2013高三数学一轮复习课时提能演练 选修4-1.2 直线与圆的位置关系 理 新课标

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练选修4-1.2 直
线与圆的位置关系
1.(2012·汕头模拟)如图：PA切圆O于点A，PA=4，PBC过圆心O，且与圆相交于B、C两点，AB∶AC=1∶2,则圆O的半径为______.
2.如图AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D
的度数为______.
3.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，F是AB的中点，CF的延长线交⊙O于点E，那么CF∶EF的值是______.
4.(2011·广东高考)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7，C 是圆上一点使得BC=5，
∠BAC=∠APB，则AB=______.
5.圆外切等腰梯形的上底长为4 cm，圆的半径为3 cm，那么这个梯形的腰长是______.
6.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离
为22,AB=3，则切线AD的长为____.
7.(2012·中山模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于
点D，CD=27，AB=BC=3，则AC=______.
8.如图，已知△ABC中，∠B=60°,CD⊥AB,AE⊥BC,则DE=______AC.
9.(2011·天津高考)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一
点，且DF=CF=2，AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为______.
10.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若
BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=______;CE=______.
11.如图，PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC=4，PB=8，∠B=30°,
则BC=______.
12.如图，△ABC是圆内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D，若∠ABC=
60°,PD=1,BD=8,则∠PAC=______,PA=______.
13.(2011·湖南高考)如图所示，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______.
14.如图所示，梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC=8，CD=5，AF=6，则EF的长为______.
15.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.若△ABC的面积
S=1
2
AD·AE，则∠BAC=______.
16.如图，已知A、B、C、D、E五点都在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=______.
17.如图所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC=1
2 BC，
则sin∠MCA=______.
18.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，
CD=4，BD=8，则圆O的半径等于______.
19.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于E，∠ACD=60°,∠ADC=45°，则∠AEC=______.
20.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，
过B的切线交过C的切线于T，PB交⊙O于Q,若∠BTC=120°,AB=4,则PQ·PB=______. 21.如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转
60°到OD ，则PD 的长为______. 22.如图，分别延长圆内接四边形ABCD 两 组对边相交于E 和F 两点，如果∠E=30°, ∠F=50°,那么∠A=______.
23.如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与PQ 相交于Q 点，若
AQ=6，AC=5，则弦AB 的长是______.
24.如图，AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若EA=1，ED=2，则BC 的长为______.
答案解析
1.【解析】∵PA 是切线，∴∠BAP=∠ACP,∵∠P=∠P, ∴△PAB ∽△PCA,则
AB PA AC PC =
,即14
2PC
=,∴PC=8.设圆的半径为r,由切割线定理PA 2
=PB ·PC 得，16=(8-2r)×8.解出r=3. 答案：3
2.【解析】连接OC ，因为CD 切圆O 于点C ，所以OC ⊥CD ，因为∠A=30°,所以∠COD=60°，所以∠D=30°. 答案：30°
3.【解析】设正方形的边长为2a ， 则AF=BF=a,
∴22CF BC BF 5a.=+= 又∵CF ·EF=AF ·BF,∴CF ·EF=a 2
,
∴25
EF a 55a
==,∴CF ∶EF=5∶1.
答案：5
4.【解题指南】利用相似三角形对应边成比例，求得AB 的值.
【解析】∵∠PAB=∠ACB,又∠BAC=∠APB，
∴△ABP∽△CBA,∴AB PB
BC AB
=,从而AB2=PB·BC=7×5=35,
∴AB=35.
答案：35
5.【解析】如图，等腰梯形ABCD外切于⊙O，设M，N是梯形上、下底与⊙O相切的切点，作DP⊥AB，P为垂足，连接MN，易知MN过点O.根据圆的切线性质，DM=2 cm=PN,若设AN=x cm,
则AD=(x+2) cm,AP=(x-2) cm.
易知MN=DP=6 cm,
所以在Rt△APD中，AD2=DP2+AP2，
即(x+2)2=62+(x-2)2,
解得
9
x
2 =，
故等腰梯形ABCD的腰长为x+2=6.5(cm).
答案：6.5 cm
6.【解析】作OE⊥BC垂足为E，连接OC，由题意知，OC=3，OE=22，则CE=BE=1，所以AC=5，由切割线定理得，AD2=AB·AC=15，所以AD=15.
答案：15
7.【解析】∵CD是切线，
∴CD2=BD·(BD+AB)，即28=BD2+3BD，
∴BD=4，又∠1=∠A,∠D为公共角，
∴△ACD∽△CBD,∴AC CD CB BD
=,
∴
CB CD32737 AC.
BD
⨯
===
g
答案：
37
8.【解析】∵CD⊥AB,∠B=60°,
∴∠BCD=30°,∴BD=
1
2
BC, 又∵AE ⊥BC,∴∠AEC=∠ADC, ∴A 、D 、E 、C 四点共圆， 又∠BED=∠BAC,又∠B 为公共角， ∴△BED ∽△BAC,
∴
DE BD 1CA BC 2==,即1
DE AC 2
=. 答案：12
9.【解题指南】利用相交弦及切线的比例关系求解.
【解析】设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为AF ·FB=DF ·FC ，所以8x 2
=2,x=
12
，又CE 2
=BE ·AE ，
即CE ==.
答案:10.【解析】由圆的割线定理知：AB ·AC=AD ·AE ， ∴AE=8，∴DE=5，连接EB ，∵∠EDB=90°, ∴EB 为直径，∴∠ECB=90°. 由勾股定理，得
EB 2
=DB 2
+ED 2
=AB 2
-AD 2
+ED 2
=16-9+25=32. 在Rt △ECB 中，EB 2
=BC 2
+CE 2
=4+CE 2
,
∴CE 2
=28，∴CE=
答案：5
11.【解析】连接AC ，∵PC 2
=PA ·PB ，∴PA=2，∠ACP=∠B=30°,在△PAC 中，由正弦定理得
24
sin30sin PAC
=︒∠,∴sin ∠PAC=1,
从而∠PAC=90°,∠P=60°,∠PCB=90°,
∴BC =
答案：12.【解析】∵PA 是圆的切线，
∴∠PAC=∠ABC=60°,又PA2=PD·PB=1×(1+8)=9,所以PA=3.
答案：60° 3
13.【解析】连接AB、AO、CE、OE，则△OAB,△OCE是边长为2的等边三角形，
∠ABD=60°，AD=
3
23
2
⨯=，BD=
1
21
2
⨯=,在Rt△BEC中，∠
BCE=60°,EC=1
42
2
⨯=,BE=
3
423
⨯=.
易知△BDF∽△BEC,∴DF BD
EC BE
=,∴DF=
3
,
∴AF=AD-DF=23
.
答案：23 3
14.【解析】∵BE切⊙O于B，∴∠ABE=∠ACB. 又AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC,
∴△EAB∽△ABC,∴BE AB AC BC
=.
又AE∥BC,∴EF BE
AF AC
=,∴
AB EF
BC AF
=.
又AD∥BC,∴»»AB CD
=，
∴AB=CD，∴CD EF BC AF
=，
∴5EF
86
=，∴EF=
3015
84
=.
答案：15 4
15.【解析】由已知条件，可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.
所以AB AD
AE AC
=，即AB·AC=AD·AE.
又S=1
2
AB·ACsin∠BAC,且S=
1
2
AD·AE，
故AB·ACsin∠BAC=AD·AE，
则sin ∠BAC=1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC=90°. 答案：90°
16.【解析】∠A+∠B+∠C=12(»CD 的度数+»DE 的度数+»EA 的度数)=12
×180=90°. 答案：90°
17.【解析】由弦切角定理得∠MCA=∠ABC, ∵sin ∠ABC=
22AC 5
.AB 55AC AC BC
===+
∴sin ∠MCA=
5
. 答案：
5 18.【解析】由射影定理，得CD 2
=AD ·BD ， 即42
=AD ×8，
∴AD=2，∴直径AB=2+8=10， ∴圆O 的半径等于5. 答案：5
19.【解析】连接BC ，由AB 是⊙O 的直径知∠ACB=90°,
∵∠ACD=60°,∴∠DCB=30°, »BD
的度数=60°, ∵∠ADC=45°,
∴»AC
的度数=90°， ∴∠AEC=
12
(»BD 的度数+»AC
的度数)=75°. 答案：75°
20.【解析】连接OC 、AC ，则OC ⊥PC ，则O 、C 、T 、B 四点共圆，∠COB=60°, 故∠AOC=120°.
由AO=OC=2知AC=23， 在Rt △APC 中，∠ACP=60°,
因此PC=3.
根据切割线定理得PQ·PB=PC2=3.
答案：3
21.【解析】连接AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，
∴AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°,
方法一：在△POD中，由余弦定理得PD2=PO2+DO2-2PO·DOcos∠POD
=4+1-4×(
1
2
-)=7,
∴PD=7.
方法二：过点D作DE⊥PC，垂足为E，∵∠POD=120°,
∴∠DOC=60°，可得OE=1
2
，DE=
3
2
，在Rt△PED中，
∴PD=22253
PE DE7
44
+=+=.
答案：7
22.【解析】由∠A+∠ADC+∠E=180°,∠A+∠ABC+∠F=180°,
∠ADC+∠ABC=180°,∴∠A=1
2
(180°-∠E-∠F)=50°.
答案：50°
23.【解析】∵PQ为切线，∴∠PAC=∠ABC, ∵AC是∠PAB的平分线，
∴∠BAC=∠PAC.∴∠ABC=∠BAC,
∴BC=AC=5,
由切割线定理，可得AQ2=QB·QC，
∴62=QB·(QB+5)，解得QB=4.
∵∠QAB=∠QCA,
∴△QAB∽△QCA,∴AB QA AC QC
=,
∴AB6
545
=
+
,解得
10
AB
3
=.
答案：10 3
24.【解析】∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2=EA·EB.
又∵EA=1,ED=2,∴EB=4,
又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD=CB.
在Rt△EBC中，设BC=x,则EC=x+2.
由勾股定理：EB2+BC2=EC2，
得42+x2=(x+2)2,得x=3,∴BC=3.
答案：3。