八年级-人教版-数学-上册-第2课时-分式的基本性质和约分
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像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
5 y
a
4m
x
x2
2b
3n
2y
5y x2
a
4m
2b
3n
x 2y
同号得正，异号得负．
例2
约分:
（1）
25a 2bc 3 15ab2c
；
（3） 6x2 12xy 6 y2 .
3x 3y
（2）
x2
x2
9 6x
9
；
分析：为了约分，要先找出分子和分母的公因式．
例2
约分:
（1）
25a 2bc 3 15ab2c
；
解：（1）
25a 2bc 3 15ab2c
5abc 5ac2
5abc 3b
5ac2 ； 3b
找公因式的方法： （1）系数的最大公约数； （2）分子、分母相同因式的最低次幂．
第2课时 分式的基本性质 和约分
问题1 下列分数是否相等？
2 ，4 ，8 ，16 ，32 ． 3 6 12 24 48
问题2 下列两式成立吗？为什么？
3 3c 4 4c
(c≠0)
5c 5 6c 6
(c≠0)
分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数 的大小不变．
即对于任意一个分数 a ，有
解：（3） 6x2 12xy 6 y2
3x 3y
6 x y 2
3x y
=2(x－y)．
分式化简的结果 也可能是整式．
约分的步骤： （1）确定分子和分母的公因式； （2）依据分式的基本性质，分子和分母同时除以公因式； （3）得出整式或最简分式．
分式的基 本性质
分式的基本性质 分式的约分 最简分式
（
a a2b
） ，
2a a2
b
（
2aab2b－b2）（b≠0）．
分析：（2）分母由 ab 变成 a2b ，应做怎样的变化，根据分式 的基本性质，分子也需要__乘__a__．
分母由 a2 变成 a2b，应做怎样的变化，根据分式的基本性质， 分母也需要___乘__b__．
解决与分式的恒等变形有关的填空题时， （1）由分母的变化，想分子如何变化； （2）由分子的变化，想分母如何变化．
例2
约分: （2）
x2 9 ； x2 6x 9
解：（2）
x2 9 x2 6x 9
（x
3）（x （x 3）2
3)
x 3； x3
约分时，若分子或分母是多项式，能分解则必须先 进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分．
例2 约分: （3） 6x2 12xy 6 y2 .
3x 3y
问题 联想分数的约分，结合例 1（1），你能想出如何对分 式进行约分吗？
公因式
3x2 3xy 6x2
=
3x x y
3x 2x =
x y. 2x
公因式 实际上是将分式中分子与分母的公因式约去．
新知
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 公因式约去，叫做分式的约分．
经过约分后的分式 x y ，其分子与分母没有公因式． 2x
b
a ac b bc
，
a b
a b
c c
（c≠0）．
思考 类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？
a ac b bc
，
a bΒιβλιοθήκη a bcc（c≠0）．
新知
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式 ，分 式的值不变．
用式子表示为
A AC ， A AC
B BC B B C
（C≠0），
xy y
3x2 3xy 6x2
（
x y
2x
）
；
分析：（1）分母由 xy 变成 y，应做怎样的变化，根据分式的 基本性质，分子也需要__除__以__x___．
分子由 3x2+3xy 变成 x+y，应做怎样的变化，根据分式的基本 性质，分母也需要__除__以__3_x__．
例1 填空．
（2）
1 ab
其中 A，B，C 是整式．
下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不 正确，说明理由．
x 1； 2x 2
正确，分子、分母除以 x；
x x2 ； x1 x1
不正确，分子乘 x，而分母没乘；
x2 y2 x y. x y
正确，分子、分母除以（x－y）．
例1 填空．
（1） x3
（
x2 ），
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
5 y
a
4m
x
x2
2b
3n
2y
5y x2
a
4m
2b
3n
x 2y
同号得正，异号得负．
例2
约分:
（1）
25a 2bc 3 15ab2c
；
（3） 6x2 12xy 6 y2 .
3x 3y
（2）
x2
x2
9 6x
9
；
分析：为了约分，要先找出分子和分母的公因式．
例2
约分:
（1）
25a 2bc 3 15ab2c
；
解：（1）
25a 2bc 3 15ab2c
5abc 5ac2
5abc 3b
5ac2 ； 3b
找公因式的方法： （1）系数的最大公约数； （2）分子、分母相同因式的最低次幂．
第2课时 分式的基本性质 和约分
问题1 下列分数是否相等？
2 ，4 ，8 ，16 ，32 ． 3 6 12 24 48
问题2 下列两式成立吗？为什么？
3 3c 4 4c
(c≠0)
5c 5 6c 6
(c≠0)
分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数 的大小不变．
即对于任意一个分数 a ，有
解：（3） 6x2 12xy 6 y2
3x 3y
6 x y 2
3x y
=2(x－y)．
分式化简的结果 也可能是整式．
约分的步骤： （1）确定分子和分母的公因式； （2）依据分式的基本性质，分子和分母同时除以公因式； （3）得出整式或最简分式．
分式的基 本性质
分式的基本性质 分式的约分 最简分式
（
a a2b
） ，
2a a2
b
（
2aab2b－b2）（b≠0）．
分析：（2）分母由 ab 变成 a2b ，应做怎样的变化，根据分式 的基本性质，分子也需要__乘__a__．
分母由 a2 变成 a2b，应做怎样的变化，根据分式的基本性质， 分母也需要___乘__b__．
解决与分式的恒等变形有关的填空题时， （1）由分母的变化，想分子如何变化； （2）由分子的变化，想分母如何变化．
例2
约分: （2）
x2 9 ； x2 6x 9
解：（2）
x2 9 x2 6x 9
（x
3）（x （x 3）2
3)
x 3； x3
约分时，若分子或分母是多项式，能分解则必须先 进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分．
例2 约分: （3） 6x2 12xy 6 y2 .
3x 3y
问题 联想分数的约分，结合例 1（1），你能想出如何对分 式进行约分吗？
公因式
3x2 3xy 6x2
=
3x x y
3x 2x =
x y. 2x
公因式 实际上是将分式中分子与分母的公因式约去．
新知
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 公因式约去，叫做分式的约分．
经过约分后的分式 x y ，其分子与分母没有公因式． 2x
b
a ac b bc
，
a b
a b
c c
（c≠0）．
思考 类比分数的基本性质，你能得到分式的基本性质吗？
a ac b bc
，
a bΒιβλιοθήκη a bcc（c≠0）．
新知
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式 ，分 式的值不变．
用式子表示为
A AC ， A AC
B BC B B C
（C≠0），
xy y
3x2 3xy 6x2
（
x y
2x
）
；
分析：（1）分母由 xy 变成 y，应做怎样的变化，根据分式的 基本性质，分子也需要__除__以__x___．
分子由 3x2+3xy 变成 x+y，应做怎样的变化，根据分式的基本 性质，分母也需要__除__以__3_x__．
例1 填空．
（2）
1 ab
其中 A，B，C 是整式．
下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不 正确，说明理由．
x 1； 2x 2
正确，分子、分母除以 x；
x x2 ； x1 x1
不正确，分子乘 x，而分母没乘；
x2 y2 x y. x y
正确，分子、分母除以（x－y）．
例1 填空．
（1） x3
（
x2 ），