2020-2021学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知集合A ＝{﹣1，0，2，3}，B ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈N }，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0}
B ．{﹣1，2}
C ．{0，3}
D ．{﹣1，3}
2．（4分）方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）
A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}
B ．{（1，1），（﹣2，2）}
C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}
D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}
3．（4分）函数y =lgx +1
x−1
的定义域是（ ） A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（0，1）∪（1，+∞）
D ．[0，1）∪（1，+∞）
4．（4分）为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间t ∈[0，50]），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图．则图中a 的值为（ ）
A ．0.028
B ．0.030
C ．0.280
D ．0.300
5．（4分）若a ＞b ，则一定有（ ） A ．1
a
＜1
b
B ．|a |＞|b |
C ．√a 2＞√b 2
D ．a 3＞b 3
6．（4分）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB →
+CB →
=（ ） A ．2BO →
B ．2DO →
C ．B
D →
D ．AC →
7．（4分）设2m ＝3n ，则m ，n 的大小关系一定是（ ） A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ≥n
D ．以上答案都不对
8．（4分）从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%．如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ．5x ＝0.2
B ．5（1﹣x ）＝0.8
C ．x 5＝0.2
D ．（1﹣x ）5＝0.8
9．（4分）设a →
，b →
是非零向量，则“存在实数λ，使得a →
=λb →
”是“|a →
+b →
|＝|a →
|+|b →
|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．（4分）设f （x ）为定义在R 上的函数，函数f （x +1）是奇函数．对于下列四个结论： ①f （1）＝0；
②f （1﹣x ）＝﹣f （1+x ）；
③函数f （x ）的图象关于原点对称； ④函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称． 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）已知向量a →
=(1，−2)，b →
=(−3，1)，那么|a →
−b →
|= ．
12．（5分）若方程x 2﹣2x +a ＝0有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是 ． 13．（5分）设f （x ）为R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （2）＝0，则不等式f （x ）＜0的解集是 ． 14．（5分）已知函数f （x ）={
log 0.5x ，x ＞0
x 2
+2x ，x ≤0
，那么f （2）＝ ；当函数y ＝f （x ）
﹣a 有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是 ．
15．（5分）某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐．对于此促销活动，有以下三个说法： ①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐； ②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐；
③如果购买n （n ∈N *）罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数f(n)=n +[n−1
2]．（其中[x ]表示不大于x 的最大整数） 则所有正确说法的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图．
（Ⅰ）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；
（Ⅱ）现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在[60，70）的概率．
17．（15分）设函数f(x)=x+4
x
+3．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象与直线y＝2x交点的坐标；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅲ）用单调性定义证明：函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
18．（14分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．
（Ⅰ）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求a的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当a＝3时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小．（结论不要求证明）
19．（15分）设函数f(x)=2x+1 2x−1
．
（Ⅰ）若f（a）＝2，求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（x）≤m对于x∈[1，+∞）恒成立，求实数m的最小值．
20．（13分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，y（单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润．
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）求出下一个销售季度利润y不少于57000元时，市场需求量x的范围．21．（15分）设函数f（x）的定义域为R．若存在常数m（m≠0），对于任意x∈R，f（x+m）＝mf（x）成立，则称函数f（x）具有性质Γ．记P为满足性质厂的所有函数的集合．（Ⅰ）判断函数y＝x和y＝2是否属于集合P？（结论不要求证明）
（Ⅱ）若函数g(x)=(√2)x，证明：g（x）∈P；
（Ⅲ）记二次函数的全体为集合Q，证明：P∩Q＝∅．
2020-2021学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知集合A ＝{﹣1，0，2，3}，B ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈N }，那么A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0}
B ．{﹣1，2}
C ．{0，3}
D ．{﹣1，3}
【解答】解：∵A ＝{﹣1，0，2，3}，B ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈N }， ∴A ∩B ＝{﹣1，3}． 故选：D ．
2．（4分）方程组{x +y =0x 2+x =2的解集是（ ）
A ．{（1，﹣1），（﹣1，1）}
B ．{（1，1），（﹣2，2）}
C ．{（1，﹣1），（﹣2，2）}
D ．{（2，﹣2），（﹣2，2）}
【解答】解：解{x +y =0x 2+x =2得，{x =−2y =2或{x =1y =−1，
∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}． 故选：C ．
3．（4分）函数y =lgx +1
x−1的定义域是（ ） A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（0，1）∪（1，+∞）
D ．[0，1）∪（1，+∞）
【解答】解：要使函数有意义，则{x ＞0x −1≠0， 即{x ＞0x ≠1，即函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）， 故选：C ．
4．（4分）为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间t ∈[0，50]），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图．则图中a 的值为（ ）
A ．0.028
B ．0.030
C ．0.280
D ．0.300
【解答】解：由频率分布直方图得： （0.006+a +0.040+0.020+0.006）×10＝1， 解得a ＝0.028． 故选：A ．
5．（4分）若a ＞b ，则一定有（ ） A ．1
a
＜1
b
B ．|a |＞|b |
C ．√a 2＞√b 2
D ．a 3＞b 3
【解答】解：对于A ，若a ＞0＞b ，则1
a
＞1b
，故A 错误； 对于B ，若0＞a ＞b ，则|a |＜|b |，故B 错误；
对于C ，若0＞a ＞b ，则a 2＜b 2，则√a 2＜√b 2，故C 错误； 对于D ，若a ＞b ，则a 3＞b 3显然成立，故D 正确． 故选：D ．
6．（4分）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB →
+CB →
=（ ） A ．2BO →
B ．2DO →
C ．B
D →
D ．AC →
【解答】解：在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ， 则AB →
+CB →
=AB →
+DA →
=DB →
=2DO →
． 故选：B ．
7．（4分）设2m ＝3n ，则m ，n 的大小关系一定是（ ）
A ．m ＞n
B ．m ＜n
C ．m ≥n
D ．以上答案都不对
【解答】解：当m ＞n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＞2n ， 所以（3
2）n ＞1，所以m ＞n ＞0，
当m ＝n 时，（3
2
）n ＝1，所以m ＝n ＝0，
当m ＜n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＜2n ， 所以（3
2）n ＜1，所以n ＜0，则m ＜n ＜0，
故选：D ．
8．（4分）从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%．如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ．5x ＝0.2
B ．5（1﹣x ）＝0.8
C ．x 5＝0.2
D ．（1﹣x ）5＝0.8
【解答】解：设2015年该企业单位生产总值能耗为a ， 则2016年该企业单位生产总值能耗为a （1﹣x ）， 2017年该企业单位生产总值能耗为a （1﹣x ）2， 该企业单位生产总值能耗为a （1﹣x ）3， 该企业单位生产总值能耗为a （1﹣x ）4， 该企业单位生产总值能耗为a （1﹣x ）5， 由题设可得a （1﹣x ）5＝0.8a ， 故（1﹣x ）5＝0.8． 故选：D ．
9．（4分）设a →
，b →
是非零向量，则“存在实数λ，使得a →
=λb →
”是“|a →
+b →
|＝|a →
|+|b →
|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：若“|a →
+b →
|＝|a →
|+|b →
|”， 则平方得|a →|2
+2a →•b →
+|b →|2
＝|a →|2
+|b →
|2
+2|a →
|•|b →
|， 即a →•b →
=|a →
|•|b →|，
即a →•b →=|a →||b →
|cos ＜a →
，b →
＞=|a →
|•|b →
|， 则cos ＜a →
，b →
＞=1，
即＜a →
，b →
＞=0，即a →
，b →
同向共线，则存在实数λ，使得a →
=λb →
， 反之当＜a →
，b →
＞=π时，满足a →
=λb →
，但＜a →
，b →
＞=0不成立， 即“存在实数λ，使得a →
=λb →
”是“|a →
+b →
|＝|a →
|+|b →
|”的必要不充分条件， 故选：B ．
10．（4分）设f （x ）为定义在R 上的函数，函数f （x +1）是奇函数．对于下列四个结论： ①f （1）＝0；
②f （1﹣x ）＝﹣f （1+x ）；
③函数f （x ）的图象关于原点对称； ④函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称． 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：对于①，函数f （x +1）是奇函数⇒f （0+1）＝0⇒f （1）＝0，所以①对； 对于②，函数f （x +1）是奇函数⇒f （﹣x +1）＝﹣f （x +1）⇒f （1﹣x ）＝﹣f （x +1），所以②对；
对于③，函数f （x ）的图象未必关于原点对称，如f （x ）＝x ﹣1，满足条件，但不关于原点对称，所以③错；
对于④，函数f （x +1）是奇函数，f （x +1）的图象关于点（0，0）对称，
将f （x +1）的图象向右平移1个单位得到f （x ）的图象，所以f （x ）的图象关于点（1，0）对称，所以④对； 故选：C ．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）已知向量a →
=(1，−2)，b →
=(−3，1)，那么|a →
−b →
|= 5 ． 【解答】解：∵a →
−b →=(1，−2)−(−3，1)=(4，−3)， ∴|a →
−b →
|=5． 故答案为：5．
12．（5分）若方程x 2﹣2x +a ＝0有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是 （0，1） ．
【解答】解：设方程x 2﹣2x +a ＝0有两个不相等的正实数根为x 1，x 2， 则x 1＞0，x 2＞0，
所以{
Δ=(−2)2
−4×1⋅a ＞0x 1+x 2=−−2
1＞0x 1x 2=a ＞0
， 解得0＜a ＜1，
故实数a 的取值范围是（0，1）． 故答案为：（0，1）．
13．（5分）设f （x ）为R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （2）＝0，则不等式f （x ）＜0的解集是 （﹣∞，﹣2）∪（0，2） ．
【解答】解：∵f （x ）为R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （2）＝0， ∴（x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （﹣2）＝0， 则f （x ）对应图象如图：
则f （x ）＜0的解集（﹣∞，﹣2）∪（0，2）， 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
14．（5分）已知函数f （x ）={
log 0.5x ，x ＞0
x 2
+2x ，x ≤0
，那么f （2）＝ ﹣1 ；当函数y ＝f （x ）
﹣a 有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是 （﹣1，0] ． 【解答】解：函数f （x ）={
log 0.5x ，x ＞0x 2+2x ，x ≤0
，
f （2）＝lo
g 0.52＝﹣log 22＝﹣1；
函数f（x）={log0.5x，x＞0
x2+2x，x≤0
的图象如图：
函数y＝f（x）﹣a有且仅有三个零点时，a∈（﹣1，0]．
故答案为：﹣1；（﹣1，0]．
15．（5分）某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐．对于此促销活动，有以下三个说法：
①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐；
②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐；
③如果购买n（n∈N*）罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数f(n)=n+[n−1
2
]．（其
中[x]表示不大于x的最大整数）
则所有正确说法的序号是②③．
【解答】解：对于①，购买10罐可乐，实际最多可以饮用可乐罐数为10+3+1＝14，所以①错误；
对于②，因为67÷3＝22余1，
（22+1）÷3＝7余2，
（7+2）÷3＝3，
3÷3＝1；
所以67+22+7+3+1＝100，
即欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐，②正确；
对于③，由①②，验证购买n（n∈N*）罐可乐，实际最多可饮用可乐的罐数f(n)=n+[n−1
2
]，
（其中[x]表示不大于x的最大整数）正确．
总结规律可知：剩余的空罐数为1或2；购买奇数罐可乐剩余1个空罐，购买偶数罐可乐剩余2个空罐；
每多购买2罐可乐，实际可多饮用1罐可乐；实际饮用可乐罐数比购买可乐罐数的1.5倍少0.5或1；
所以购买n（n∈N*）罐可乐，实际最多可饮用可乐的罐数f(n)=n+[n−1
2
]，（其中[x]表
示不大于x的最大整数）．
综上知，以上正确说法的序号是②③．
故答案为：②③．
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图．
（Ⅰ）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；
（Ⅱ）现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在[60，70）的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由折线图得：
样本中该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数为：
14+3+13＝30（人）．
∴估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数为1000×30
40
=750人．
（Ⅱ）体育成绩在[60，70）和[80，90）的学生人数分别为2人和3人，现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，
基本事件总数n=C52=10，
其中恰有1人体育成绩在[60，70）中包含的基本事件个数m=C21C31=6．
∴其中恰有1人体育成绩在[60，70）的概率p=m
n
=610=35．
17．（15分）设函数f(x)=x +4x +3．
（Ⅰ）求函数f （x ）的图象与直线y ＝2x 交点的坐标；
（Ⅱ）当x ∈（0，+∞）时，求函数f （x ）的最小值；
（Ⅲ）用单调性定义证明：函数f （x ）在（2，+∞）上单调递增．
【解答】（Ⅰ）解：令y ＝f （x ），则由题意得：{y =x +4x +3y =2x
， 解得：{x =−1y =−2或{x =4y =8
， 故函数f （x ）的图象与直线y ＝2x 交点的坐标是（﹣1，﹣2），（4，8）；
（Ⅱ）解：f （x ）＝x +4x +3≥2√x ⋅4x +3＝2√4+3＝7，当且仅当x =4x 即x ＝2时“＝”成立，
故f （x ）在（0，+∞）上的最小值是7；
（Ⅲ）证明：不妨设x 2＞x 1＞2，
则f （x 2）﹣f （x 1）＝x 2+4x 2+3﹣x 1−4x 1−3＝（x 2﹣x 1）+4(x 1−x 2)x 1x 2=（x 2﹣x 1）•x 1x 2−4x 1x 2
， ∵x 2＞x 1＞2，∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2−4
x 1x 2＞0，
故f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），
故函数f （x ）在（2，+∞）上单调递增．
18．（14分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录
中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．
（Ⅰ）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求a 的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当a ＝3时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小．（结论不要求证明）
【解答】解：（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得13（88+92+92）=13[90+91+（90+a ）]，
解得a ＝1；
（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，
a 的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．
由（Ⅰ）可知，当a ＝1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
∴当a ＝2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P （A ）=810=45；
（Ⅲ）当a ＝3时，x 甲=13（88+92+92）=
2723，x 乙=13（90+91+93）=2743， 所以s 甲2=(88−2723)2+(92−2723)2+(92−2723)23=329
， s 乙2=(90−2743)2+(91−2743)2+(93−2743)23=149， 因为329＞149，所以甲组同学数学成绩的方差比乙组同学数学成绩的方差大．
19．（15分）设函数f(x)=2x +12x −1
． （Ⅰ）若f （a ）＝2，求实数a 的值；
（Ⅱ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f （x ）≤m 对于x ∈[1，+∞）恒成立，求实数m 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为f （a ）＝2，所以
2a +12a −1=2，所以2a +1＝2•2a ﹣2且2a ≠1，
所以2a ＝3，所以a ＝log 23；
（Ⅱ）f （x ）为奇函数，证明如下：
因为2x ﹣1≠0，所以定义域为{x |x ≠0}关于原点对称，
又因为f(−x)=2−x +12−x −1=1+2x 1−2x =−2x +12x −1
=−f(x)，所以f （x ）为奇函数； （Ⅲ）因为f(x)=2x +12x −1=2x −1+22x −1=1+22x −1， 又因为y ＝2x ﹣1在[1，+∞）上单调递增，所以y =
22x −1在[1，+∞）上单调递减， 所以f （x ）max ＝f （1）＝3，
又因为f （x ）≤m 对于x ∈[1，+∞）恒成立，
所以m ≥f （x ）max ＝3，即m ≥3．
所以m 得最小值为3． 20．（13分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，
未售出的产品，每1吨亏损300元．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以x （单位：吨，100≤x ≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，y （单位：元）表示
下一个销售季度内销售该农产品的利润．
（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；
（Ⅱ）求出下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当x ∈[100，130]时，
y ＝500x ﹣300（130﹣x ）＝800x ﹣39000，
当x ∈（130，150]时，y ＝500×130＝65000．
∴y ={800x −39000，x ∈[100，130]65000，x ∈(130，150)
； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x ∈（130，150）时，利润y 为65000元，不少于57000元， 当x ∈[100，130]时，由800x ﹣39000≥57000，解得x ≥120．
故下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围为[120，150]．
21．（15分）设函数f （x ）的定义域为R ．若存在常数m （m ≠0），对于任意x ∈R ，f （x +m ）
＝mf （x ）成立，则称函数f （x ）具有性质Γ．记P 为满足性质厂的所有函数的集合． （Ⅰ）判断函数y ＝x 和y ＝2是否属于集合P ？（结论不要求证明）
（Ⅱ）若函数g(x)=(√2)x ，证明：g （x ）∈P ；
（Ⅲ）记二次函数的全体为集合Q ，证明：P ∩Q ＝∅．
【解答】（Ⅰ）解：函数y ＝x 不属于集合P ，y ＝2属于集合P ；
（Ⅱ）证明：因为g(x)=(√2)x ，不妨令g （x +m ）＝mg （x ），所以(√2)x+m =m(√2)x ， 所以(√2)m =m ，关于m 的方程有解，m ＝2，所以函数g(x)=(√2)x 具有性质Γ， 则g （x ）∈P ；
（Ⅲ）证明：根据题意可知，P ∩Q ＝∅等价于二次函数不具备性质Γ，
假设存在二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0）具备性质Γ，
所以存在常数m （m ≠0）对于任意x ∈R 都有f （x +m ）＝mf （x ）成立，
即a （x +m ）2+b （x +m ）+c ＝amx 2+bmx +cm 成立，
即ax 2+（2am +b ）x +am 2+bm +c ＝amx 2+bmx +cm 成立，
所以{a =am
2am +b =bm am 2+bm +c =cm
，解得a ＝0，b ＝0，m ＝1， 这与假设中的a ≠0矛盾，
所以假设不成立，
故二次函数不具备性质Γ，
所以P∩Q＝∅．。