高考调研北师大版数学必修52-1-1高考调研精讲精练
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
题型三 判断三角形的形状 例 3 在△ABC 中，已知 a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC 的 形状．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【思路分析】 观察条件等式的特点，为边角关系，首先应 用正弦定理将边化为角，再利用三角公式求解，亦可应用正弦定 理将角化为边的关系进行整理．
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请做：课时作业（十二）
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
2．在△ABC 中，若 sinA>sinB，则有( )
A．a<b
B．a≥b
C．a>b
D．a，b 的大小无法判定
答案 C
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3．已知锐角△ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3，则角 C
的大小为( )
A．75°
B．60°
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 (1)△ABC 为等腰直角三角形． (2)由已知，得csoinsAA＝csoinsBB. ∴cosA·sinB＝cosB·sinA.∴tanA＝tanB. ∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B.同理可证：B＝C. ∴三角形为等边三角形． 【答案】 (1)等腰直角三角形 (2)等边三角形
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●思考题 2 (1)已知在△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝
60°，那么角 A 等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
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【解析】
由
正
弦
定
理
a sinA
＝
b sinB
，
得
sinA
＝
asinB b
＝
2sin60°＝ 3
要点 3 三角形的面积公式 S＝12absinC＝21bcsinA＝12acsinB． 要点 4 应用正弦定理解三角形的常见类型 (1)已知三角形的任意两内角与一边，求另一角及另两边； (2)已知三角形的两边与其中一边的对角，可以计算出另一边 的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．
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●思考题 1 (2015·潍坊一中月考)在△ABC 中，AB＝ 3，A
＝45°，C＝75°，则 BC 等于( )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
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【解析】 本题主要考查正弦定理和两角和的正弦公
式．sin75°＝sin(45°＋30°)＝
6＋ 4
2.由正弦定理，得sAinBC＝
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∴b＝cssiinnCB＝10×sinsi3n01°05°＝20sin75°
＝20×
6＋ 4
2＝5(
6＋
2)．
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探究 1 已知两角及一边可用正弦定理求出三角形的其他元 素，此类题有唯一解．
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1．在△ABC 中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定 三角形解的个数？
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答：已知△ABC 的两边 a，b 和角 A 解三角形时，有以下方 法：
根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得 sinB＝bsianA. 当bsianA>1 时，则无解；当bsianA＝1 时，则有一解； 当bsianA<1 时，若 a≥b，即 A≥B，则 B 一定为锐角，则有 一解；若 a<b，即 A<B，则有两解五
【解析】
(1) 由 正 弦
定
理 sinaA＝
b sinB
，得
sinA ＝ asibnB ＝
6× 2
2 2＝
3 2.
又 0°<A<180°，∴A＝60°或 120°.
∴C＝75°或 C＝15°.
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(2)由正弦定理，得
2 sinB＝bsianA＝
3 3× 2
3 2＝
2 2.
∴B＝45°或 135°，但 B＝135°时，135°＋60°>180°，
这与 A＋B<180°矛盾，∴B＝45°.
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(3)由正弦定理，得
sinB＝bsianA＝4×3
3 2＝
2 3>1.
∴这样的角 B 不存在．
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【解析】 由已知，得ac2osisnBB＝bc2osisnAA. 由正弦定理 a＝2RsinA，b＝2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半 径)，得 4R2scino2sABsinB＝4R2scino2sBAsinA. ∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B.
题型一 已知两角及一边解三角形 例 1 已知在△ABC 中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求 a， b 和 B.
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 ∵sinaA＝sincC， ∴a＝cssiinnCA＝10s×ins3i0n°45°＝10 2. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵sibnB＝sincC，
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要点 2 三角形内的诱导公式 sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC； tan(A＋B)＝－tanC； sin(A＋2 B)＝cosC2；cos(A＋2 B)＝sinC2； tan(A＋2 B)＝cotC2．
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sBinCA.则 BC＝ssiinnAC×AB＝ s3isni7n54°5°＝3－ 3.
【答案】 A
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题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形 例 2 在△ABC 中，(1)a＝ 6，b＝2，B＝45°，求 C； (2)A＝60°，a＝ 2，b＝233，求 B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求 B.
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2．在△ABC 中，由 sinA>sinB 一定能推出 A>B 吗？ 答：能推出 ∵sinaA＝sibnB，又∵sinA>sinB， ∴a>b，根据大角对大边这一结论，∴A>B.
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授人以渔
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
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解析 由正弦定理sinaA＝sibnB＝sincC＝2R(R 为△ABC 外接 圆半径)．将原等式化为 8R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosBcosC.
∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC＝cosBcosC. 即 cos(B＋C)＝0.∴B＋C＝90°，即 A＝90°. 故△ABC 为直角三角形．
A．一解
B．两解
C．无解
D．解的个数不确定
答案 C
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5．在△ABC 中，已知 c＝10 2，a＝203 3，A＝45°，则 C ＝________．
答案 60°或 120°
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6．在△ABC 中，若 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判 断三角形的形状．
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【讲评】 已知两边及一角解三角形时，如果已确定三角形 有解(如本例(1)(2))，可用“大角对大边”来判定是有一解还是有 两解，不必死记硬背某些结论．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
探究 2 已知两边和其中一边的对角，三角形形状一般不确 定，用正弦定理求解时，要根据条件判断这个三角形是否有解， 有解时一解还是两解，具体方法是：若给出的角是锐角，这个角 的对边小于另一边，则有两解(如本例(1))．反之则只有一解(如本 例(2))；或给出的角是钝角，且这个角的对边大于另一边，有一 解，反之则无解．判断的依据是：同一三角形中大边(角)对大角 (边)．
探究 3 已知三角形中的边和角的“混合”关系等式，判断 三角形的形状时，有两种方法：
①化边的关系为角的关系，再进行三角恒等变换，求出三个 角之间的关系式；
②化角的关系为边的关系，再进行代数恒等变换，求出三条 边之间的关系式．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
●思考题 3 根据下列条件，判断三角形形状． (1)在△ABC 中，若 sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋ sin2C； (2)在△ABC 中，coasA＝cobsB＝cocsC.
C．45°
D．30°
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答案 B 解析 由 S△ABC＝3 3＝21×3×4sinC，得 sinC＝ 23.又角 C 为 锐角，故 C＝60°.
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4．已知在△ABC 中，b＝4 3，c＝2，C＝30°，那么解此
三角形可得( )
2 2.
又∵a<b，∴A<B，故 A＝45°，选 C.
【答案】 C
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(2)在△ABC 中，a＝1，b＝ 3，A＝45°.则满足此条件的三
角形的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
【答案】 A
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(3)已知△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有 两解，则 x 的取值范围是________．
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第二章 解 三 角 形
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
§1 正弦定理和余弦定理 1．1 正 弦 定 理
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
要点 1 正弦定理 (1)在一个三角形中，各边和所对角的正弦的比相等，即：sinaA ＝sibnB＝sincC＝2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径)． (2)正弦定理的三种变形． ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR； ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．
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高考调研 ·北师大版 ·数学必修五
【解析】 方法一：如图，点 C 到 AB 的距离为 CD，CD＝ 22x，
若三角形有两解，必须满足 CD<2<x， 即 22x<2<x，∴2<x<2 2.
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方法二：∵B＝45°，b＝2， 要使三角形有两解，必须 a>b，A∈(45°，135°)，即 x>2. 又∵sinxA＝sin425°，∴x＝2 2sinA∈(2，2 2)． 【答案】 (2，2 2)
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课后巩固
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1．在△ABC 中，A＝178°，B＝1°，则有( )
ab A.sinA>sinB
ab B.sinA<sinB
C.sinaA＝sibnB
D．以上结论都不对
答案 C 解析 由正弦定理，知sinaA＝sibnB.
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∵2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝π2 . ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【讲评】 本题容易由 sin2A＝sin2B 得出 2A＝2B，而忽略 2A＝π－2B.
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题型三 判断三角形的形状 例 3 在△ABC 中，已知 a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC 的 形状．
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【思路分析】 观察条件等式的特点，为边角关系，首先应 用正弦定理将边化为角，再利用三角公式求解，亦可应用正弦定 理将角化为边的关系进行整理．
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请做：课时作业（十二）
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2．在△ABC 中，若 sinA>sinB，则有( )
A．a<b
B．a≥b
C．a>b
D．a，b 的大小无法判定
答案 C
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3．已知锐角△ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3，则角 C
的大小为( )
A．75°
B．60°
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【解析】 (1)△ABC 为等腰直角三角形． (2)由已知，得csoinsAA＝csoinsBB. ∴cosA·sinB＝cosB·sinA.∴tanA＝tanB. ∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B.同理可证：B＝C. ∴三角形为等边三角形． 【答案】 (1)等腰直角三角形 (2)等边三角形
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●思考题 2 (1)已知在△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝
60°，那么角 A 等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
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【解析】
由
正
弦
定
理
a sinA
＝
b sinB
，
得
sinA
＝
asinB b
＝
2sin60°＝ 3
要点 3 三角形的面积公式 S＝12absinC＝21bcsinA＝12acsinB． 要点 4 应用正弦定理解三角形的常见类型 (1)已知三角形的任意两内角与一边，求另一角及另两边； (2)已知三角形的两边与其中一边的对角，可以计算出另一边 的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．
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●思考题 1 (2015·潍坊一中月考)在△ABC 中，AB＝ 3，A
＝45°，C＝75°，则 BC 等于( )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
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【解析】 本题主要考查正弦定理和两角和的正弦公
式．sin75°＝sin(45°＋30°)＝
6＋ 4
2.由正弦定理，得sAinBC＝
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∴b＝cssiinnCB＝10×sinsi3n01°05°＝20sin75°
＝20×
6＋ 4
2＝5(
6＋
2)．
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探究 1 已知两角及一边可用正弦定理求出三角形的其他元 素，此类题有唯一解．
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1．在△ABC 中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定 三角形解的个数？
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答：已知△ABC 的两边 a，b 和角 A 解三角形时，有以下方 法：
根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得 sinB＝bsianA. 当bsianA>1 时，则无解；当bsianA＝1 时，则有一解； 当bsianA<1 时，若 a≥b，即 A≥B，则 B 一定为锐角，则有 一解；若 a<b，即 A<B，则有两解五
【解析】
(1) 由 正 弦
定
理 sinaA＝
b sinB
，得
sinA ＝ asibnB ＝
6× 2
2 2＝
3 2.
又 0°<A<180°，∴A＝60°或 120°.
∴C＝75°或 C＝15°.
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(2)由正弦定理，得
2 sinB＝bsianA＝
3 3× 2
3 2＝
2 2.
∴B＝45°或 135°，但 B＝135°时，135°＋60°>180°，
这与 A＋B<180°矛盾，∴B＝45°.
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(3)由正弦定理，得
sinB＝bsianA＝4×3
3 2＝
2 3>1.
∴这样的角 B 不存在．
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【解析】 由已知，得ac2osisnBB＝bc2osisnAA. 由正弦定理 a＝2RsinA，b＝2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半 径)，得 4R2scino2sABsinB＝4R2scino2sBAsinA. ∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B.
题型一 已知两角及一边解三角形 例 1 已知在△ABC 中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求 a， b 和 B.
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【解析】 ∵sinaA＝sincC， ∴a＝cssiinnCA＝10s×ins3i0n°45°＝10 2. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵sibnB＝sincC，
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要点 2 三角形内的诱导公式 sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC； tan(A＋B)＝－tanC； sin(A＋2 B)＝cosC2；cos(A＋2 B)＝sinC2； tan(A＋2 B)＝cotC2．
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sBinCA.则 BC＝ssiinnAC×AB＝ s3isni7n54°5°＝3－ 3.
【答案】 A
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题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形 例 2 在△ABC 中，(1)a＝ 6，b＝2，B＝45°，求 C； (2)A＝60°，a＝ 2，b＝233，求 B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求 B.
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2．在△ABC 中，由 sinA>sinB 一定能推出 A>B 吗？ 答：能推出 ∵sinaA＝sibnB，又∵sinA>sinB， ∴a>b，根据大角对大边这一结论，∴A>B.
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解析 由正弦定理sinaA＝sibnB＝sincC＝2R(R 为△ABC 外接 圆半径)．将原等式化为 8R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosBcosC.
∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC＝cosBcosC. 即 cos(B＋C)＝0.∴B＋C＝90°，即 A＝90°. 故△ABC 为直角三角形．
A．一解
B．两解
C．无解
D．解的个数不确定
答案 C
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5．在△ABC 中，已知 c＝10 2，a＝203 3，A＝45°，则 C ＝________．
答案 60°或 120°
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6．在△ABC 中，若 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判 断三角形的形状．
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【讲评】 已知两边及一角解三角形时，如果已确定三角形 有解(如本例(1)(2))，可用“大角对大边”来判定是有一解还是有 两解，不必死记硬背某些结论．
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探究 2 已知两边和其中一边的对角，三角形形状一般不确 定，用正弦定理求解时，要根据条件判断这个三角形是否有解， 有解时一解还是两解，具体方法是：若给出的角是锐角，这个角 的对边小于另一边，则有两解(如本例(1))．反之则只有一解(如本 例(2))；或给出的角是钝角，且这个角的对边大于另一边，有一 解，反之则无解．判断的依据是：同一三角形中大边(角)对大角 (边)．
探究 3 已知三角形中的边和角的“混合”关系等式，判断 三角形的形状时，有两种方法：
①化边的关系为角的关系，再进行三角恒等变换，求出三个 角之间的关系式；
②化角的关系为边的关系，再进行代数恒等变换，求出三条 边之间的关系式．
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●思考题 3 根据下列条件，判断三角形形状． (1)在△ABC 中，若 sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋ sin2C； (2)在△ABC 中，coasA＝cobsB＝cocsC.
C．45°
D．30°
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答案 B 解析 由 S△ABC＝3 3＝21×3×4sinC，得 sinC＝ 23.又角 C 为 锐角，故 C＝60°.
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4．已知在△ABC 中，b＝4 3，c＝2，C＝30°，那么解此
三角形可得( )
2 2.
又∵a<b，∴A<B，故 A＝45°，选 C.
【答案】 C
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(2)在△ABC 中，a＝1，b＝ 3，A＝45°.则满足此条件的三
角形的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
【答案】 A
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(3)已知△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这个三角形有 两解，则 x 的取值范围是________．
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第二章 解 三 角 形
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§1 正弦定理和余弦定理 1．1 正 弦 定 理
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要点 1 正弦定理 (1)在一个三角形中，各边和所对角的正弦的比相等，即：sinaA ＝sibnB＝sincC＝2R(其中 R 是△ABC 外接圆的半径)． (2)正弦定理的三种变形． ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR； ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．
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【解析】 方法一：如图，点 C 到 AB 的距离为 CD，CD＝ 22x，
若三角形有两解，必须满足 CD<2<x， 即 22x<2<x，∴2<x<2 2.
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方法二：∵B＝45°，b＝2， 要使三角形有两解，必须 a>b，A∈(45°，135°)，即 x>2. 又∵sinxA＝sin425°，∴x＝2 2sinA∈(2，2 2)． 【答案】 (2，2 2)
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1．在△ABC 中，A＝178°，B＝1°，则有( )
ab A.sinA>sinB
ab B.sinA<sinB
C.sinaA＝sibnB
D．以上结论都不对
答案 C 解析 由正弦定理，知sinaA＝sibnB.
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∵2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝π2 . ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 【讲评】 本题容易由 sin2A＝sin2B 得出 2A＝2B，而忽略 2A＝π－2B.
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