(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试(含答案解析)(4)

一、选择题
1．尚本步同学家住“3D 魔幻城市”——重庆，他决定用所学知识测量自己居住的单元楼的高度．如图，小尚同学从单元楼CD 的底端D 点出发，沿直线步行42米到达E 点，在沿坡度i=1：0.75的斜坡EF 行走20米到达F 点，最后沿直线步行30米到达隔壁大厦的底端B 点，小尚从 B 点乘直行电梯上行到顶端A 点，从A 点观测到单元顶楼C 的仰角为28º，从点A 观测到单元楼底端的俯角为37 º，若A 、B 、C 、D 、E 、F 在同一平面内，且D 、E 和F 、B 分别在通一水平线上，则单元楼CD 的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：sin28 º≈0.47，cos28 º≈0.88，tan28 º≈0.53，sin37 º≈0.6，cos37 º≈0.8，tan37 º≈0.75）
A ．79.0米
B ．107.5米
C ．112.6米
D ．123.5米 2．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若5sin 13A =，则cos A 的值为（ ） A ．512 B ．813 C ．1312 D ．1213
3．如图，某河堤迎水坡AB 的坡比tan 1:3CAB i =∠=，堤高5BC m =，则坡面AB 的长是（ ）
A ．5m
B ．10m
C ．3m
D ．8m
4．关于直角三角形，下列说法正确的是（ ）
A ．所有的直角三角形一定相似
B ．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C ．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D ．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
5．在Rt ABC 中，90,3,2C BC AC ∠=︒==，则sin A 的值为（ ）
A ．32
B ．23
C ．21313
D ．31313
6．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，AD 为△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的中线，AD 、CE 相交于点F ，则EF CD
的值为（ ）
A ．2
B ．32
C ．2
D ．2
7．△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且22440c ac a -+=，则sinA+cosA 的值为（ ）
A ．13+
B ．122
C ．23+
D ．2 8．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．12
9．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）
A ．58
B ．45
C ．35
D ．12 10．在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，5AB =2AC =，则tanB 的值为（ ） A ．12 B ．2 C 5 D 25 11．如图，在33⨯正方形网格中，ABC 的顶点都在格点上，则sin CAB ∠=( )
A ．32
B ．22
C ．12
D ．33
12．如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3,4)，且OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则sin α的值为（ ）
A ．45
B ．54
C ．35
D ．53
二、填空题
13．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为70cm ，检票前双翼展开呈扇形CAP 和扇形DBQ ，若AC ＝BD ＝55cm ，∠PCA ＝∠BDQ ＝30°，则A 、B 之间的距离为_____cm ．
14．如图，菱形ABCD 的两个顶点,B D 在反比例函数k y x
=的图象上，对角线,AC BD 的交点О恰好是坐标原点，已知()2,2A ，120BCD ∠=︒，则k 的值是__________．
15．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则
sin∠1=______________．
16．如图是一个海绵施把，图1、图2是它的示意图，现用线段BC表示拉手柄，线段DE表示海绵头，其工作原理是：当拉动BC时线段OA能绕点O旋转（设定转角AOQ
∠
大于等于0°且小于等于180°），同时带动连杆AQ拉着DE向上移动．图1表示拖把的初始位置（点O、A、Q三点共线，P、Q重合），此时45cm
OQ=，图2表示拉动过程中的一种状态图，若DE可提升的最大距离10cm
PQ=．
（1）请计算：OA=______cm；AQ=_____cm．
（2）当
1
sin
10
OQA
∠=时，则PQ=______cm．
17．在ABC中，若
2
13
sin tan0
2
A B
⎛⎫
-+-=
⎪
⎪
⎝⎭
，则C
∠的度数为__________．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，将△ABC折叠，使点B落在AC边上的
点D处，EF为折痕，若sin∠CFD的值为2
3
，则BE＝_____．
19．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AB =，点E 为AC 上任意一点（不与点A 、C 重合），连结EB ，分别过点A 、B 作BE 、AE 的平行线交于点F ，则EF 的最小值为__________．
20．已知：等边△ABC ，点P 是直线BC 上一点，且PC:BC=1:4,则tan ∠APB=_______，
三、解答题
21．如图1，直线y ＝34x 和直线y ＝﹣12x+5相交于点A ，直线y ＝﹣12x+5与x 轴交于点C ，点P 在线段AC 上，PD ⊥x 轴于点D ，交直线y ＝34
x 于点Q ． （1）点A 的坐标为 ；
（2）当QP ＝OA 时，求Q 点的坐标及△APQ 的面积；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP 平分线交x 轴于点M ．
①直接写出点M 的坐标 ； ②点N 在直线y ＝34
x 的上方，当OQN 和OQM 全等时直接写出N 点坐标 ．
22．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．
（1）求sin EAC ∠的值．
（2）求线段AH 的长．
23．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，E 为BC 上一点，∠BDE ＝∠BAD ＝90°．
（1）求证：BD 2＝BA •BE ；
（2）求证：△CDE ∽△CBD ；
（3）若AB ＝6，BE ＝8，求CD 的长．
24．（1）计算：()1
0122sin 45tan 50192-⎛⎫--︒--︒-+ ⎪⎝⎭（2）已知4cos60x =︒，先化简，再求2221111
x x x x ++---的值． 25．（1）计算：()()01tan 30tan 60cos57sin 45tan 302sin 60-︒︒+︒-︒-︒+︒；
（2）用配方法解方程：2820x x +-=．
26．（1）计算：230360245sin tan cos ︒+-︒．
（2）已知32
a b =，求22a b a b -+的值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
作EG ⊥BF 交BF 的延长线于G ，AK ⊥CD 于K ．延长DE 交AB 于H ，解直角三角形求出CK 、AH 即可解决问题．
【详解】
解：作EG ⊥BF 交BF 的延长线于G ，AK ⊥CD 于K ．延长DE 交AB 于H ，如图，
则四边形AKDH 是矩形，
∴AK=DH ，KD=AH ， ∵140.753
EG GF == ∴设EG=4x ，则FG=3x ，
由勾股定理得，222EG FG EF +=
∵EF=20m
∴22169400x x +=
解得，=4x （负值舍去）
∴EG=16m ，FG=12m
∵DE=42m ，BF=30m
∴DH=DE+FG+BF=84m ，
∴AK=84m ；
在Rt △ADH 中，∠ADH=37°
∴tan37°=AH DH
, ∴AH=DH×tan37°=84×0.75=63（m ）
同理，在Rt △AKC 中，∠KAC=28°
∴tan28°=CK AK
, ∴CK=AK×tan28°=84×0.53=44.52（m ）
∴CD=CK+DK=63+44.52=107.5≈107.5(m)
故选：B
【点睛】
本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
2．D
解析：D
【分析】 由三角函数的定义可知sin BC A AB
=
，可设BC=5k ，AB=13k 由勾股定理可求得12AC k =，再利用余弦的定义代入计算即可．
【详解】
解：如图:
在Rt ABC 中，sin BC A AB =，可设BC=5k ，AB=13k ． 由勾股定理可求得()()222213512AC AB BC k k k =
-=-=． 所以，1212cos =
1313
AC k A AB k ==． 故选：D ．
【点睛】 本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．
3．B 解析：B
【分析】
根据坡比求出AC 的长度，再利用勾股定理求出AB 即可．
【详解】
解：∵tan 3CAB BC i AC =
=∠=，5BC m =， ∴3AC =，
∴2222(53)510AB AC BC m =
+=+=， 故选：B ． 【点睛】
此题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟记坡比的计算公式是解题的关键． 4．D
解析：D
【分析】
根据题目条件，利用举反例的方法判断即可.
【详解】
∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A 错误；
若斜边长为47，
∴选项B 错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C 错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故选D.
【点睛】
本题考查了命题的真伪，以数学基本概念，基本性质，基本法则为基础，通过举反例的方法判断是解题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出斜边AB ，再根据锐角三角函数的意义求出结果即可；
【详解】
在Rt ABC 中，由勾股定理可得，
AB ==
∴sin
13BC A AB ===； 故答案选D ．
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确计算是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
过D 作DM AB ⊥于,M 先证明,CD MD BM ==设,CD MD BM m ===再用含m 的代数式表示,,AE AM 再证明,AEF AMD ∽ 利用相似三角形的性质可得
EF DM
的值，从而可得答案．
【详解】
解：过D 作DM AB ⊥于,M
∠ACB=90°，AD 为△ABC 的角平分线，
,CD MD ∴=
CE 是△ABC 的中线，,CA CB = 90ACB ∠=︒，
,CE AB ∴⊥ ,CE BE AE == 45B A ∠=∠=︒，
45MDB B ∴∠=∠=︒，
,DM BM ∴=
,CD MD BM ∴==
设,CD MD BM m === 222,BD m m m ∴=+=
()212,BC CD BD m m m AC ∴=+=+=+=
()
22222,AB AC BC BC m ∴=+==+ ()()
2212,AM AB BM m m m ∴=-=+-=+ cos ,BE B BC =
()
2=,212m ∴+ ()
21+2,2BE m AE ∴== ,,CE AB DM AB ⊥⊥
//,FE DM ∴
,AEF AMD ∴∽
(()
21222212m EF AE DM AM m +∴===+ 22
EF CD ∴= 故选：.A
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
由22440c ac a -+=得2c a =，则1sin 2
a A c =
=，即可得到30A ∠=︒，利用特殊角的三角函数值就可以求出结果．
【详解】
解：∵22440c ac a -+=，
∴()220c a -=，即2c a =， ∵90C ∠=︒， ∴1sin 2
a A c =
=， ∴30A ∠=︒，
∴cos A =，
∴1sin cos 2
A A +=
． 故选：A ．
【点睛】 本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
8．A
解析：A
【分析】
求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．
【详解】
解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =， ∴
AB ==
sin
BC A AB ===， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．
9．C
解析：C
【分析】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．
【详解】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图
∵5AB AC ==，8BC =，
∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =
-=-=， ∴3sin 5
AD B AB ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．B
解析：B
【分析】
先利用勾股定理求出BC ，再根据正切公式计算即可．
【详解】
在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，5AB =，2AC =，
∴BC=
221AB AC -=， ∴tanB=2AC BC
=， 故选：B ．
．
【点睛】
此题考查求角的正切值，勾股定理，熟记计算公式是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
利用勾股定理可得AC＝10，BC＝5，AB＝5，从而可得∠ABC＝90°，在Rt△ABC中求解sin∠CAB的值即可．
【详解】
由勾股定理，得：AC＝22
1310
+=，BC＝22
125
+=，AB＝22
125
+=，
∵AB2＋BC2＝AC2，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝BC
AC
＝
5
10
＝
2
2
．
故选：B．
【点睛】
此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是求出AB、AC、BC的长度，判断出△ABC是直角三角形．
12．A
解析：A
【分析】
根据坐标与图形的关系得到OA＝3，AP＝4，根据勾股定理得到OP＝5，根据正弦的概念解答即可．
【详解】
作PA⊥x轴于A，
由题意得，OA＝3，AP＝4，
由勾股定理得，OP＝5，
则sinα＝PA
OP
＝
4
5
，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的关系，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、填空题
13．15【分析】如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F求出CEDF即可解决问题【详解】解：如图连接ABCD过点A作AE⊥CD于E过点B作BF⊥CD于F∵AB∥EFAE∥BF∴四边形
解析：15
【分析】
如图，连接AB ，CD ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，过点B 作BF ⊥CD 于F ．求出CE ， DF 即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AB ，CD ，过点A 作AE ⊥CD 于E ，过点B 作BF ⊥CD 于F ．
∵AB ∥EF ，AE ∥BF ，
∴四边形ABFE 是平行四边形，
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFB 是矩形，
∴EF=AB
∵AE ∥PC ，
∴∠PCA=∠CAE=30°，
∴CE=AC•sin30°=27.5（cm ），
同法可得DF=27.5（cm ），
∴EF= CD-CE-DF=70-27.5-27.5=15（cm ），
∴AB=15（cm ），
故答案为15．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
14．【分析】由点求得进而求得根据点在直线上可以求得点的坐标从而可以求得的值【详解】解：四边形是菱形是等边三角形点∴直线的解析式为直线的解析式为点在直线上点的坐标为点在反比例函数的图象上解得故答案为：【点 解析：12-
【分析】
由点()2,2A ，求得22OA =26OB =B 在直线:BD y x =-上，可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．
【详解】 解：四边形ABCD 是菱形，
BA BC ∴=，AC BD ⊥，
120BCD ∠=︒，
60ABC ∴∠=︒，ABC 是等边三角形，
点()2,2A ，
∴OA =
a tan t n 30OA OA BO ABO ∴====∠︒ 直线AC 的解析式为y x =，
∴直线BD 的解析式为y x =-，
2OB =B 在直线BD 上，
∴点B
的坐标为(-， 点B 在反比例函数k y x
=的图象上，
∴=
解得，12k =-，
故答案为：12-．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
15．【分析】解：如图添加字母过A 作AB ∥ED 可得∠1=∠CAB 连结BC 在△ABC 中由勾股定理AC=AB=BC=由AB2+BC2=5+5=10=AC2证得∠ABC=90°由AB=BC 可得∠CAB=45°利
【分析】
解：如图添加字母，过A 作AB ∥ED ，可得∠1=∠CAB ，连结BC ，在△ABC 中由勾股定理
，
AB 2+BC 2=5+5=10=AC 2，证得∠ABC=90°，由AB=BC 可得∠CAB=45°，利用三角函数定义sin ∠
CAB=2BC AC =
==。

【详解】
解：如图添加字母，过A 作AB ∥ED ，使AB=ED ，
∠1=∠CAB ，
连结BC ，
在△ABC 中，
，
AB =222+1=5，BC=221+2=5，
∵AB 2+BC 2=5+5=10=AC 2，
∴∠ABC=90°，AB=BC ，
∴∠CAB=45°，
sin ∠CAB 52210
BC AC ===， 故答案为：
22．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及逆定理，以及锐角三角函数关系，正确得出ABC 是直角三角形是解题关键．
16．40或【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半AQ ＝OQ-OA 即可解决问题（2）分两种情形分别画出图形解直角三角形即可解决问题
【详解】解：（1）由题意故答案为540（2）当是钝角时如图
解析：40 421211-或481211-
【分析】
（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半，AQ ＝OQ -OA 即可解决问题． （2）分两种情形分别画出图形，解直角三角形即可解决问题．
【详解】
解：（1）由题意11052
OA cm =⨯=，45540AQ cm =-=， 故答案为5，40．
（2）当OAQ ∠是钝角时，如图1中，作AH PQ ⊥于H ．
在Rt AHQ ∆中，1sin 10AH AQH AQ ∠==，40AQ =， 4AH ∴=，
22224041211QH AQ AH ∴=-=-=，
在Rt QOH ∆中，223OH
OA AH ，
31211OQ ∴=+，
45(31211)(421211)PQ cm ∴=-+=-， 当OAQ ∠是锐角时，如图2中，作AH OP ⊥交PO 的延长线于H ．同法可得：12113OQ =-，
45(12113)(481211)PQ cm ∴=--=-．
故答案为：421211-或481211-．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．120º【分析】根据绝对值和平方的非负数性质可得sinA=tanB=根据特殊角的三角函数值可得出∠A ∠B 的度数根据三角形内角和定理即可得答案【详解】∵∴sinA-=0-tanB=0∴sinA=tan
解析：120º
【分析】
根据绝对值和平方的非负数性质可得sinA=12，tanB=33
，根据特殊角的三角函数值可得出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理即可得答案．
【详解】
∵213sin tan 02A B ⎫-+=⎪⎪⎝⎭
， ∴sinA-12=03，
∴sinA=12，tanB=3
， ∴∠A=30°，∠B=30°，
∠C=180°-30°-30°=120°，
故答案为：120°
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质及三角形内角和定理，根据非负数性质得
出sinA=12，tanB=3
，并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 18．3【分析】由题意得△BEF ≌△DEF 故∠EDF=∠B ；由三角形的外角性质即可解决【详解】解：∵在△ABC 中∠BAC=90°AB=AC=5∴∠B=∠C 设
BE=x ∵AB=5∴AE=AB-BE=5-x ∵将
解析：3
【分析】
由题意得△BEF ≌△DEF ，故∠EDF=∠B ；由三角形的外角性质，即可解决．
【详解】
解：∵在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=5，
∴∠B=∠C ，
设BE=x ，∵AB=5
∴AE=AB-BE=5-x ，
∵将△ABC 折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处，
∴△BEF ≌△DEF
∴BE=DE=5-x ，∠B=∠EDF=∠C
∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC
∴∠ADE=∠DFC
∴sin ∠CFD=sin ∠ADE=
523
AE x DE x -==， 解得，x=3，
即，BE=3
故答案为：3
【点睛】
主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形外角性质等知识来解决问题． 19．【分析】由题意过点B 作BH ⊥AC 于H 先解直角三角形求出BH 再根据垂线段最短进行分析即可求解【详解】解：如图过点B 作BH ⊥AC 于H 在Rt △ABC 中∵∠ABC=90°AB=2∠C=30°∴AC=2AB=
【分析】
由题意过点B作BH⊥AC于H，先解直角三角形求出BH，再根据垂线段最短进行分析即可求解．
【详解】
解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，AB=2，∠C=30°，
∴AC=2AB=4，3
∵∠BHC=90°，
∴BH=1
3，
2
∵BF//AC，
∵当EF⊥AC时，EF的值最小，最小值3
3
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用和平行线的性质以及垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．或【分析】过A作AD⊥BC于D设等边△ABC的边长为4a则
DC=2aAD=2aPC=a分类讨论：当P在BC的延长线上时DP=DC+CP=2a+a=3a；当P 点在线段BC上即在P′的位置则DP′=DC
23
23
【分析】
过A作AD⊥BC于D，设等边△ABC的边长为4a，则DC=2a，3，PC=a，分类讨论：当P在BC的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a；当P点在线段BC上，即在P′的位置，则DP′=DC-CP′=a，然后分别利用正切的定义求解即可．
【详解】
解：如图，过A作AD⊥BC于D，
设等边△ABC 的边长为4a ，则DC=2a ，3a ，PC=a ， 当P 在BC 的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a ，
在Rt △ADP 中，tan ∠APD=2323AD a DP ==； 当P 点在线段BC 上，即在P′的位置，则DP′=DC -CP′=a ， 在Rt △ADP′中，tan ∠AP′D=
33AD a DP a ==' 23或3 【点睛】 本题考查解直角三角形；等边三角形的性质．
三、解答题
21．（1）()4,3；（2）()8,6Q ；10；（3）()3,6，()1.4,4.8
【分析】
（1）把两个函数解析式联立方程组计算即可；
（2）设P 的横坐标n ，根据勾股定理求出P ，Q 的坐标，计算即可； （3）①作MH OQ ⊥
，根据勾股定理和三角函数值求出M 的坐标计算即可；②当四边形NOMQ 为平行四边形和当△NOQ 与△MOQ 关于OQ 对称时分别计算即可得到结果；
【详解】
（1）由题意可得： 34152y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
， 化简得：31542
x x =-+， 解得：4x =， 把4x =代入y ＝34x 中，得3y =，
∴()4,3A ；
故答案是()4,3；
（2）如图，把0y =代入152y x =-+中，得到10x =， ∴()10,0C ，
设P 的横坐标n ，把x
n =代入152y x =-+得()154102y n n =-+≤≤， ∴1,52P n n ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
， 把x
n =代入34y x =得34y n =， ∴3,4
Q n n ⎛
⎫ ⎪⎝⎭， ∵()4,3A ，
∴22435OA =+=，31555424PQ n n n ⎛⎫=
--+=- ⎪⎝⎭， ∵
QP OA =， ∴5554
n -=， ∴8n =，
∴()8,6Q ，
作AG x ⊥轴，
则()△115841022
APQ S PQ GD ==⨯⨯-=； （3）①作MH OQ ⊥，
∵MQ 平分OQP ∠，
∴HM DM =，
设(),0M m （m ＞0），
则OM m =，8DM m =-
， ∴8HM m =-， ∵sin HM QOD OM
∠=，sin QD QOD OQ ∠=， ∴HM DQ OM OQ
=， ∵()8,6Q ，
∴
10OQ =，6DQ =， ∴8610m m
-=， ∴5m =，
∴()5,0M ；
②如图，当四边形NOMQ 为平行四边形时，△△NQO MOQ ≅，
则NQ 由OM 平移得到，()5,0M 平移到点()8,6Q ，则853-=，则横坐标加上3，606-=，则纵坐标加上6，
∵()0,0O ，
∴()13,6N ；
当△NOQ 与△MOQ 关于OQ 对称时，△△NOQ MOQ ≅，
设()2,N a b ， ∵6sin 0.610QD QOD QO ∠=
==， ∴0.6HM OM
=，
∴
0.65HM =， ∴3HM =，
∴226N M HM ==，
作2N F x ⊥轴，
则2FN M QOD ∠=∠， ∴228cos 6 4.810
FN MN QOD =∠=⨯=， 26sin 6 3.610
PM N M QOD =∠=⨯=， 5 3.6 1.4OF MO FM =-=-=， ∴()2 1.4,4.8N ；
综上所述，符合条件的N 点的坐标为()3,6，()1.4,4.8．
【点睛】
本题主要考查了一次函数综合应用，结合三角函数定义、勾股定理、三角形全等计算是解题的关键．
22．（1；（2【分析】 （1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE
∠=
求出EM 、AE 即可解决问题． （2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122
AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题． 【详解】
解：（1）作EM AC ⊥于M ．
四边形ABCD 是正方形，
90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，
∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =，
AE ∴=
在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，
EM CM ∴=
∴在RT AEM ∆中，sin EM EAC AE ∠=
=．
（2）在GDC ∆和EDA ∆中，
DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
GDC EDA ∴∆≅∆，
GCD EAD ∴∠=∠，34GC AE =
90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，
90DCG HEC ∴∠+∠=︒，
90EHC ∴∠=︒，
AH GC ∴⊥，
1122
AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴11853422
AH ⨯⨯=， 2034AH ∴=
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）CD ＝3
【分析】
（1）直接利用两角对应相等两三角形相似进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性质结合互余两角的关系得出∠DBE=∠EDC ，即可得出答案； （3）利用锐角三角函数关系得出∠ABD=∠DBE=30°，进而得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，
∴∠BAD ＝∠DBE ，
又∵∠A ＝∠BDE ，
∴△BAD ∽△BDE ， ∴BA BD ＝BD BE
， ∴BD 2＝BA •BE ；
（2）证明：∵△BAD ∽△BDE ，
∴∠ADB ＝∠DEB ，
∵∠BDE ＝90°，
∴∠DBE +∠BED ＝90°，
∠ADB +∠EDC ＝90°，
∴∠DBE ＝∠EDC ，
又∵∠C ＝∠C ，
∴△CDE ∽△CBD ；
（3）解：由（1）得：BD 2＝BA •BE ，
∵AB ＝6，BE ＝8，
∴BD 2＝6×8＝48，
∴BD ＝43， ∴cos ∠ABD ＝AB BD ＝43＝3， ∴∠ABD ＝30°，
∴∠ABD ＝∠DBC ＝30°，
∴∠C ＝30°， ∴∠C ＝∠DBE ， ∴BD ＝CD ＝43．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
24．（1）0；（2）
1
x x -，2． 【分析】
（1）原式先根据绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂以及算术平方根进行化简，再求出答案即可；
（2）先求出x 的值，再根据异分母分式的减法进行通分并化简，最后把x 的代入化简结果中求值即可．
【详解】
解：（1）()10122sin 45tan 50192-⎛⎫-︒--︒- ⎪⎝⎭=2222132
⨯--+
=213-+
=0；
（2）2221111
x x x x ++--- =2211(1)(1)
x x x x x ++--+- =
(1)(1)(1)x x x x ++- =1
x x - ∵14cos60=4=22x =︒⨯
， ∴原式=
2221
=-． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂以及算术平方根等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．
25．（1）2；（2）14x =-+24x =--．
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值，解出对应的函数值，代入计算即可
（2）将常数项移到等号的右侧，两边同时加上一次项系数一半的平方，然后利用平方根的定义开方，转化成两个一元一次方程求解即可
【详解】
（1）解：原式12= （2）解：原方程变形得：282x x +=
配方得：2228442x x ++=+
即：()2418x +=
开方得：4x +=±
解得：14x =-+24x =--．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程的步骤是解题关键．
26．（1）3；（2）
47
【分析】
（1）将这些特殊角的三角函数值代入求解即可；
（2）将比例式转换为等积式后得到a 、b 之间的关系，然后求得两个的比值即可．
【详解】
（1）23060245sin cos ︒+-︒
1
222
=⨯+ 131=+-
3=；
（2）设32a x b x ==，，
则26242347
a b x x a b x x --==++. 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，比例的基本性质以及实数的运算，解题的关键是熟记这些特殊角的三角函数值．。