
n n n a n N --=
⨯=∈； 〔2〕()()()()()()2
2
2
7221?log 1?log 21?7n
n
n
n n n b a n -=-=-=--，
设7n c n =-，那么()()2
1?n
n n b c =-，
()()()()()()2222
22
212342121234212n n n n n T b b b b b b c c c c c c --⎡⎤⎡⎤=++++
++=-++-++
+-+⎣⎦⎣⎦
()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-++++-++
()()2123421226272132132
n n n n c c c c c c n n n n -⎡⎤-+-⎣⎦
=++++
++=
=-=-.
20.(1) 2
214
x y +=,24x y =;(2) [)2,+∞.
【解析】〔Ⅰ〕由抛物线定义可得7,4M c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， ∵点M 在抛物线24x by =上， ∴2
744c b b ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，即2274c b b =- ①
又由
2
c a =
223c b = 将上式代入①，得277b b = 解得1,b =
∴c =
2a ∴=，
所以曲线1C 的方程为2
214
x y +=，曲线2C 的方程为24x y =。

〔Ⅱ〕设直线MN 的方程为1y kx =+， 由2
1
{
4y kx x y
=+=消去y 整理得2440x kx --=， 设11,)M
x y （， ()
2,2N x y . 那么124x x =-，
设ON k m =， 'OM k m =， 那么21122111
'164
y y mm x x x x =
⋅==-，
所以1
'4m m
=-
， ② 设直线ON 的方程为y mx = (0)m >， 由2
{
4y mx
x y
==，解得4N x m =， 所以22141N ON m x m m =+=+， 由②可知，用1
4m
-
代替m ， 可得2
211111416M OM x m m m ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭
， 由2
2
{ 1
4
y mx
x
y =+=，解得2
241
A x m =
+，
所以22
2
21141
A m OA m x m +=+=
+，
用1
4m
-
代替m ，可得2
22
1
21116116114B m OB x m m
+
=+
=+
所以
2222
22
1141116=
1
21211614114OMN OAB
m m ON OM S m m S OA OB m m m m λ∆∆+⋅
+⋅==
⋅++⋅
++ 22
22
114114244m m m m
=+⋅+=++ 1
222m m
=+
≥，当且仅当1m =时等号成立。

所以λ的取值范围为[
)2,+∞. 21.〔1〕；〔2〕.
【解析】〔1〕由题意可得函数()f x 的最小正周期为π， 2==2π
πωω
∴∴，
再根据图象关于直线3
x π
=对称，可得2+,3
2
k k Z π
π
φπ⨯
=+
∈
结合2
2
π
π
φ-
≤<
，可得6
π
φ=-
〔2〕
32()246
3f αππα⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭
313sin .sin 6464ππαα⎛⎫⎛
⎫∴-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
再根据06
2
π
π
α<-
<
215cos 1sin 664ππαα⎛⎫⎛
⎫∴-=--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
22.〔1〕35ln32,ln 24⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦
；〔2〕0a ≤.
【解析】〔1〕方程()2
103f x x x m =-
+即为27
ln 3
x x x m -+=，令()()27ln 03h x x x x x =-+
>，那么()()()312317
'233x x h x x x x
+-=-+=-， ∴当[]1,3x ∈时， ()()',h x h x 随x 变化情况如表：
x
1
31,2⎛⎫
⎪⎝⎭ 32 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
()'h x
+
-
()h x
43
↗
极大值
↘
ln32-
()()443351,3ln32,ln 33224h h h ⎛⎫==-<=+ ⎪⎝⎭， ∴当[]1,3x ∈时，
()35ln32,ln 24h x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦， m ∴的取值范围是35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦. 〔2〕依题意，当0x >时， ()()g x f x a -≥恒成立，令
()()()()
ln 10x F x g x f x x e x x x =-=⋅--->，那么()()()()
11'111x x x F x x e x e x x +=+⋅--=⋅⋅-，令()1x G x x e =⋅-，那么当0x >时， ()()'10x G x x e =+⋅>， ∴函数()G x 在()0,+∞上递增， ()()010,110G G e =-=-， ()G x ∴存在唯一的零点()0,1c ∈，且当()0,x c ∈时， ()0G x <，当(),x c ∈+∞时， ()0G x >，那么当()0,x c ∈时， ()'0E x <，当(),x c ∈+∞时， ()'0F x >， ()F x ∴在()0,c 上递减，在(),c +∞上递增，从而()()2ln 1F x F c ce c c ≥=---，由()0G c =得10,1c c ce ce -==，两边取对数得ln 0c c +=， ()()()0,0,0F c F x F c a ∴=∴≥=∴≤，即实数a 的取值范围是0a ≤. 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。