2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷(文科)(一)

2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（文科）（一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若集合2{|230}A x x x =--<，{0B =，1，2，3，4}，则(A B = )
A ．{0，2}
B ．{0，1，2}
C ．{3，4}
D ．{0，2，3}
2．（5分）设复数11i
z i
-=+，那么在复平面内复数1z -对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年，⋯⋯，第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”．现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为( )
A ．86.2米
B ．83.6米
C ．84.8米
D ．85.8米
4．（5分）已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为( ) A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
5．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为( )
A ．35
B ．
25
C ．
45 D ．15
6．（5分）设1
32020
1
2,log ,22021
a ln
b
c ===，则( ) A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
7．（5分）已知向量a ，b 满足||4a =，(3b =，6)，且(2)(3)a b a b +⊥-．则向量a 与向量b 的夹角是( ) A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 8．（5分）函数||
||
ln x y x =
的图像大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
9．（5分）已知O 的圆心是坐标原点O ，且被直线330x -+=截得的弦长为3，则O 的方程为( ) A ．221x y +=
B ．222x y +=
C ．223x y +=
D ．224x y +=
10．（5分）设函数()cos(2)3f x x π=-，则()f x 在[0,]2π
上的单调递减区间是( )
A ．[0,]6
π
B ．[0,]3
π
C ．[,]32
ππ
D ．[,]62
ππ
11．（5分）已知双曲线22
1222:1(0,0),,x y C a b F F a b
-=>>分别是双曲线C 的左、右焦点，且
12||2F F =．过点2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若2OPF ∆的面积取最大值
时，双曲线C 的离心率为( )
A ．3
B ．3
C ．2 D
．2
12．（5分）已知函数2,0
(),0x x f x x x +<⎧⎪=⎨⎪⎩，若函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，则实数
m 的取值范围是( )
A ．1
(,1)2
B ．1(,1)3
C ．1
(0,)2
D ．1
(0,)3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若x ，y 满足约束条件20202x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪⎩
，则3z x y =+的最大值为 ．
14．（5分）若偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f -=-，则(2021)f = ． 15．（5分）已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中α，β均为锐角，则
sin()4
π
αβ++= ．
16．（5分）已知α，β是两个平面，m ，n 是两条直线．有下列命题： ①如果//m n ，n α⊂，那么//m α；②如果//m α，m β⊂，n αβ=，那么//m n ；
③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，那么m β⊥．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）设数列{}n a 是等差数列，已知13a =，39a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
3
n n n b a a +=
，求122021b b b ++⋯+． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，
2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面MBC；
（Ⅱ）设点N是PB的中点，求三棱锥N MBC
-的体积．
19．（12分）随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．
某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为60%，“非青年人”使用智能手机占比为40%；日均使用时长情况如表：
时长2小时以内2~3小时3小时以上
频率0.40.30.3
将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁
使用人群”．已知“频繁使用人群”中有3
4
是“青年人”．
现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据．
（Ⅰ）补全下列22
⨯列联表；
青年人非青年人合计频繁使用人群
非频繁使用人群
合计
（Ⅱ）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
以参考数据：独立性检验界值表
20．（12分）设O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =与过点(4,0)T 的直线相交于P ，Q 两个点． （Ⅰ）求证：OP OQ ⊥； （Ⅱ）求OPQ ∆面积的最小值． 21．（12分）设函数()x f x x e =⋅，2
()
()x f x g x x -=． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设对于任意1x ，2[1x ∈，]e ，且12x x <，都有121212
()()g x g x m
x x x x -<
-恒成立，求实数m 的取值范围．
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos (sin x y α
αα=⎧⎨=⎩为参数），直线l 的参
数方程为1(3x t
t y t =-⎧⎨=+⎩
为参数）．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线；
（Ⅱ）设M ，N 分别为l 和C 上的动点，求||MN 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|2||1|f x x x =+-，x R ∈． （Ⅰ）求()2f x 的解集；
（Ⅱ）若()f x x =有2个不同的实数根，求实数的取值范围．
2021年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（文科）（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若集合2{|230}A x x x =--<，{0B =，1，2，3，4}，则(A B = )
A ．{0，2}
B ．{0，1，2}
C ．{3，4}
D ．{0，2，3}
【解答】解：2{|230}{|13}A x x x x x =--<=-<<，{0B =，1，2，3，4}，
{0A
B ∴=，1，2}．
故选：B ． 2．（5分）设复数11i
z i
-=+，那么在复平面内复数1z -对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：复数21(1)21(1)(1)2
i i i
z i i i i ---====-++-，
那么在复平面内复数11z i -=--对应的点(1,1)--位于第三象限， 故选：C ．
3．（5分）据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年，⋯⋯，第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”．现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为( )
A ．86.2米
B ．83.6米
C ．84.8米
D ．85.8米
【解答】解：由题意可知所求的高度为17.6910852686.2÷⨯≈， 所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米， 故选：A ．
4．（5分）已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的侧面积为( ) A ．4π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
【解答】解：圆锥的轴截面是边长为4的正三角形， 则该圆锥的底面圆半径为2r =，母线长为4l =， 可得它的侧面积为8S rl ππ==侧面积． 故选：B ．
5．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为( )
A ．35
B ．
25
C ．
45 D ．15
【解答】解：从五种书体中任意选两种进行研习的可能结果有2510C =种，
则他恰好不选草书体的共有2
4
6C =种， 故他恰好不选草书体的概率为63
105
P ==． 故选：A ．
6．（5分）设1
32020
1
2,log ,22021
a ln
b
c ===，则( ) A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>
【解答】解：
0121ln ln lne =<<=，01a ∴<<，
2020
20201
102021
log log <=，0b ∴<，
103
221>=，1c ∴>，
c a b ∴>>，
故选：D ．
7．（5分）已知向量a ，b 满足||4a =，(3b =，6)，且(2)(3)a b a b +⊥-．则向量a 与向量b 的夹角是( ) A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 【解答】解：||4,||3,(2)(3)a b a b a b ==+⊥-，
∴22(2)(3)3253162950a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=⨯-⨯+⋅=， ∴6a b ⋅=-， ∴61
cos ,43
2||||a b a b a b ⋅-<>=
==-⨯，且,[0,]a b π<>∈，
∴向量a 与向量b 的夹角是
23
π． 故选：C ． 8．（5分）函数||
||
ln x y x =
的图像大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【解答】解：根据题意，函数||
||
ln x y x =，其定义域为{|0}x x ≠， 有
||||||||ln x ln x x x -=-，则||
||
ln x y x =为偶函数，排除BC ， 当x →+∞时，()0f x →，排除A ， 故选：D ．
9．（5分）已知O 的圆心是坐标原点O ，
且被直线0x -+=截得的弦长为3，则O 的方程为( ) A ．221x y += B ．222x y +=
C ．223x y +=
D ．224x y +=
【解答】解：
O 的圆心是坐标原点O ，
且被直线0x -+=截得的弦长为3，设O 的方程为222x y r +=，
则弦心距为d =
=
，
∴22
23()2
r +=，解得23r =，可得圆的标准方程为223x y +=， 故选：C ．
10．（5分）设函数()cos(2)3f x x π=-，则()f x 在[0,]2π
上的单调递减区间是( )
A ．[0,]6
π
B ．[0,]3
π
C ．[,]32
ππ
D ．[,]62
ππ
【解答】解：函数()cos(2)cos(2)33f x x x ππ=-=-，令2223
x π
πππ-+，求得
26
3
x π
π
ππ+
+
， 可得()f x 的减区间为[6
π
π+
，2]3
π
π+
，Z ∈， 结合[0,]2x π∈，可得()f x 的单调递减区间为[6π，]2π
，
故选：D ．
11．（5分）已知双曲线22
1222:1(0,0),,x y C a b F F a b
-=>>分别是双曲线C 的左、右焦点，且
12||2F F =．过点2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若2OPF ∆的面积取最大值
时，双曲线C 的离心率为(
) A ．3
B
C ．2
D 【解答】解：由12||2F F =知，22c =，1c ∴=，2221a b c +==，
假设过点2(,0)F c 作双曲线C 的一条渐近线b y
x a =的垂线，则2|
|
||b
c PF b
⋅==
， ||OP a ∴，
2OPF ∴∆的面积22211111
||||()22
224
S PF OP ab a b =
⋅=⨯+=，当且仅当2a b ==时，等号成立， ∴离心率22
c e a =
==． 故选：D ．
12．（5分）已知函数2,0
(),0x x f x x x +<⎧⎪=⎨⎪⎩，若函数()()(1)g x f x m x =-+有三个零点，则实数
m 的取值范围是( )
A ．1
(,1)2
B ．1(,1)3
C ．1
(0,)2
D ．1
(0,)3
【解答】解：函数())()(1)g x f x m x =-+有三个零点， 等价于()f x 的图像和(1)y m x =+的图像有3个交点， 两个函数的图像如图示：
(1)y m x =+的图像恒过(1,0)-，
故图像有3个交点即左边1个，右边2个，
设直线(1)y m x =+与()f x 相切于点0(x ，0)y ，()2f x x
'，
则00
0(1)2m x x m x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
01
12x m =⎧⎪⎨=⎪⎩，
故1
02
m <<
时，两个函数图像有3个交点， 故实数m 的取值范围是1
(0,)2，
故选：C ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若x，y满足约束条件
20
20
2
x y
x y
x
+-
⎧
⎪
-+
⎨
⎪
⎩
，则3
z x y
=+
的最大值为14．
【解答】
解：由约束条件作差可行域如图，
联立
2
20
x
x y
=
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得(2,4)
A，
由3
z x y
=+，得
1
33
z
y x
=-+，由图可知，当直线
1
33
z
y x
=-+过A时，直线在y轴上的截
距最大，
z有最大值为14．
故答案为：14．
14．（5分）若偶函数()
f x满足(4)()
f x f x
+=，(1)1
f-=-，则(2021)
f=1
-．
【解答】解：根据题意，函数()
f x满足(4)()
f x f x
+=，
则()
f x是周期为4的周期函数，
则(2021)(14505)
f f f
=+⨯=（1），
又由()
f x是偶函数，则f（1）(1)1
f
=-=-，
则(2021)1
f=-，
故答案为：1
-．
15．（5分）已知有大小相同的三个正方形并排摆放，如图所示，其中α，β均为锐角，则
sin()
4
π
αβ
++=1．
【解答】解：由题意可得，α、β
为锐角，sinα==
，cosα==，
sinβ==
，cosβ=
sin()sin cos cos sin
αβαβαβ
∴+=+=，
4
π
αβ
∴+=，
∴sin()sin1
42
ππ
αβ
++==，
故答案为：1．
16．（5分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线．有下列命题：
①如果//
m n，nα
⊂，那么//
mα；②如果//
mα，mβ
⊂，n
αβ=，那么//
m n；
③如果//
αβ，mα
⊂，那么//
mβ；④如果αβ
⊥，n
αβ=，m n
⊥，那么mβ
⊥．其中所有真命题的序号是②③．
【解答】解：由α，β是两个平面，m，n是两条直线，知：
对于①，如果//
m n，nα
⊂，那么//
mα或mα
⊂，故①错误；
对于②，如果//
mα，mβ
⊂，n
αβ=，那么由线面平行的性质得//
m n，故②正确；对于③，如果//
αβ，mα
⊂，那么由面面平行的性质得//
mβ，故③正确；
对于④，如果αβ
⊥，n
αβ=，m n
⊥，那么m与β相交、平行或mβ
⊂，故④错误．故答案为：②③．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）设数列{}
n
a是等差数列，已知
1
3
a=，
3
9
a=．
（Ⅰ）求数列{}
n
a的通项公式；
（Ⅱ）设
1
3
n
n n
b
a a
+
=，求
122021
b b b
++⋯+．
【解答】解：()I设等差数列{}
n
a的公差为d，则由题意有
31
2
a a d
=+，
313
2
a a
d
-
==，
33(1)3
n
a n n
∴=+-=．
（Ⅱ）31111
()33(1)3(1)31
n b n n n n n n =
==-⋅+⋅++
1232021b b b b ∴+++⋯+
111111[(1)()()]322320212022=-+-+⋯+- 11(1)32022=- 2021
6066
=． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，
2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面MBC ；
（Ⅱ）设点N 是PB 的中点，求三棱锥N MBC -的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，BC ⊂平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，
BC ∴⊥平面PAC ，
PA ⊂平面PAC ，BC PA ∴⊥，
AC PC =，M 是PA 的中点，CM PA ∴⊥，CM ⊂平面MBC ， BC ⊂平面MBC ．
CM
BC C =，PA ∴⊥平面MBC ．
（Ⅱ）解：由()I 知PA ⊥平面MBC ，
N 是PB 的中点，N ∴到平面MBC 的距离是1222
4PA =
=， BC AC ⊥，BC PC ⊥，BC ∴⊥平面PAC ，BC MC ∴⊥，
1
22
MC PA =
= ∴111122
4234323
N MBC MBC V S PA -∆=⨯⨯=⨯⨯=．
19．（12分）随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．
某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为60%，“非青年人”使用智能手机占比为40%；日均使用时长情况如表：
将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁
使用人群”．已知“频繁使用人群”中有3
4
是“青年人”．
现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据．
（Ⅰ）补全下列22
⨯列联表；
（Ⅱ）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
以参考数据：独立性检验界值表
【解答】解：（Ⅰ）22
⨯列联表为：
（Ⅱ）2
2
200(90503030)28.125 6.6351208012080
K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，
故有99%的把握认为“日均使用智能于机时长与年龄有关”．
20．（12分）设O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =与过点(4,0)T 的直线相交于P ，Q 两个点． （Ⅰ）求证：OP OQ ⊥； （Ⅱ）求OPQ ∆面积的最小值．
【解答】（Ⅰ）证明：设直线:4PQ x ny =+，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 联立244x ny y x
=+⎧⎨=⎩，消去x 得，24160y ny --=，124y y n ∴+=，1216y y =-．
∴22
2
1212(16)164416
y y x x -=⋅==，12120x x y y ∴+=，
∴12120OP OQ x x y y ⋅=+=，即OP OQ ⊥．
（Ⅱ）解法1：由()I 知OP OQ ⊥，所以OPQ ∆为直角三角
形．1||||2OPQ S OP OQ ∆=⋅⋅， 由()I 知124y y n +=，1216y y =-，
∴221212121212()848,4()1616x x n y y n x x n y y n y y +=++=+=+++=，
又22
112
24,4y x y x ==，∴OPQ S ∆
=
16=
，当且仅当0n =时等号成立． 故OPQ ∆面积的最小值为16．
解法2：设:(4)PQ y x =-，代入24y x =，得2
2(4)4x x -=，
化简得
22
2
2
(8
4)16
0x x -++=，2
122
84
x x +∴+=
，1216x x =，
∴2
2
2
4
2
4
2
2
8
4
1||(
)6464
641664PQ ++
⋅-=
⋅++-
2
2
2
2
2
2
41(4
1)1614+
+
=
⋅+⋅=
⋅+，
又O 到直线PQ 的距离为：
d =，
∴2
2
2
22
14111
14
814
84162||
OPQ
S ∆+=⋅⋅+=⋅
⋅+=+
>，
当不存在时，直线:4PQ x =，则易知(4,4)P ，∴1
84162
OPQ S ∆=⋅⋅=． 综上可知，OPQ S ∆的最小值为16． 21．（12分）设函数()x f x x e =⋅，2
()
()x f x g x x
-=． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设对于任意1x ，2[1x ∈，]e ，且12x x <，都有121212
()()g x g x m
x x x x -<
-恒成立，求实数m 的取值范围．
【解答】解：()I 易知()f x 的定义域为R ，()(1)x f x x e '=+， 当1x >-时，()0f x '>，()f x ∴在(1,)-+∞上单调递增， 当1x <-时，()0f x '<，()f x ∴在(,1)-∞-上单调递减， ()f x ∴的单调递减区间是(,1)-∞-，单调递增区间是(1,)-+∞．
（Ⅱ）当12x x <时，
121212()()g x g x m x x x x -<
-恒成立，即1212
()()m m
g x g x x x +>+恒成立， 设11()()x x
m e m m e x g x x x x x
ϕ-+-=+=+=
，则()x ϕ在[1，]e 上单调递减， 即22[(1)](1)(1)
()0x x x e x m e x e m x x x ϕ-⋅-+---+'=
=， (1)(1)0x x e m ∴--+，1(1)x m x e ∴+-，
设()(1)x h x x e =-，则()0x h x xe '=-<， ()h x ∴在[1，]e 上单调递减， ()max h x h ∴=（1）0=，
10m ∴+，即1m -，
故m 的取值范围是[1-，)+∞．
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos (sin x y α
αα=⎧⎨=⎩
为参数），直线l 的参
数方程为1(3x t
t y t =-⎧⎨=+⎩
为参数）．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线；
（Ⅱ）设M ，N 分别为l 和C 上的动点，求||MN 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为1(3x t
t y t =-⎧⎨=+⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：4x y +=；
曲线C 的参数方程为3cos (sin x y ααα
=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为2
219x y +=，
所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆． （Ⅱ）设(3cos ,sin )N αα，
则||MN 就是点N 到直线l
的距离，||MN ==
(ϕ由
tan 3ϕ=决定）
． 当sin()1αϕ+=
时，||min MN ==
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()|2||1|f x x x =+-，x R ∈． （Ⅰ）求()2f x 的解集；
（Ⅱ）若()f x x =有2个不同的实数根，求实数的取值范围． 【解答】解：31,0
()()|2||1|1,0131,1x x I f x x x x x x x -+⎧⎪
=+-=+<<⎨⎪-⎩
，
由312x -+，解得：1
3x -，
由12x +，解得：1x ，无解， 由312x -，解得：1x ，
故()2f x 的解集是{|1x x 或1
}3x -．
（Ⅱ）由图易知：20
2,310
OA
OB
AC
-=
==
=-，
∴
A
o OB
<<
，
即23<<，
即的取值范围是(2,3)．。