福建省三明市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析

福建省三明市2021届新高考第一次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使得()3n x n N
+⎛∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】B
【解析】 二项式展开式的通项公式为r -
n 3x n r r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
2．已知函数3sin ()(1)()x x x x f x x m x e e
-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值.
【详解】
依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x y e e -=+为偶函数，所以()()()1g x x m x =+-为
偶函数，故()()0g x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.
3．设12,F F 分别是双线2
221(0)x y a a
-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．0x y ±=
B ．0y ±=
C ．0x ±=
D ．30x y ±=
【答案】B
【解析】
【分析】
由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率. 【详解】
如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，
两渐近线的斜率分别为3和3-.
故选：B
【点睛】
此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.
4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．
的是( )
A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；
B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；
C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次
为127，，
…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.
【详解】
对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为
1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D.
【点睛】
本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.
5．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）
A ．(6,10)
B ．(8,12)
C ．[6,8]
D ．[8,12]
【答案】B
【解析】
【分析】 根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围.
【详解】
抛物线2
8y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-， 根据抛物线定义可得2A AF x =+，
圆()2
2216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4， 点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆22
4120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2. 点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，
则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+，
所以()68,12B x +∈，
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.
6．已知复数z 满足11i z
=+，则z 的值为（ ） A ．12 B
． C
．2 D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模.
【详解】 因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-
，所以2z == 故选：C
【点睛】
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.
7．已知b a b c a 0.212
1()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
【答案】B
【解析】
【分析】 利用函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论.
【详解】 依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.212
10log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，
即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2
log 0.20.20.20.211110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以，c a b <<.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.
8．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最小值为（ ）
A ．-5
B ．2
C ．7
D ．11
【答案】A
【解析】
【分析】
根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.
【详解】 由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，画出可行域ABC V 如图
3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距，
∴z 最小的时候为过C 点的时候，
解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=⎩
所以()2,1C -， 此时()33215z x y =+=⨯-+=-
故选A 项
【点睛】
本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.
9．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A ．171.25cm
B ．172.75cm
C ．173.75cm
D ．175cm
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =，
则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ． 10．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】A
【解析】
【分析】
选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2x y =的单调性即可求解. 【详解】
因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增,
所以33log 0.5log 10<=,
因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减,
所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=，
因为指数函数2x
y =在R 上单调递增,
所以0.30221>=,
综上可知,a b c <<.
故选:A
【点睛】
本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
11．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，
则sin 4C π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．1
B ．2
C
D 【答案】D
【解析】
【分析】 根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【详解】
解：由()2
2a b c =+-，
得2221sin 22
ab C a b c ab =+-+， ∵ 2222cos a b c ab C +-=，
∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，
cos 1C C -= 即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， ∵ 0C π<<，
∴ 5666
C π
π
π-<-<， ∴ 66C π
π
-=，即3C π
=，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 故选D ．
【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
12．将函数的图象向左平移
6π个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：
①它的图象关于直线x=
59π对称； ②它的最小正周期为23
π；
③它的图象关于点(
1118π，1)对称； ④它在[51939
ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①②④
D ．②③④ 【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.
【详解】
因为3
π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g(x)=2sin[3(x+6π)-3π]+1=2sin(3x+6π)+1，其最小正周期为23
T π=，故②正确； 令3x+
6π=kπ+2π，得x=3k π+9π(k ∈Z)，所以x=59
π不是对称轴，故①错误； 令3x+6π=kπ，得x=3k π-18π(k ∈Z)，取k=2，得x=1118π，故函数g(x)的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确；
令2kπ-
2π≤3x+6π≤2kπ+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x≤23k π+9π，取k=2，得109π≤x≤139π，取k=3，得169
π≤x≤199π
，故④错误； 故选：B
【点睛】 本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0.32log 0.2,log 0.2a b ==，则+a b ________.ab (填“>”或“=”或“<”).
【答案】＞
【解析】
【分析】
注意到1,0a b ><，故只需比较11a b
+与1的大小即可.
【详解】
由已知，1,0a b ><，故有0,ab a b <>.又由0.20.20.211log 0.3log 2log 0.61a b
+=+=<， 故有a b ab +>.
故答案为：＞.
【点睛】
本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 14．设常数a R ∈，如果5
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中x 项的系数为-80，那么a =______. 【答案】2-
【解析】
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】 52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式的通项公式：()52103155r
r r r r r r a T C x a C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1031r -=，解得3r =.
∴33580a C =-， 解得2a =-.
故答案为：-2.
【点睛】
本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.
15．三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种（比如：B 与D 、B 与C 是相邻的，A 与D 、C 与D 是不相邻的）.
【答案】192
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有3412
⨯=种安排方法；
②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有222216
⨯⨯⨯=种安排方法，
则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法1612192
⨯=种；
故答案为：192
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
16．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________.
【答案】2 5
【解析】
【分析】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有1
4
C种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有2
5
C 种方法,根据公式即可求得概率.
【详解】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有1
4
C种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有2
5
C 种方法,
1
4
2
5
12
5
C
P
C
⨯
==.
故答案为:
2
5
.
【点睛】
本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．
（1）求这个样本数据的中位数和众数；
（2）以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x 分布列和数学期望．
【答案】（1）43，47；（2）分布列见解析，()4
3
E x =. 【解析】 【分析】
（1）根据茎叶图即可得到中位数和众数； （2）根据数据可得任取一名优秀员工的概率为13，故14,3x B ⎛⎫
⎪⎝⎭
～，写出分布列即可得解. 【详解】
（1）中位数为43，众数为47．
（2）被调查的4名工人中优秀员工的数量0,1,2,3,4x =，
任取一名优秀员工的概率为
13，故14,3x B ⎛⎫
⎪⎝⎭
～， ()4411133k
k
k P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,3,4k =，
x 的分布列如下：
故()132********
813
E x ⨯+⨯+⨯+⨯==
【点睛】
此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.
18．如图，焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点()0,1M ，中心都在坐标原点，且椭
圆1C 与2C （Ⅰ）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；
（Ⅱ）过点M 的互相垂直的两直线分别与1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当MAB ∆的面积取最大值时，求两直线MA ，MB 斜率的比值.
【答案】（1）2
214x y +=，2
2
+11
4
x y =（2997
-【解析】
分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；
(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S 表示为关于k 的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.
详解：（Ⅰ）依题意得对1C ：1b =，22
22
334a b e e a
-=⇒==，得1C ：2214x y +=； 同理2C ：2
2
+1
1
4
x y =. （Ⅱ）设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，，则MA ：11y k x =+，与椭圆方程联立得：
22
22111414041
x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
（），得22
114180k x k x ++=（），得1A 218=41k x k -+,21A 2
141=41k y k -++，所以2112211841
A(,)4141
k k k k -+-
++ 同理可得222222224,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝
⎭.所以
221122222211228822=(,),,414144k k k k MA MB k k k k u u u v u u u
v ⎛⎫----= ⎪++++⎝⎭, 从而可以求得()()()
2212211221222222
12211216822811==24144412414k k k k k k k k S k k k k k k -----⋅-⋅++++++因为121k k =-，
所以(
)()
3
112
21
8+=
41k k S k
+，不妨设()()
()()
3
42111112
4
221
1
+491
0,4141k k k k k f k f k k
k
'--+>=
=
++，
(
)42211190491=0=
8f k k k k ，，=∴--+'，所以当S
最大时，219
=8
k ，此时两直线MA ，MB
斜率的比值
2112=k k k -. 点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y 轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.
19．已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F 到准线的距离为3，抛物线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2＝1．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 C ． （1）求抛物线E 的方程； （2）求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）y 2＝6x （2
． 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；
（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值. 【详解】
（1）抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F （2
p
，0）到准线x 2p =-的距离为3，可得p ＝3，即有抛物线
方程为y 2＝6x ；
（2）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则12
022
x x x +=
=， y 012
2
y y +=，k AB 21212221211206366
y y y y y y x x y y y --====-+-，
则线段AB 的垂直平分线方程为y ﹣y00
3
y =-
（x ﹣2），① 可得x ＝5，y ＝0是①的一个解，所以AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点， 且点C （5，0），由①可得直线AB 的方程为y ﹣y 003y =
（x ﹣2），即x 03
y
=（y ﹣y 0）+2 ② 代入y 2＝6x 可得y 2＝2y 0（y ﹣y 0）+12，即y 2﹣2y 0y+2y 02＝0 ③， 由题意y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，
所以△＝1y 02﹣1（2y 02﹣12）＝﹣1y 02+18＞0，解得﹣
y 0＜
|AB|=
==
==
又C （5，0）到线段AB 的距离h ＝|CM|==
所以S △ABC 1
2
=
|AB|h =
3
=≤=
当且仅当9+y 02＝21﹣2y 02，即y 0＝A （
63+，B （63
-，
或A （
，，B ，
所以S △ABC ． 【点睛】
此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.
20．已知,,a b c 分别是ABC V 的内角,,A B C 的对边，且cos 2cos a A b B
=-． （Ⅰ）求
a c
． （Ⅱ）若4b =，1
cos 4
C =
，求ABC V 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos 23C π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值．
【答案】（Ⅰ）12
；【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求a ，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解． 【详解】
（Ⅰ）因为
cos sin 2cos sin a A A b B B
==-， 所以2sin sin cos sin cos A A B B A -=，
所以2sin sin cos sin cos sin()sin A A B B A A B C =+=+=， 由正弦定理可得，
sin 1sin 2
a A c C ==； （Ⅱ）由余弦定理可得，22
116448a a a
+-=，
整理可得，232160a a +-=， 解可得，2a =，
因为sin C =
所以11sin 2422ABC S ab C ∆==⨯⨯=；
（Ⅲ）由于1sin 22sin cos 24C C C ==，2
7cos22cos 18C C =-=-．
所以117cos(2)cos22()3228C C C π+==⨯-． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
21．在数列{}n a 中，112311
1,23 (2)
n n n a a a a na a ++=++++=，n *∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若存在n *∈N ，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值
【答案】（1）21,1
23,23
n n n a n -=⎧⎪
=⎨⨯≥⎪⎩；（2）13
【解析】 【分析】
（1）由1231123...2n n n a a a na a ++++++=
得123123...(1)2
n n n
a a a n a a -++++-=，两式相减可得{}n na 是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；
（2）(1)n a n λ≤+1n a n λ⇔≥+，分类讨论，当2n ≥时，2231(1)n n a n n n -⨯=++，作商法可得数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
为
递增数列，由此可得答案， 【详解】
解：（1）因为1231123...2n n n a a a na a ++++++=，123123...(1)2
n n n
a a a n a a -∴++++-=， 两式相减得：1122
n n n n n
na a a ++=
-，即()113n n n a na ++=，
{}n na ∴是从第二项开始的等比数列，
∵11,a =
∴21a =，则2
23n n na -=⨯，
21,123,23
n n n a n -=⎧⎪
∴=⎨⨯≥⎪⎩；
（2）(1)n a n λ≤+1
n
a n λ⇔≥+， 当1n =时，
1122
a =； 当2n ≥时2
231(1)
n n a n n n -⨯=++， 设223(1)3(),1,()(1)()2n f n n
f n f n n n f n n -⨯+=
∴=>∴++递增， min 1
()(2)3f n f ∴==，
所以实数λ的最小值1
3
．
【点睛】
本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．
22．已知函数2
1()ln ()2f x x ax x a R =-
+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1
()()()2
F x f x ag x =+的单调性；
（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.
【答案】 (1) 故函数()y F x =在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上单调递减;(2)114. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数
()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1
120h x ax t x
'=-+-≤对任意
[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．
试题解析：
（I ）由题意得()()()()2113
ln 1222
F x f x ag x x ax a x a =+
=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()2111
1ax a x F x ax a x x
-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=
. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1
x a
>. 故函数()y F x =在10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. （II ）由题意知0t ≥.
()2111ax x f x ax x x
-+==
'+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增． 不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，
所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤
()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，
即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()2
1ln 1232
h x f x tg x x ax t x t =+=-
+-+， 由题意得()h x 在[]
1,2上单调递减. 所以()()1
120h x ax t x
'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()1
12H a xa t x
=-++-，[]2,1a ∈--，
则()()max 1
22120H a H x t x
=-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.
故max
1212t x x ⎛⎫
-≥+
⎪⎝⎭，
而1
2y x x
=+
在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为9
2
.
由9212t -≥，解得11
4
t ≥
. 故实数t 的最小值为11
4
．
23．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，5PA PC ＝＝，点,M N 分别是,AB PC 的中点．
（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）若4
,605
cos PCD DAB ︒∠=
∠＝，求直线AN 与平面PAD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）3
11
. 【解析】 【分析】
（1）取PD 的中点H ，连接,NH AH ，通过证明//MN AH ，即可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示即可得解. 【详解】
（1）证明：取PD 的中点H ，连接,NH AH ．
N Q 是PC 的中点，1//2NH DC ∴=，又1
//,2
AM DC AM DC =，
//,NH AM ∴=∴四边形AMNH 是平行四边形． //MN AH ∴，又MN ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ，
//MN ∴平面PAD ．
（2）4
5,4,cos 5
PC DC PCD ∠=
Q ＝＝，222,3,PD PC PD CD PD DC ∴+∴⊥＝＝， 同理可得：PD AD ⊥，又,AD CD D PD ⋂∴⊥＝平面ABCD ． 连接,AC BD ，设AC BD O =I ，
则AC BD ⊥，建立空间直角坐标系O xyz -．
()()
()()323,0,0,23,0,0,0,2,0,0,2,3,3,1,2A C D P N ⎛
⎫---- ⎪⎝
⎭
()
()333,1,,23,2,0,0,0,32AN AD DP ⎛⎫=--=--= ⎪⎝
⎭u u u r u u u
r u u u r
设平面PAD 的法向量为，(),,n x y z =r
则0n AD n DP ==r u u u r r u u u r
g g ，则2320,30x y z --==，取()
1,3,0n =-r ．
2323
sin cos ,111122
AN n θ∴===
⨯
u u u r r ∴直线AN 与平面PAD 所成角的正弦值为2311
．
【点睛】
此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算.。