专题12 直线与圆有关计算-2018年高考数学(理)母题题源系列(天津专版)

母题十二 直线与圆有关计算【母题原题1】【2018天津，理12】已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ．【答案】12【解析】试题分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 【母题原题2】【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________．【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，∵314d =< ，∴有两个交点 【名师点睛】再利用公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换．【命题意图】直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现． 【命题规律】近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．【答题模板】解答本类题目，以2016年试题为例，一般考虑如下三步： 第一步：利用待定系数法求圆标准方程 第二步：根据圆中垂径定理揭示等量关系第三步：利用圆与圆位置关系、坐标表示逐层揭示刻画多元关系 【方法总结】1．以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系，突出考查方程思想和解析法 2．以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式， 注重考查圆相关几何性质．3．利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系，重点考查直线与圆的综合应用以及数形结合的数学思想．1．【2018天津静海县一中期末考】已知圆222220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，则实数a 的值是（ )A ． －3B ． －2C ． －1D ． －4 【答案】C2．【2018天津七校联考】设点P 是函数y =点()()2,3Q a a a R -∈，则PQ 的最大值为（ ）A ．25+ B ． 2 C ．5D ．【答案】B【解析】函数y =()()22140x y y -+=≤Q 在直线3,2602xy x y =---= 上，所以PQ 22+= ，选B【名师点睛】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．（2）与圆上点(),x y 有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如y bu x a-=-型的最值问题，可转化为过点(),a b 和点(),x y 的直线的斜率的最值问题；②形如t ax by =+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如()()22x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点到定点(),a b 的距离平方的最值问题． 3．【2018天津河西区模拟】圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 【答案】D4．【2018天津一中模拟五】已知圆：与双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，进而利用c 2=a 2+b 2求得a 和c 的关系 详解：圆C ：x 2+y 2+2x+2y+1＝0的标方准程为（x+1）2+（y+）2=3，∴圆心坐标为（-1，-），半径为∵双曲线一条渐近线为bx-ay=0与圆相切，∴圆心到渐近线的距离为，求得a=b ，∴c 2=a 2+b 2=4b 2，∴e=，故选：B ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．5．【2018天津静海县一中期末考】若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ． 9 B ． 19 C ． 21 D ． －11 【答案】A【解析】()10,0C ， 11r =， ()23,4C 5，由于两圆外切，故15=，解得9m =．所以选A ．6．【2018天津七校期中联考】已知点()4,2(0,0)a b a b >>在圆22:4C x y +=和圆()()22:224M x y -+-=的公共弦上，则12a b+的最小值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 【答案】D选D【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．7．【2018天津河东区期中考】已知圆()()22:124C x y ++-=，则其圆心和半径分别为（ ） A ． ()1,2， 4 B ． ()1,2-， 2 C ． ()1,2-， 2 D ． ()1,2-， 4 【答案】C【解析】由圆的标准方程()()222x a y b r -+-=，得圆心为()1,2-，半径2r =．故选C ．8．【2018天津部分区二模】已知直线恒过定点，且以为圆心，5为半径的圆与直线相交于两点，则弦的长为_______．【答案】【解析】分析：求出直线过的定点坐标C，以及圆心到直线的距离d，根据直线和圆相交的弦长公式故答案为：2【名师点睛】当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题．9．【2018天津十二二模】以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点、，则__________．【答案】2【解析】分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将极坐标方程为化成直角坐标方程，再将曲线的参数方程化成普通方程，最后利用直角坐标方程的形式，利用垂径定理及勾股定理，由圆的半径及圆心到直线的距离，即可求出的长．详解：，利用进行化简，，为参数），相消去可得圆的方程为：得到圆心，半径为，圆心到直线的距离，，线段的长为，故答案为．【名师点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．10．【2018天津滨海新区模拟】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--= (0)a >相交于,A B两点，若AB =a =__________．【名师点睛】直线与圆相交，连接圆心与弦中点的直线垂直于弦，所以关于弦的问题，利用这个垂直构成直角三角形运算．11．【20182kx k =-+有两个不等实根，则实数k 的取值范围是_________． 【答案】422,0,33⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】y =2y kx k =-+为过点()1,2的直线，由图可知，直线2y kx k =-+，即20kx y k --+=，2d ==， 40,3k =-，过()2,0-时， 23k =；过()2,0时， 2k =-，所以k 的取值范围是422,0,33⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦12．【2018天津一中模拟二】圆心在直线4y x =-，且与直线10x y +-=相切于点()32P -，的圆的标准方程为__________．【答案】()()22148x y -++=【名师点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题．13．【2018天津七校联考】若圆()2221:240C x y ax a a R +++-=∈与圆()2222:210C x y by b b R +--+=∈恰有三条公切线，则a b +的最大值为__________． 【答案】6【解析】由题意得两圆相外切，即1212C C r r =+ ，21=+229,6a b a b ∴+=+≤=【名师点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． （2）切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定14．【2018天津十二重点中学模拟】已知圆的圆心在轴正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为________．【答案】【解析】设圆的方程为，由点在圆上，且圆心到直线的距离为，得，解得圆的方程为，故答案为．15．【2018天津部分区期末】以点()0,b 为圆心的圆与直线21y x =+相切于点()1,3，则该圆的方程为__________．【答案】227524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭16．【2018天津河东区期中】已知点()11P ，在圆()()224x a y b -++=的内部，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()1,1-【解析】因为()11P ，在圆()()224x a y b -++=内部，∴()()22114a a -++<，即2224a +<，即222a <，即21a <，∴11a -<<， ()1,1a ∈-．17．【2018浙江台州模拟】若圆关于直线对称，则的最小值为__________．由点向圆所作两条切线，切点记为，当取最小值时，外接圆的半径为__________．【答案】【解析】分析：首先根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐标，代入直线方程，求得，之后将其转化为关于b 的关系式，配方求得最小值，通过分析图形的特征，求得什么情况下是该题所要的结果，从而得到圆心到直线的距离即为外接圆的直径，进一步求得其半径．距离，即，此时A，B，P，C四点共圆，此时PC即为外接圆的直径，所以其半径就是．【名师点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，在解题的过程中，注意圆关于直线对称的条件，之后应用代换，转化为关于b的二次式，利用配方法求得最小值，再者就是分析图形，得到什么情况下满足取最值，归纳出外接圆的直径，从而求得半径．18．【2018江西师大附中三模】为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值．【名师点睛】（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力．（2）本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M的轨迹方程．。