备战中考数学备考之圆的综合压轴突破训练∶培优篇含详细答案(1)

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．
【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．
【解析】
【分析】
（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；
（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；
（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】
（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT=TC=1
2
3
∴124
；
（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，
∴∠HBC+∠BCH=90°
在△COF中，
∵∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，
在△AEH和△AFH中，
∵
AFH AEH
AHF AHE AH AH
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEH≌△AFH（AAS），
∴EH=FH；
（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG=4，
连AG，
∵∠BCG=90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG=90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为平行四边形，
∴AF=CG=4．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
2．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
【答案】（1）4；（2）3
5
；（3）点E的坐标为（1，2）、（
5
3
，
10
3
）、（4，2）．
【解析】
分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则
MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，
②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．
详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．
∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．
∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，
∴tan∠BAH=BH
HA
=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．
故答案为4．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．
由（1）得：OH=2，BH=4．
∵OC与⊙M相切于N，∴MN⊥OC．
设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．
∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．
∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =
12（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．
在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．
解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ．
∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ．
∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =12
BD =2，∴OF =4，
∴OG
同理可得：OB AB ，∴BG =
12AB ．
设OR =x ，则RG x ．
∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，
∴（
2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．
解得：x ，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2）2=365，∴BR
在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB
35． 故答案为35
． （3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．
此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ． 则有2t =2．
解得：t =1．则OP =CD =DB =1．
∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴
DE OC =BD BC =12
，∴DE =2，∴EP =2， ∴点E 的坐标为（1，2）．
②当∠BED =90°时，如图3．
∵∠DBE =OBC ，∠DEB =∠BCO =90°，∴△DBE ∽△OBC ，
∴BE
BC =2DB BE OB ∴，∴BE ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP =∠BOC ．
∵∠OPE =∠BCO =90°，∴△OPE ∽△BCO ， ∴OE
OB =OP BC
，2t ，∴OE ．
∵OE+BE=OB=255
，∴t+
5
5
t=25．
解得：t=5
3
，∴OP=
5
3
，OE=
55
，∴PE=22
OE OP
-=
10
3
，
∴点E的坐标为（510
33
，）．
③当∠DBE=90°时，如图4．
此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．
则有OD=PE，EA=22
PE PA
+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．
∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．
在Rt△DBE中，cos∠BED=BE
DE
=
2
2
，∴DE=2BE，
∴t=22
（t﹣22）=2t﹣4．
解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、
（510
33
，）、（4，2）．
点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．
3．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°.
【解析】
试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD 是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴AOD BOC ∆≅∆
∴AO=OB
（2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC ，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252
B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.
4．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30.
【解析】
【分析】
（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，
∴OE CD ⊥，
∴90CEO ∠=︒，
又∵OC BE ，
∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA
∵OE=OB ，
∴OEB OBE ∠=∠，
∴COE COA ∠=∠，
又∵OC=OC ，OA=OE ，
∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）
， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴AC 为⊙O 的切线；
（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，
∴OF=OB=BF=EF ，
∴OE=OB=BE ，
∴OBE ∆为等边三角形，
∴60BOE ∠=︒，
而OE CD ⊥，
∴30D ∠=︒．
故答案为30．
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
5．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A 作出直径BC 所在射线的垂线．
【答案】画图见解析.
【解析】
【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.
【详解】解：画图如下：
【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.
6．如图1O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．
()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；
()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12
BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线；
②求PC 的长．
【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．
【解析】
分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出
OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即
可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，
//OP PD PD AB ⊥，，
90POB ∴∠=，
O 的直径12AB =，
6OB OD ∴==，
在Rt POB 中，30ABC ∠=，
3tan30623OP OB ∴=⋅=⨯
=， 在Rt POD 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；
()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，
DC AC =，
30DBC ABC ∴∠=∠=，
60ABD ∴∠=，
OB OD =，
OBD ∴是等边三角形，
OD FB ∴⊥， 12BE AB =， OB BE ∴=，
//BF ED ∴，
90ODE OFB ∴∠=∠=，
DE ∴是O 的切线；
②由①知，OD BC ⊥，
3cos30633CF FB OB ∴==⋅=⨯
=， 在Rt POD 中，OF DF =， 13(2
PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=-．
点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD 是等边三角形是解题关键．
7．已知：如图，△ABC 中，AC=3，∠ABC=30°．
（1）尺规作图：求作△ABC 的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；
（2）求（1）中所求作的圆的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．
【解析】
试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB 的垂直平分线；②作线段BC 的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O 为圆心，OA 长为半圆画圆，则圆O 即为所求作的圆． 如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC ＝3，如图弦AC 所对的圆周角是∠ABC =30°，所以圆心角∠AOC =60°，所以∆AOC 是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．
（2）连接OA，OB．
∵AC=3，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴圆的半径是3，
∴圆的面积是S=πr2=9π．
8．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞2），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．
（1）求证：△OBC≌△ABD
（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．
（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时，直线EF∥直线BO；这时⊙F和直线BO的位置关系如何？请给予说明．
【答案】（1）见解析；（2）直线AE的位置不变，AE的解析式为：33
y x
=-
（3）C点运动到(4,0)处时，直线EF∥直线BO；此时直线BO与⊙F相切，理由见解析.【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质可得到OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC，等号两边都加上
∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD.（2）先由三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，由等边△BCD，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到
∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式.（3）由
EA ∥OB ，EF ∥OB ，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF 与EA 重合，所以F 为BC 与AE 的交点，又F 为BC 的中点，得到A 为OC 中点，由A 的坐标即可求出C 的坐标；相切理由是由F 为等边三角形BC 边的中点，根据“三线合一”得到DF 与BC 垂直，由EF 与OB 平行得到BF 与OB 垂直，得证.
【详解】
（1）证明：∵△OAB 和△BCD 都为等边三角形，
∴OB=AB ，BC=BD ，∠OBA=∠DBC=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC ，
即∠OBC=∠ABD ，
在△OBC 和△ABD 中，
OB AB OBC ABD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△OBC ≌△ABD.
（2）随着C 点的变化，直线AE 的位置不变，
∵△OBC ≌△ABD ，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=2，
在Rt △AOE 中，tan60°=
OE OA
， 则
∴点E 坐标为（0，
设直线AE 解析式为y=kx+b ，把E 和A 的坐标代入得：
02k b b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩
，
解得，k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AE
的解析式为：y =-
（3）C 点运动到(4,0)处时，直线EF ∥直线BO ；此时直线BO 与⊙F 相切，理由如下： ∵∠BOA=∠DAC=60°，EA ∥OB ，又EF ∥OB ，
则EF 与EA 所在的直线重合，
∴点F 为DE 与BC 的交点，
又F 为BC 中点，
∴A 为OC 中点，又AO=2，则OC=4，
∴当C 的坐标为（4，0）时，EF ∥OB ，
这时直线BO与⊙F相切，理由如下：
∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，
∴直线BO与⊙F相切，
【点睛】
本题考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关系.熟练掌握相关性质定理是解题关键.
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF 上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求⊙O的半径．
35．
【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】
【分析】
（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F=∠EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD225
DE CE
-=△CDE∽△DBE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图，连接BD．
∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ．
∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．
∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．
∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．
∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．
∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．
∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴
CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径354
=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．
10．阅读下列材料：
如图1，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，AB 是⊙O 1和⊙O 2外公切线，A 、B 为切点，
求证：AC ⊥BC
证明：过点C 作⊙O 1和⊙O 2的内公切线交AB 于D ，
∵DA 、DC 是⊙O 1的切线
∴DA=DC ．
∴∠DAC=∠DCA ．
同理∠DCB=∠DBC ．
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，
∴∠DCA+∠DCB=90°．
即AC ⊥BC ．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；
（2）以AB 所在直线为x 轴，过点C 且垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系（如图2），已知A 、B 两点的坐标为（﹣4，0），（1，0），求经过A 、B 、C 三点的抛物线y=ax 2+bx+c 的函数解析式；
（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O 1O 2上，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）213222
y x x =
+- ；（3）见解析 【解析】 试题分析：（1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180°，可知用了三角形内角和定理；
（2）先根据勾股定理求出C 点坐标，再用待定系数法即可求出经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式；
（3）过C 作两圆的公切线，交AB 于点D ，由切线长定理可求出D 点坐标，根据,C D 两点的坐标可求出过,C D 两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可．
试题解析：(1)DA 、DC 是1O 的切线，
∴DA =DC .应用的是切线长定理；
180DAC DCA DCB DBC ∠+∠+∠+∠=，应用的是三角形内角和定理.
(2)设C 点坐标为(0,y ),则222AB AC BC =+， 即()()22
2224141y y --=-+++， 即225172y =+,解得y =2(舍去)或y =−2.
故C 点坐标为(0,−2)，
设经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式为2
y ax bx c ，=++ 则164002,a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ 解得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩
，
故所求二次函数的解析式为213 2.22y x x =+-
(3)过C 作两圆的公切线CD 交AB 于D ,则AD =BD =CD ,由A (−4,0),B (1,0)可知3(,0)2D -
， 设过CD 两点的直线为y =kx +b ,则
3022k b b ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩， 解得432k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
故此一次函数的解析式为423
y x =--， ∵过12,O O 的直线必过C 点且与直线423y x =-
-垂直， 故过12,O O 的直线的解析式为324
y x =-， 由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为325(,)28-
-， 代入直线解析式得33252,428
⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭ 故这条抛物线的顶点落在两圆的连心12O O 上.。