分析力学
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2 vC 2 x i vC 2 y j , 2 2 k vC
v1J vC1 1 C1 J 1 1 C1 J v1J vC
1
600 600
I In0 I (n0 x i n0 y j )
m1vC1x m v 1 C 1 y J 11 m v 2 C2x m 2 vC 2 y J 2 2 k[(n0 x vC 2 x n0 y vC 2 y ) (n0 x vC1x n0 y vC1 y ) ( C J n C J n ) ( C J n C J n ) ] 2 y 0 x 2 x 0 y 2 1 y 0 x 1 x 0 y 1
v 2 J vC 2 2 C 2 J J vC 2 2 C2 J v2
x
(vC1 1 C1 J ) n0 (vC 2 2 C2 J ) n0 k[(vC 2 2 C2 J ) n0 (vC1 1 C1 J ) n0 ]
方程组采用工具解法
mathematic s
m1 m2 0.5 kg J 1 J 2 0.00046875kg m 2 0.075 C1 J i m 2 cos300 0.075 0 0 C2 J ( cos15 i sin 15 j ) m 0 cos 45 0 0 n sin 60 i cos 60 j 0 vC1 1 (cos60 i sin 60 j ) m / s 0 vC 2 1 ( cos 60 i sin 60 j ) m / s
(vC1 1 C1 J ) n0 (vC 2 2 C2 J ) n0 k[(vC 2 2 C2 J ) n0 (vC1 1 C1 J ) n0 ]
将碰撞前后的速度和 冲量表示为投影形式： vC1 vC1x i vC1 y j , 1 1k
得到7个方程组成的方程组，表示为矩阵形式。
0 0 0 0 n0 x m1 0 1x 0 m vC 0 0 0 0 n 1 0y v 0 0 J1 0 0 0 C1 J x n0 y C1 J y n0 x C1 y 1 0 m2 0 0 n0 x 0 0 v 0 0 C 2 x 0 0 m2 0 n0 y 2y vC 0 0 0 J2 C 2 J x n0 y C 2 J y n0 x 0 0 2 C1 J y n0 x C 2 J y n0 x n0 x n0 y n0 x n0 y 0 I C1 J x n0 y C 2 J x n0 y
例6：移动式足球机器人小车视为均匀的 75mm× 75mm的平面 运动构件。当两小车碰撞时，运动方向和转动角速度都要改变。 设小车质量m1=m2=0.5 kg，对质心的转动惯量J1=J2 =0.00046875 kg.m 2 ，方位和碰撞点如图。恢复系数为k=0.5。碰撞前小车质 心速度vC1=1m/s, vC2=1 m/s. ω1=ω2=0 ，求碰撞后两个小车的质心 速度和角速度。
y
1号小车
v C1
300
n
解： 1) 分别取两个小车为研 究对象
600
C1
vC 2
0
J
45
C2
2号小车
600
x
y
2）碰撞分析 碰撞冲量为I： 碰撞后参数： 3 ）应用碰撞过程的冲量定 理与冲量矩定理可列
1号小车
v C1
300பைடு நூலகம்
n
C1
vC 2
0
J
600
45
C2
2号小车
vC 2 vC 2 x i v C 2 y j , 2 2 k
y
1号 小 车
1 vC
C1
n v C1
300
vC 2 I
450
2号小车
2 vC
C2
J J I
2
1 vC 1x i vC 1 y j , 1 1 k vC
计算结果
1x 0.0835m / s vC 1 y 1.1065m / s vC 1 11.1069rad / s
I 0.2405kg m2
J J I
2
1
600 600
x
设t方向和n 方向单位向量为: t0 t0 x i t0 y j , n0 n0 x i n0 y j 碰撞点 速度
v1J v1J v2 J J v2 vC1 1 C1 J C1 J vC1 1 vC 2 2 C 2 J 2 2 C2 J vC
x
v v n ( v C J ) n 2J n 2J 0 C2 2 2 0 v2 J n v2 J n0 (vC 2 2 C2 J ) n0
由恢复系数定义：
J n ) /(v2 J n v1J n ) k (v1J n v2
y
1号小车
1 vC
C1
n v C1
300
vC 2 I
450
2号小车
2 vC
C2
J J I
2
1
600 600
碰撞点速度在法向方向投影
v1J n v1J v v 1J n 1J n0 (vC1 1 C1 J ) n0 1 1 C1 J ) n0 n 0 (v C
y
1号小车
1 vC
C1
n v C1
300
vC 2 I
450
2号小车
2 vC
C2
J J I
2
1
600 600
x
2 x 0.8348m / s vC 2 y 0.6255m / s vC 2 7.0417rad / s
1 vC1 ) I m1 (vC 1 ) C1 J I J 1 (1
对于2号小车
对于1号小车
600
y
1号小车
1 vC
C1
n v C1
300
x
vC 2 I
450
2号小车
2 vC
C2
2 vC 2 ) I m 2 (v C 2 ) C 2 J ( I ) J 2 ( 2
v1J vC1 1 C1 J 1 1 C1 J v1J vC
1
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I In0 I (n0 x i n0 y j )
m1vC1x m v 1 C 1 y J 11 m v 2 C2x m 2 vC 2 y J 2 2 k[(n0 x vC 2 x n0 y vC 2 y ) (n0 x vC1x n0 y vC1 y ) ( C J n C J n ) ( C J n C J n ) ] 2 y 0 x 2 x 0 y 2 1 y 0 x 1 x 0 y 1
v 2 J vC 2 2 C 2 J J vC 2 2 C2 J v2
x
(vC1 1 C1 J ) n0 (vC 2 2 C2 J ) n0 k[(vC 2 2 C2 J ) n0 (vC1 1 C1 J ) n0 ]
方程组采用工具解法
mathematic s
m1 m2 0.5 kg J 1 J 2 0.00046875kg m 2 0.075 C1 J i m 2 cos300 0.075 0 0 C2 J ( cos15 i sin 15 j ) m 0 cos 45 0 0 n sin 60 i cos 60 j 0 vC1 1 (cos60 i sin 60 j ) m / s 0 vC 2 1 ( cos 60 i sin 60 j ) m / s
(vC1 1 C1 J ) n0 (vC 2 2 C2 J ) n0 k[(vC 2 2 C2 J ) n0 (vC1 1 C1 J ) n0 ]
将碰撞前后的速度和 冲量表示为投影形式： vC1 vC1x i vC1 y j , 1 1k
得到7个方程组成的方程组，表示为矩阵形式。
0 0 0 0 n0 x m1 0 1x 0 m vC 0 0 0 0 n 1 0y v 0 0 J1 0 0 0 C1 J x n0 y C1 J y n0 x C1 y 1 0 m2 0 0 n0 x 0 0 v 0 0 C 2 x 0 0 m2 0 n0 y 2y vC 0 0 0 J2 C 2 J x n0 y C 2 J y n0 x 0 0 2 C1 J y n0 x C 2 J y n0 x n0 x n0 y n0 x n0 y 0 I C1 J x n0 y C 2 J x n0 y
例6：移动式足球机器人小车视为均匀的 75mm× 75mm的平面 运动构件。当两小车碰撞时，运动方向和转动角速度都要改变。 设小车质量m1=m2=0.5 kg，对质心的转动惯量J1=J2 =0.00046875 kg.m 2 ，方位和碰撞点如图。恢复系数为k=0.5。碰撞前小车质 心速度vC1=1m/s, vC2=1 m/s. ω1=ω2=0 ，求碰撞后两个小车的质心 速度和角速度。
y
1号小车
v C1
300
n
解： 1) 分别取两个小车为研 究对象
600
C1
vC 2
0
J
45
C2
2号小车
600
x
y
2）碰撞分析 碰撞冲量为I： 碰撞后参数： 3 ）应用碰撞过程的冲量定 理与冲量矩定理可列
1号小车
v C1
300பைடு நூலகம்
n
C1
vC 2
0
J
600
45
C2
2号小车
vC 2 vC 2 x i v C 2 y j , 2 2 k
y
1号 小 车
1 vC
C1
n v C1
300
vC 2 I
450
2号小车
2 vC
C2
J J I
2
1 vC 1x i vC 1 y j , 1 1 k vC
计算结果
1x 0.0835m / s vC 1 y 1.1065m / s vC 1 11.1069rad / s
I 0.2405kg m2
J J I
2
1
600 600
x
设t方向和n 方向单位向量为: t0 t0 x i t0 y j , n0 n0 x i n0 y j 碰撞点 速度
v1J v1J v2 J J v2 vC1 1 C1 J C1 J vC1 1 vC 2 2 C 2 J 2 2 C2 J vC
x
v v n ( v C J ) n 2J n 2J 0 C2 2 2 0 v2 J n v2 J n0 (vC 2 2 C2 J ) n0
由恢复系数定义：
J n ) /(v2 J n v1J n ) k (v1J n v2
y
1号小车
1 vC
C1
n v C1
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vC 2 I
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2号小车
2 vC
C2
J J I
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碰撞点速度在法向方向投影
v1J n v1J v v 1J n 1J n0 (vC1 1 C1 J ) n0 1 1 C1 J ) n0 n 0 (v C
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1号小车
1 vC
C1
n v C1
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vC 2 I
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2号小车
2 vC
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J J I
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x
2 x 0.8348m / s vC 2 y 0.6255m / s vC 2 7.0417rad / s
1 vC1 ) I m1 (vC 1 ) C1 J I J 1 (1
对于2号小车
对于1号小车
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1号小车
1 vC
C1
n v C1
300
x
vC 2 I
450
2号小车
2 vC
C2
2 vC 2 ) I m 2 (v C 2 ) C 2 J ( I ) J 2 ( 2