2020-2021学年贵州省遵义市七年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年贵州省遵义市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.√2的相反数是()
A. √2
B. −√2
C. ±√2
D. √−2
2.估算1+√10
的值在()
2
A. 0和1之间
B. 1和2之间
C. 2和3之间
D. 3和4之间
3.如果平面直角坐标系中点P(x,x+5)在第一象限，则x的取值范围是()
A. x>0
B. x<0
C. x>−5
D. x<−5
4.如图，遵义的红军烈士陵园集中了建国后在遵义各处找到的红军遗骨，故又称红军
山，陵园正面是在纪念遵义会议五十周年时兴建的一座别具特色的纪念碑．从山脚一点A到纪念碑底部一点B，沿右边楼梯直行和沿左边弯曲的盘山公路走相比，缩短了行走的路程，其中蕴含的数学道理是()
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 垂线段最短
D. 同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行
5.如图，已知AB//CD，一副三角板按如图放置，∠AEG=
45°，则∠HFD为()
A. 45°
B. 30°
C. 40°
D. 60°
6.为了解某校620名学生参加课外劳动的时间，从中抽取100名学生加课外劳动的时
间进行分析，在此项调查中，样本是指()
A. 620名学生
B. 620名学生参加课外劳动的时间
C. 被抽取的100名学生
D. 被抽取的100名学生参加课外劳动的时间
7. 如图，不等式组{x +1≤3
2−5x <7
的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问
题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“现有一根木头，不知道它的长短．用一根绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去
量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木长x 尺、绳子长y 尺，可列方程组为( )
A. {y −x =4.5
x −y 2
=1
B. {x −y =4.5
x −y 2
=1
C. {y −x =4.5
y 2
−x =1
D. {x −y =4.5
y 2
−x =1
9. 设√2=a ，√3=b ，则√2×√0.03可以表示为( )
A. ab
100
B. 10ab
C. ab
10
D. 1
ab
10. 已知方程组{2x +3y =15x −2y =12的解是{x =2y =−1，则方程组{2(m +n)+3(m −n)=15(m +n)−2(m −n)=12
的
解是( ) A. {m =1
2
n =32
B. {m =0n =2
C. {m =3
2n =12
D. {m =2n =0
11. 某店第一次购进30袋薯片，平均每袋a 元；第二次购进20袋薯片，平均每袋b 元．然
后再把两次所购的50袋薯片以每袋a+b 2
元的价格全部卖出，结果发现赔了钱，原因
是( )
A. a >b
B. a <b
C. a =b
D. 与ab 大小无关
12. 如图是一个按某种规律排列的数阵：
按此规律，第2021行从左到右数第2021个数是( )
A. √2021
B. √2022
C. √2021×2022
D. √2021×20222
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 用“★”定义某种新运算：对于任意两个数a 和b ，规定a ★b =a 2−b 2，则√2★
1=______．
14. 平面直角坐标系的y 轴上一点A 到x 轴的距离为2，则点A 的坐标为______． 15. 若不等式组{2x +3>x +1
x −k <1
有四个整数解，则k 的取值范围是______．
16. 同一平面内有n 条不重合直线，其中任何两条都不平行，则它们相交所成的角中最
小角的度数不超过______．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分） 17. 计算：
(1)−12−3√1
8+|√2−3|；
(2)2(x 2−3xy)−(12y 2+2x 2)+2(3xy −1
4
y 2).
18. (1)解方程组：{x −2y =4
2x +3y =1
；
(2)已知x 、y 、z 满足方程组{x −2y +3z =3
3x −6y −z =−1，求x ：y ．
19. (1)若两个数a ，b 满足a 2+b 2=0，则a =______，b =______；
(2)若√3 x −53与√1−2x 3
互为相反数，求1−√x 的值．
20. 一项倡导将盘中餐吃光、带走的“光盘行动”早已在全国兴
起，“光盘行动”在2020年再度入选十大流行语．某校数学兴趣小组为了解某小区居民对“光盘行动”的践行情况，随机调查了该小区部分居民(每个居民必须选一种且只能选择一种做法)，调查结果分为“都能做到”(记为A)、“大多
数时候能做到”(记为B)、“少数时候能做到”(记为C).“都做不到”(记为D)四类，根据结果绘制了如下不完整统计图表． 选项 频数 A 60 B m C 50 D
n
(1)本次调查的居民共______人； (2)表格中m =______，n =______；
(3)假设该小区共有居民1200人，请估计都能做到“光盘行动”的有多少人？对此你有什么看法？
21.阅读材料，解决问题
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命
题的题设但不满足结论就可以了．例如要判断命题“同位角相
等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：
如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等．
请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题(要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例)．
22.学习平行线相关知识后，小亮和小颖一起继续探究：
(1)小亮将直尺和三角板如图1摆放得到AB//CD，这样画平行线的依据是______；
(2)好学的小颖在所得平行线图形中又画出一点P，并连接AP、CP得到图2，经过
动手测量后小颖猜想∠APC、∠A、∠C之间有如下数量关系______，请你帮小颖证明这一结论；
(3)爱思考的小亮也在所得平行线图形中画出一点P′，同样连接AP′、CP′，但他却
发现∠AP′C、∠A、∠C之间的数量关系和(2)中小颖得到的不一样．请你就小亮的探究画出图形，并直接写出∠AP′C、∠A、∠C之间的数量关系．
23.地球上的淡水资源是有限的，为节约用水，某公司准备购进A型和B型两种设备共
10台，用于将雨水和生产用水再次收集与重复循环使用．已知购进A型设备3台、B型设备1台，共需97万元；购进A型设备2台、B型设备3台，共需116万元．
(1)购买A型设备和B型设备每台各需多少万元？
(2)已知A型和B型设备每台每天处理的循环水量分别为35吨和30吨，若该公司
购买A型和B型两种设备的总费用不超过240万元，为确保这10台设备每天处理的循环水量不少于320吨，则该公司有几种购买方案？哪种购买方案费用最少？
24.平面直角坐标系中，线段DC是由线段AB平移得到，
点A(−2,0)的对应点为
点D(0,−4)，点B(0,m)的对应点为点C，且√m−4+
√4−m=0．
(1)求点C的坐标；
(2)在x轴上是否存在点P，使三角形BCP的面积是三角形ABO面积的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)①如图，当∠EAC=1
2∠BAC，∠BDE=1
2
∠BDC时，求∠AED的度数；
②当∠EAC=1
n ∠BAC，∠BDE=1
n
∠BDC时，直接写出∠AED的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：√2的相反数是−√2．
故选：B．
一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】C
【解析】解：∵9<10<16，
∴3<√10<4，
∴4<1+√10<5，
∴2<1+√10
<2.5，
2
∴1+√10
在 2 和 3 之间．
2
故选：C．
先得出√10的取值范围进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√10的取值范围是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵点P(x,x+5)在第一象限，
∴{x>0
x+5>0，
解得x>0，
故选：A．
根据第一象限内点的符号特点列出不等式组，再确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：从山脚一点A到纪念碑底部一点B，
沿右边楼梯直行和沿左边弯曲的盘山公路走相比，
缩短了行走的路程，
其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短．
故选：B．
根据平行线的性质，直线的性质，线段的性质，垂线段最短，进行判断即可．
本题考查了平行线的性质，直线的性质，线段的性质，垂线段最短，解决本题的关键是准确理解两点之间，线段最短．
5.【答案】B
【解析】解：由题意知：∠EGH=45°，∠GHF=30°．
∵∠AEG=45°，
∴∠AEG=∠EGH．
∴AB//GH．
又∵AB//CD，
∴GH//CD．
∴∠GHF=∠HFD=30°．
故选：B．
由∠AEG=45°，得∠AEG=∠EGH，故AB//GH，那么GH//CD，进而可推断出∠GHF=∠HFD=30°．
本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：为了解某校620名学生参加课外劳动的时间，从中抽取100名学生加课外劳动的时间进行分析，在此项调查中，样本是指被抽取的100名学生参加课外劳动的时间．
故选：D．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取
的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7.【答案】C
【解析】解：解不等式x+1≤3，得：x≤2，
解不等式2−5x<7，得：x>−1，
则不等式组的解集为−1<x≤2，
故选：C．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：设木长x尺、绳子长y尺，
得：{y−x=4.5 x−y
2
=1；
故选：A．
由绳子比木头长4.5尺得：y−x=4.5；由绳子对折后比木头短1尺得：x−y
2
=1；组成方程组即可．
本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
9.【答案】C
【解析】解：原式=√2×√3
100
=√2×√3
10
，
当√2=a ，√3=b 时， 原式=
ab 10
，
故选：C ．
根据二次根式的乘除运算即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用√a ×√b =√ab(a 、
b 为非负数)，√a √
b =√a
b (a 为非负数，b 为正数)，本题属于基础题型．
10.【答案】A
【解析】解：根据题意得： {m +n =2m −n =−1， 解得{m =
1
2
n =
32，
故选：A ．
根据两个方程组的对应项的系数、常数都相同，可得m 、n 的二元一次方程组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的解，根据两个方程组的特点，得到关于m 、n 的方程组是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：50袋薯片的成本为30a +20b ， 卖出的总钱数为50×a+b 2
=25(a +b)，
∵赔了钱，
∴25(a +b)−(30a +20b)<0， 解得a >b ． 故选：A ．
找出50袋薯片的成本和总钱数，根据赔钱时利润小于0列出不等式，解之即可． 本题主要考查不等式，理解赔钱时利润小于0是解题的关键．
12.【答案】D
个数可得，
【解析】解：由题意可得第m个数可表示为√m，前n行共有n(n+1)
2
．
第2021行从左到右数第2021个数是√2021×2022
2
故选：D．
此题只要求得第2021行从左到右数第2021个数是第2021×(2021+1)
个数，而第m个数就
2
表示成√m，就可以求得结果了．
此题主要考查实数的概念与规律归纳，关键是能应用1+2+3+⋯+n=n(n+1)
这个数
2
字规律．
13.【答案】1
【解析】解：∵a★b=a2−b2，
∴√2★1=(√2)2−12
=2−1
=1．
故答案为：1．
直接利用新定义将原式变形得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确应用已知公式计算是解题关键．
14.【答案】(0,2)或(0,−2)
【解析】解：∵点A在x轴上，
∴点A的横坐标为零，
又∵点A到x轴的距离为2，
∴点A的坐标为(0,2)或(0,−2)．
故答案为：(0,2)或(0,−2)．
根据y轴上点的横坐标为零解答即可．
本题考查了点的坐标，利用y轴上点的横坐标为零是解题关键．
15.【答案】1<k≤2
【解析】解：解不等式2x+3>x+1，得：x>−2，
解不等式x−k<1，得：x<k+1，
则不等式组的解集为−2<x<k+1，
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的整数解为−1、0、1、2，
则2<k+1≤3，
解得1<k≤2，
故答案为：1<k≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于k的不等式组，解不等式组可得k的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组有4个整数解得到关于k的不等式组是关键．
16.【答案】180°
n
【解析】解：当同一平面内有2条不重合的直线，若使得它们相交所成的角中最小角最大，当这2条直线相交形成的夹角均相等，则这2条直线相交所成的角中最小角最大为
360°
；
2×2
当同一平面内有3条不重合的直线，若使得它们相交所成的角中最小角最大，当这3条
；
直线相交形成的夹角均相等，则这3条直线相交所成的角中最小角最大为360°
2×3
当同一平面内有4条不重合的直线，若使得它们相交所成的角中最小角最大，当这4条直线相交形成的夹角均相等，则这4条直线相交所成的角中最小角最大为360°
；
2×4
…
以此类推，当同一平面内有n条不重合的直线，若使得它们相交所成的角中最小角最大，
=当这n条直线相交形成的夹角均相等，则这n条直线相交所成的角中最小角最大为360°
2n
180°
．
n
故答案为：180°．
本题主要考查角的定义，熟练运用从特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=−1−1
2+3−√2
=3
2−√2；
(2)原式=2x 2−6xy −1
2y 2−2x 2+6xy −1
2y 2 =−y 2．
【解析】(1)直接利用立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案； (2)直接去括号，再合并同类项得出答案．
此题主要考查了实数运算以及整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1){
x −2y =4①
2x +3y =1②
，
①×2−②得：−7y =7， 解得：y =−1，
将y =−1代入①得：x =2， 所以，方程组的解是{x =2
y =−1；
(2){x −2y +3z =3①3x −6y −z =−1②，
①×3−②得z =1， 把z =1代入①得x −2y =0， 解得x =2y ，
所以x ：y =2y ：y =2：1．
【解析】(1)利用加减消元法求解即可；
(2)把原方程组看作是关于x 和y 的二元一次方程组，解得x =2y ，然后计算x 、y 的比值．
本题考查了解三元一次方程组：利用消元法把三元一次方程组转化为二元一次方程组求解是解题的关键．
19.【答案】0 0
【解析】解：(1)∵a2+b2=0，而a2≥0，b2≥0，
∴a2=0，b2=0，
解得a=0，b=0．
故答案为：0；0；
(2)由题意得，(3x−5)+(1−2x)=0，
解得x=4，
∴1−√x=1−2=−1．
(1)根据偶次方的非负数性质解答即可；
(2)根据互为相反数的两个数的和为0解答即可．
本题考查了非负数的性质以及相反数，掌握偶次方的非负数性以及相反数的定义是解答本题的关键．
20.【答案】200 80 10
=200(人)，
【解析】解：(1)根据题意得：60÷108°
360∘
故答案为：200；
(2)m=200×40%=80，
n=200−60−80−50=10，
故答案为：80，10；
=360(人)，
(3)1200×60
200
答：估计都能做到“光盘行动”的有360人，要从从思想上增强责任意识，节约意识，树立节约光荣，浪费可耻的观念．
(1)根据A的频数除以所占的百分比即可确定出调查的总人数；
(2)根据总人数进而确定出m与n的值即可；
(3)总人数乘以样本中“都能做到”(记为A)、“的所占比例即可．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：如图，∠1=∠2，但是∠1与∠2不是对顶角．
故相等的角是对顶角是假命题．
【解析】结合图形举出反例即可．
本题考查命题与定理，真命题与假命题等知识，解题的关键是学会举例说明命题是假命题．
22.【答案】两直线平行(或同旁内角互补，两直线平行或同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)∠APC=∠A+∠C
【解析】解：(1)如图1，根据同位角相等，两直线平行(或同旁内角互补，两直线平行或同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)可判断AB//CD；
故答案为两直线平行(或同旁内角互补，两直线平行或同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)；
(2)∠APC=∠A+∠C．
理由如下：
过P点作PE//AB，如图2，
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠APE=∠A，∠CPE=∠C，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C；
(3)如图3，过P′
作P′Q//AB，
∵AB//CD，
∴P′Q//CD，
∴∠A+∠AP′Q=
180°，∠C+
∠CP′Q=180°，
∴∠AP′C=
∠C)；
如图4，过P′作P′E//AB ， ∵AB//CD ， ∴P′E//CD ，
∴∠AP′E =∠A ，∠CP′E =∠C ，
∴∠AP′C =∠CP′E −∠AP′E =∠C −∠A ； 如图5，过P′作P′F//AB ， ∵AB//CD ， ∴P′F//CD ，
∴∠AP′F =∠A ，∠CP′F =∠C ，
∴∠AP′C =∠AP′F −∠CP′F =∠A −∠C ． (1)根据平行线的判定方法求解；
(2)过P 点作PE//AB ，如图2，根据平行线的判定先得到PE//CD ，再利用平行线的性质得到∠APE =∠A ，∠CPE =∠C ，从而得到∠APC =∠A +∠C ；
(3)利用P′点在AB 上方或P′点在CD 的下方或P′点在直线AC 的左侧分别画图，然后利用平行线的性质写出对应的∠AP′C 、∠A 、∠C 之间的数量关系．
本题考查了作图−基本作图，熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
23.【答案】解：(1)设A 型设备每台需x 万元，B 型设备每台需y 万元，
根据题意的{3x +y =972x +3y =116，
解得{x =25y =22
，
答：A 型设备每台需25万元，B 型设备每台需22万元； (2)设购买A 型设备m 台，则购买B 型设备(10−m)台， 根据题意，得{25m +22(10−m)≤240
35m +30(10−m)≥320，
解得4≤m ≤
203
，
∵m 只能取正整数， ∴m =4或5或6，
∴购买A型设备4台，B型设备6台费用最少．
【解析】(1)设A型设备每台需x万元，B型设备每台需y万元，根据“购进A型设备3台、B型设备1台，共需97万元；购进A型设备2台、B型设备3台，共需116万元”列二元一次方程组，从而可以解答本题；
(2)设购买A型设备m台，则购买B型设备(10−m)台，根据“该公司购买A型和B型两种设备的总费用不超过240万元，为确保这10台设备每天处理的循环水量不少于320吨”列不等式组求出m的取值范围，再根据两种设备的单价解答即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
24.【答案】解：(1)∵√m−4+√4−m=0，
∴m−4≥0，4−m≥0，
∴m=4，
∴B(0,4)，
∵D(0,−4)，线段DC是由线段AB平移得到，
∴C(2,0)．
(2)存在．设P(m,0)，
由题意，1
2×|m−2|×4=3×1
2
×2×4，
解得m=8或−4，
∴P(8,0)或(−4,0)．(3)①如图，作EH//AB．
∵AB//CD，AB//EH，
∴∠AEH=∠BAE，∠DEH=∠EDC，∠BAC=∠OCD，∴∠AED=∠AEH+∠DEH=∠BAE+∠CDE，
∵∠EAC=1
2∠BAC，∠BDE=1
2
∠BDC，
∴∠BAE=1
2∠BAC=1
2
∠OCD，∠CDE=1
2
∠CDO，
∴∠AED=1
2∠OCD+1
2
∠CDO=1
2
(∠OCD+∠CDO)=45°．
②∵∠AED=∠BAE+∠CDE，
又∵∠EAC=1
n ∠BAC，∠BDE=1
n
∠BDC，
∴∠BAE=n−1
n ∠BAC=n−1
n
∠OCD，∠CDE=n−1
n
∠CDO，
∴∠AED=n−1
n ∠OCD+n−1
n
∠CDO=n−1
n
×90°．
【解析】(1)根据二次根式的被开方数是非负数，求出m，可得结论．
(2)存在．设P(m,0)，利用面积关系构建方程求解即可．
(3)①如图，作EH//AB.首先证明∠AED=∠AEH+∠DEH=∠BAE+∠CDE，再利用角平分线的定义以及平行线的性质，可得结论．
②利用结论∠AED=∠BAE+∠CDE，再利用平行线的性质结合已知条件，解决问题即可．
本题属于三角形综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义，二次根式的被开方数的非负性等知识，解题的关键是证明基本结论∠AED=∠BAE+∠CDE，属于中考常考题型．。