高考数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题含答案

高考数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题含答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2a
b +=
C ．223a b +>
D ．01ab <<
【答案】ABD 【分析】
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函
数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】
由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，
函数2x
y =与2log y x =互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，
则(
),2
a
A a ，()2
,log B b b .
由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，
则2a b +=，22log 2a
b +=.因为0a >，0b >，且a
b ，
所以2
012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭
，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫
=< ⎪
⎝⎭
，(1)10f =>， 所以
1
12
a <<.
因为22222
1(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<
⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
2．已知函数()()(
)2
2
2
24x x f x x x m m e
e --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零
点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】BC 【分析】
由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于
2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.
【详解】
∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则2
2
()4()()t
t
f t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2
482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得
2()4t t e e -∴+≥
故2
()42()0t
t
f t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =
②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】
方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+
3．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪
=⎨⎪->⎩
其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确
的为（ ）
A ．当2a =时，342f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,
C ．当2a =且[](
)*
1,x n n n ∈-∈N
时，()1212242n n f x x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
D ．当0a >时，不等式()12
2x f x a -≤在[
)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】
对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]
*,1,x m m m N ∈+∈时，
()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的
值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[](
)*
1,x n n n ∈-∈N
时，
()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.
【详解】
解：对于A 选项，当2a =时，31112224
42222
f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]
*
,1,x m m m N ∈+∈时，
()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；
对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m
f x a f x m =-，故当2
a =且[](
)*
1,x n n n ∈-∈N
时，
()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫
=-+=--+- ⎪
⎝
⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故C 选项正确； 对于D 选项，取8
12a =
，34x =，则331241442f ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
，
12
2x a
-
=()311
142
4
82
488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，不满足式()1
22x f x a -≤，故D
选项错误. 故选：AC. 【点睛】
本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]
*
,1,x m m m N ∈+∈时，()()m
f x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域
为[]
0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.
4．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；
B ．()()220212f f -+-=；
C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；
D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则1
42
k <<-4k =； 【答案】BD 【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】
对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，
即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]
0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]
5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，
()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，
()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；
对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2
()24f x x x =-+；
0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；
直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，
则0200012
44124k k x kx x
x
⎧
>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩
，解得04222=2k x ⎧=-⎪
⎨⎪⎩，
要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点， 则k 的取值范围为：
1
4222
k <<-； 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点， 设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，
则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得0224
2=2k x ⎧=-⎪
⎨'-
⎪⎩
综上，方程()1f x kx =+有3个实根， 则
1
4222
k <<-或224k =-,故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.
5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( )
A ．122x x +=
B ．122x x e e e +>
C ．1221ln ln 0x x x x +<
D ．122
e x x >
【答案】ABC 【分析】
根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】
函数x
y e =与ln y x =互为反函数， 则x
y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，
将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，
由直线2y x =-+分别与函数x
y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
作出函数图像：
则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由
12
12
x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；
对于C ，将2y x =-+与x
y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，
设()2x
f x e x =+-，且函数为单调递增函数，
()010210f =+-=-<，11
2211320222f e e ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
故函数的零点在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，
12211221
1ln ln ln ln
x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；
对于D
，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
6．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称
【答案】BC 【分析】
根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】
令cos2t x =，则12222t
t
t t y -=-=-
，显然函数12222
t t t
t
y -=-=-为增函数， 当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222t
t
t t y -=-=-
在cos2[1,1]t x =∈-时，3322
y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
； 因为cos2()
cos2(cos2c )os222
)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，
所以()f x 的一个周期为π，
因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，令sin 2sin 22(2
)x
x h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2
)x
x h x --=上任意一点，
则(,)2P x y π
'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫
⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2()
)
2
2
sin 2sin 2(
)2
2
2
22x x x x h y x y π
π
π
-----=-==≠--，
知点(
,)2
P x y π
'--不在函数图象上，
故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，即4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.
7．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD 【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x
x f x e e -=+为偶函数，
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e
e -=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x
x f x e
e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
8．已知函数()22,21
ln 1,1x x f x x x e +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩
，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解
()1212,x x x x <，则
()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-
C ．0
D ．2
【答案】BC 【分析】
利用函数的单调性以及已知条件得到1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-，代入()212)x x f x -（，令12
1(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-
+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】
因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-， 从而()()2
11
212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪
⎝⎭
． 令1
21
(),(1,0]2
x g x xe
x x x +=-+∈-， 则1
()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．
因为(1,0]x ∈-，
所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2
g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤
∈-
⎥⎝⎦
，
即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤
- ⎥⎝⎦
， 故选：BC ． 【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数
121
(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.
二、导数及其应用多选题
9．已知偶函数()y f x =对于任意的0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）
A 34f ππ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B 34f ππ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()04f π⎛⎫
>- ⎪⎝⎭ D ．63f ππ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =
，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
上单调递
2643f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
可判断C 选项.
【详解】
因为偶函数()y f x =对于任意的0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()
()cos f x g x x =，则()()2
cos sin ()0cos f x x f x x g x x
'+'=>，
∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，6636cos 6
f g f ππππ⎛⎫ ⎪
⎛⎫
⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即23643f f πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫<
< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 对于AB
，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭
⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫< ⎪
⎝⎭
，(
)044f ππ⎛⎫⎛⎫
<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D
，
2363f f ππ⎛⎫
⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，即63f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对
应的新函数()
()cos f x g x x
=
，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.
10．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2y
x 上两个不同点,A B 横坐标
分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）
A ．若A
B 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB
为正三角形，则其面积为
4
C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值
14
D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积2
12||4
x x S -=
【答案】ABC 【分析】
设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方
程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A ：把抛物线焦点的坐标代入直线A
B 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】
由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，
由题意可知：点22
1122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，
由2'2y
x y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：
22
1112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，
两方程联立得：21112
2222()2()
y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12
122x x x y x x +⎧
=⎪⎨⎪=⎩
，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，
直线AB 的方程与抛物线方程联立得：
2
12122
0,y kx m x kx m x x k x x m y x
=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 1
4y =-，
因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而121
4
x x m =-=-，
显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，
= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，
此时2
2
1111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：2
1(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，
1122
x x =-⇒=-， 因此正三角形PAB
，
所以正三角形PAB
的面积为11sin 6022︒==
， 故本选项说法正确；
C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以121212
1222
121122122114
PA
PB
x x x x
x x k
k x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：1
4
y kx =+
所以P 点坐标为：1(,)24
k -，点 P 到直线AB 的距离为：
=
||AB ==
=，
因为12121
,4
x x k x x +==-
，所以
21AB k =+， 因此直角PAB
的面积为：
2111(1)224
k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值1
4
，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以
1||AB x x ===-，
点P 到直线AB 的距离为：
212=
= 所以阿基米德三角形PAB
的面积3
2121211224x x S x x -=⋅-=
， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.。