广义非线性Schr
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2021 年 6 月 第 36 卷 第 6 期
内江师范学院学报 JournalofNeijiangNormalUniversity
Jun.2021 Vol.36 No.6
广 义 非 线 性 Schr¨ odinger方 程 的 显 示 解
何黎霞, 孙峪怀*, 胡 艳*
(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)
iv(|q|2)xq =0,
(1)
其 中,i= -1,q=q(x,t)为复函数,x 表示沿传播 方向的距离,t 是 延 迟 时 间,λ 是 高 阶 色 散 系 数,μ 为拉曼散射 系 数,v 是 非 线 性 色 散 项 的 系 数.方 程 (1)是描述光孤子 在 非 线 性 光 纤 中 传 输 的 基 本 数 学 模型.Miao 等 运 [14] 用 修 正 的 (G′/G)-展 开 法 构 建
第6期
何黎霞,等:广义非线性 Schr¨ odinger方程的显示解
· 25 ·
确定参数a1,…,am 的取 值 范 围 却 十分困难.借助多 项式的完全判别系统[16],确定参数a1,…,am 的取值 范围,从而得到F(u,a1,…,am )的具体形式.最后,直接 求解积分式(3),进而得到方程(1)的解.
了方程(1)的 双 曲 函 数 解、三 角 函 数 解 和 有 理 函 数 解,Du等 利 [15] 用 动 力 系 统 分 支 方 法 构 建 了 该 方 程 的 精 确 解 .本 文 ,运 用 完 全 判 别 系 统 法 研 究 方 程 (1), 获 得 了 方 程 (1)的 七 类 精 确 行 波 解.与 修 正 的 (G′/G)-展开 法 以 及 动 力 系 统 分 支 方 法 相 比,完 全 判别系统法的计算 过 程 相 对 简 单,并 且 构 建 的 精 确
4
m
(x
-ct)),
q10(x,t)=± 41mexp(i(x +ωt+θ))
α+
(β-α)tanh2(γ -α
4
m
(x -ct)),
其 中 ,m=3μ6+λ2v,c=16λ2 +s62λ--2sωλ-8sλ.
作另 一 个 变 换 ψ= -βcsions22φφ+γ,可 得 方 程 (1)
有如下形式的解
(1)额外的解
4
q15(x,t)=± am2exp(i(x +ωt+θ))
1+cos(2
2
4
ma2
(x
-ct))-1,
4
q16(x,t)=± am2exp(i(x +ωt+θ))
第6期
何黎霞,等:广义非线性 Schr¨ odinger方程的显示解
· 27 ·
1+sech(2
2
4
ma2
(x
-ct))-1,
摘 要:应用完全判别系统法,构造 广 义 非 线 性 Schr¨odinger方 程 的 精 确 解.得 到 了 系 列 显 示 解,包 括 扭 波 解、
三角函数解、有理函数解、Jacobi椭圆函数解、暗孤立波解、周 期 波 解 和 双 曲 函 数 解.并 将 所 得 结 果 与 已 有 报 道 结 果
0 引言
非线性偏微分方程是现代科学领域中描述复杂
非 线 性 现 象 的 数 学 模 型 ,广 泛 应 用 于 控 制 理 论 、流 行
病 学 、化 学 循 环 系 统 、力 学 、生 物 系 统 、生 态 经 济 系 统
等领域.为理解非线 性 偏 微 分 方 程 所 刻 画 的 非 线 性 现 象 的 内 在 规 律 ,研 究 方 程 的 精 确 解 具 有 重 要 意 义 . 迄今为止,研究学者 们 提 出 了 许 多 构 建 非 线 性 偏 微 分方程精确解的 有 效 方 法,如 试 探 方 程 法[1]、Lie对
(β-α)sin2φ,可 得
∫ ±2(ζ-ζ0)= 2 γ-α
dφ
, (12)
1-m21sin2φ
其中,m2 1 =γβ--αα.由(12)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形
式的解
q8(x,t)=± 41mexp(i(x+ωt+θ))
α+
(β-α)sn2(γ-α
4
m
(x-ct),m1),
其中,
其中,
tan2(
-
n 2
(x-ct))+2,
m =3μ6+λ2v,
n=3λ-λc-s,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
· 26 ·
内江师范学院学报
第 36 卷
如果a1 > 0,由 (11)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形 式的解
q6(x,t)=± 2nmexp(i(x+ωt+θ))
可
得
方
程
(1)
有如下形式的解
4
q14(x,t)=± am2exp(i(x +ωt+θ))
1+sech(2
2
4
ma2
(x
-1, -ct),m2)
其 中,m22
=
1 2(1
-
a1 2 a2
),m
=
3μ6+λ2v,c =
16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.当
m2=0或
m2=1时,Jacobi椭
圆函数将退化为三角函数或双曲函数,从而得到方程
tanh2(
n 2
(x-ct))-2,
q7(x,t)=± 2nmexp(i(x+ωt+θ))
其中,
coth2(
n 2
(x-ct))-2,
m =3μ6+λ2v,
n=3λ-λc-s,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
情形3 假设 Δ>0,a2 ≠0并且α<β<γ.假设
α,β,γ中一个为零,其余为 F(ψ)的根.作变换ψ=α+
其为零.
令 F(ψ)=ψ2 +a1ψ+a2,因 此 ,可 以 得 到 其 完 全
判 别系统为 Δ=a2 1-4a2.根据F(ψ)的根的分类,可 分为以下四种情况讨论.
情形1 假设 Δ=0.由于ψ >0,有
∫ ±2(ζ-ζ0)=
dψ , (ψ+a21 ) ψ
(10)
如果a1 < 0,由 (10)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形
q11(x,t)=
±
1
4
exp(i(x
+ωt+θ))
m
-βsn(γ -α
4
m
(x
-ct),m1)+γ
cn(γ -α
4
m
(x
-ct),m1)
其中,
m21 =γβ--αα,m =3μ6+λ2v,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
当 m1=0或 m1=1时,Jacobi椭 圆 函 数 将 退 化 为 三
图1
扭
结
波
解q1(x,t),当
m=1,n=
-8,c=
1 4
时
的
图
像
图2
周
期
波
解q15(x,t),当
式的解
q1(x,t)=
±
-2nmtanh(
-
n 2
(x-ct))exp(i(x+ωt+θ))
q2(x,t)=
±
-2nmcoth(
-
n 2
(x-ct))exp(i(x+ωt+θ))
其中,
m =3μ6+λ2v,
n=3λ-λc-s,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
如果a1 > 0,由 (10)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形
m =3μ6+λ2v,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
情 形2 假设 Δ>0并且a2=0.由于ψ>-a1,
有
∫ ±2(ζ-ζ0)=
dψ .
ψ ψ +a1
(11)
如果a1 <0,由(11)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形 式 的
解
q5(x,t)=± -2nmexp(i(x+ωt+θ))
(6λ-s)u″= (2ω+2λ-s)u+ (2μ-2)u3, (6)
比 较 方 程 (5)和 方 程 (6),有
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
对 方 程 (5)积 分 一 次 ,可 得
(u′)2 =mu4 +nu2 +a2,
(7)
其中,a2 是积分常数,
m =3μ6+λ2v,n=3λ-λc-s.
m
(x -ct))+γ
sech(γ -α
4
m
(x -ct))
m =3μ6+λ2v,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
情形4
假设 Δ<0.作变换ψ=
a2tan2
φ 2
,有
∫ ±2(ζ-ζ0)=
1 4a2
dφ
, (13)
1-m22sin2φ
其
中
,m22
=
1 2
(1- a1 2 a2
).由
(13)式
m2 1 =γβ--αα,
m =3μ6+λ2v,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
当 m1 =0或 m1 =1时,Jacobi椭圆函数将退化为三
角 函 数 或 双 曲 函 数 ,从 而 得 到 方 程 (1)额 外 的 解
q9(x,t)=
±
1
4
exp(i(x
+ωt+θ))
m
α+
(β-α)sin2(γ -α
角 函 数 或 双 曲 函 数 ,从 而 得 到 方 程 (1)额 外 的 解
q12(x,t)=
±
1
4
exp(i(x
+ωt+θ))
m
-βsin(γ-α 4m (x -ct))+γ ,
cos(γ -α
4
m
(x
-ct))
q13(x,t)=
±
1
4
exp(i(x
+ωt+θ))
m
其中,
-βtanh(γ -α
4
称
方
法 [2]、( G
G+′G′)-展
开
法 [3]、首
次
积
分
法 、 [4]
(G′/G)-展 开 法[5]、(G′/G2)-展 开 法[6]、同 伦 分 析
变换法[7]、完全判别系统法 等 [8-11] .
本文,考虑如下形式的广义非线性 Schr¨ odinger
方 程[12-13]
iqt - s2qxx +|q|2q-iλqxxx +iμ(|q|2q)x +
行波解更为丰富.
1 方法的简述
完全判别系统法的主要步骤可概括如下:
考虑非线性数学和物理方程
P(q,qx,qt,2)
其中,q=q(x,t)是未知函数,P 是关于q 及其偏导
数 的 多 项 式 .作 行 波 变 换q(x,t)=u(ξ)exp(iϕ),ξ=
x-ct,ϕ=x+ωt+θ,方 程 (2)简 化 为 如 下 常 微 分 方
2 过程与结果
假 设 方 程 (1)有 如 下 形 式 的 解
q(x,t)=u(ξ)exp(iϕ),ξ=x-ct,ϕ=x+ωt+θ, (4)
其中,u 和ϕ 分别表 示q 的 振 幅 和 相 位.将(4)式 代 入 方 程 (1),并 且 令 虚 部 和 实 部 分 别 为 零 ,可 得
λu″= (3λ-c-s)u+ (3μ3+2v)u3, (5)
作 了 对 比 ,表 明 获 得 了 新 解 .
关键词:显示解;广义非线性 Schr¨odinger方程;完全判别系统法
DOI:10.13603/ki.51-1621/z.2021.06.005
中 图 分 类 号 :O175.29
文 献 标 志 码 :A
文 章 编 号 :1671-1785(2021)06-0024-05
程
u′(ξ)=F(u,a1,…,am ), 其中,a1,…,am 是参数.将上式积分一次,得到
∫ ξ-ξ0 =
du
,
F(u,a1,…,am )
(3)
其中,ξ0 是积分 常 数.显 然,只 需 求 解 (3)式.然 而,
收 稿 日 期 :2021-03-11 基 金 项 目 :国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 (11371267);四 川 省 教 育 厅 自 然 科 学 重 点 基 金 资 助 项 目 (2012ZA135) 作 者 简 介 :何 黎 霞 (1997— ),女 ,四 川 冕 宁 人 ,硕 士 研 究 生 ,研 究 方 向 :偏 微 分 方 程 * 通 信 作 者 :孙 峪 怀 (1963— ),男 ,四 川 成 都 人 ,教 授 ,博 士 ,研 究 方 向 :数 学 物 理 方 程
作如下变换
ψ= mu2,ζ= 4mξ, 方 程 (7)转 化 为
ψζ2 =4ψ(ψ2 +a1ψ+a2), 其中,a1 = n ,a2 =a2.
m 将 方 程 (8)写 成 积 分 形 式 ,有
(8)
∫ ±2(ζ-ζ0)=
dψ
,
ψ(ψ2 +a1ψ+a2)
(9)
其中,ζ0 是积分常数,并且在方程(1)的 精 确 解 中 令
其
中
,m
=3μ6+λ2v,c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
为了更直观地 理 解 这 些 显 示 解,将 参 数 取 特 殊
值,绘制了部分显示解 的 三 维 图.图 1(a)- 图 3(a) 分别表示扭 结 波 解q1(x,t)、周 期 波 解q15(x,t)以 及暗孤波 解q16(x,t).图 1(b)- 图 3(b)分 别 表 示 三个行波解在t=0,t=1时沿x 轴的波.
式的解
q3(x,t)= ±
2nmtan(
n 2
(x-ct))exp(i(x+ωt+θ)),
其中,
m =3μ6+λ2v,
n=3λ-λc-s,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
如果a1 =0,由(10)式可得方程(1)有如下形式
的解
q4(x,t)=± m (x1-ct)exp(i(x+ωt+θ), 其中,
内江师范学院学报 JournalofNeijiangNormalUniversity
Jun.2021 Vol.36 No.6
广 义 非 线 性 Schr¨ odinger方 程 的 显 示 解
何黎霞, 孙峪怀*, 胡 艳*
(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)
iv(|q|2)xq =0,
(1)
其 中,i= -1,q=q(x,t)为复函数,x 表示沿传播 方向的距离,t 是 延 迟 时 间,λ 是 高 阶 色 散 系 数,μ 为拉曼散射 系 数,v 是 非 线 性 色 散 项 的 系 数.方 程 (1)是描述光孤子 在 非 线 性 光 纤 中 传 输 的 基 本 数 学 模型.Miao 等 运 [14] 用 修 正 的 (G′/G)-展 开 法 构 建
第6期
何黎霞,等:广义非线性 Schr¨ odinger方程的显示解
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确定参数a1,…,am 的取 值 范 围 却 十分困难.借助多 项式的完全判别系统[16],确定参数a1,…,am 的取值 范围,从而得到F(u,a1,…,am )的具体形式.最后,直接 求解积分式(3),进而得到方程(1)的解.
了方程(1)的 双 曲 函 数 解、三 角 函 数 解 和 有 理 函 数 解,Du等 利 [15] 用 动 力 系 统 分 支 方 法 构 建 了 该 方 程 的 精 确 解 .本 文 ,运 用 完 全 判 别 系 统 法 研 究 方 程 (1), 获 得 了 方 程 (1)的 七 类 精 确 行 波 解.与 修 正 的 (G′/G)-展开 法 以 及 动 力 系 统 分 支 方 法 相 比,完 全 判别系统法的计算 过 程 相 对 简 单,并 且 构 建 的 精 确
4
m
(x
-ct)),
q10(x,t)=± 41mexp(i(x +ωt+θ))
α+
(β-α)tanh2(γ -α
4
m
(x -ct)),
其 中 ,m=3μ6+λ2v,c=16λ2 +s62λ--2sωλ-8sλ.
作另 一 个 变 换 ψ= -βcsions22φφ+γ,可 得 方 程 (1)
有如下形式的解
(1)额外的解
4
q15(x,t)=± am2exp(i(x +ωt+θ))
1+cos(2
2
4
ma2
(x
-ct))-1,
4
q16(x,t)=± am2exp(i(x +ωt+θ))
第6期
何黎霞,等:广义非线性 Schr¨ odinger方程的显示解
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1+sech(2
2
4
ma2
(x
-ct))-1,
摘 要:应用完全判别系统法,构造 广 义 非 线 性 Schr¨odinger方 程 的 精 确 解.得 到 了 系 列 显 示 解,包 括 扭 波 解、
三角函数解、有理函数解、Jacobi椭圆函数解、暗孤立波解、周 期 波 解 和 双 曲 函 数 解.并 将 所 得 结 果 与 已 有 报 道 结 果
0 引言
非线性偏微分方程是现代科学领域中描述复杂
非 线 性 现 象 的 数 学 模 型 ,广 泛 应 用 于 控 制 理 论 、流 行
病 学 、化 学 循 环 系 统 、力 学 、生 物 系 统 、生 态 经 济 系 统
等领域.为理解非线 性 偏 微 分 方 程 所 刻 画 的 非 线 性 现 象 的 内 在 规 律 ,研 究 方 程 的 精 确 解 具 有 重 要 意 义 . 迄今为止,研究学者 们 提 出 了 许 多 构 建 非 线 性 偏 微 分方程精确解的 有 效 方 法,如 试 探 方 程 法[1]、Lie对
(β-α)sin2φ,可 得
∫ ±2(ζ-ζ0)= 2 γ-α
dφ
, (12)
1-m21sin2φ
其中,m2 1 =γβ--αα.由(12)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形
式的解
q8(x,t)=± 41mexp(i(x+ωt+θ))
α+
(β-α)sn2(γ-α
4
m
(x-ct),m1),
其中,
其中,
tan2(
-
n 2
(x-ct))+2,
m =3μ6+λ2v,
n=3λ-λc-s,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
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内江师范学院学报
第 36 卷
如果a1 > 0,由 (11)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形 式的解
q6(x,t)=± 2nmexp(i(x+ωt+θ))
可
得
方
程
(1)
有如下形式的解
4
q14(x,t)=± am2exp(i(x +ωt+θ))
1+sech(2
2
4
ma2
(x
-1, -ct),m2)
其 中,m22
=
1 2(1
-
a1 2 a2
),m
=
3μ6+λ2v,c =
16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.当
m2=0或
m2=1时,Jacobi椭
圆函数将退化为三角函数或双曲函数,从而得到方程
tanh2(
n 2
(x-ct))-2,
q7(x,t)=± 2nmexp(i(x+ωt+θ))
其中,
coth2(
n 2
(x-ct))-2,
m =3μ6+λ2v,
n=3λ-λc-s,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
情形3 假设 Δ>0,a2 ≠0并且α<β<γ.假设
α,β,γ中一个为零,其余为 F(ψ)的根.作变换ψ=α+
其为零.
令 F(ψ)=ψ2 +a1ψ+a2,因 此 ,可 以 得 到 其 完 全
判 别系统为 Δ=a2 1-4a2.根据F(ψ)的根的分类,可 分为以下四种情况讨论.
情形1 假设 Δ=0.由于ψ >0,有
∫ ±2(ζ-ζ0)=
dψ , (ψ+a21 ) ψ
(10)
如果a1 < 0,由 (10)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形
q11(x,t)=
±
1
4
exp(i(x
+ωt+θ))
m
-βsn(γ -α
4
m
(x
-ct),m1)+γ
cn(γ -α
4
m
(x
-ct),m1)
其中,
m21 =γβ--αα,m =3μ6+λ2v,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
当 m1=0或 m1=1时,Jacobi椭 圆 函 数 将 退 化 为 三
图1
扭
结
波
解q1(x,t),当
m=1,n=
-8,c=
1 4
时
的
图
像
图2
周
期
波
解q15(x,t),当
式的解
q1(x,t)=
±
-2nmtanh(
-
n 2
(x-ct))exp(i(x+ωt+θ))
q2(x,t)=
±
-2nmcoth(
-
n 2
(x-ct))exp(i(x+ωt+θ))
其中,
m =3μ6+λ2v,
n=3λ-λc-s,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
如果a1 > 0,由 (10)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形
m =3μ6+λ2v,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
情 形2 假设 Δ>0并且a2=0.由于ψ>-a1,
有
∫ ±2(ζ-ζ0)=
dψ .
ψ ψ +a1
(11)
如果a1 <0,由(11)式 可 得 方 程 (1)有 如 下 形 式 的
解
q5(x,t)=± -2nmexp(i(x+ωt+θ))
(6λ-s)u″= (2ω+2λ-s)u+ (2μ-2)u3, (6)
比 较 方 程 (5)和 方 程 (6),有
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
对 方 程 (5)积 分 一 次 ,可 得
(u′)2 =mu4 +nu2 +a2,
(7)
其中,a2 是积分常数,
m =3μ6+λ2v,n=3λ-λc-s.
m
(x -ct))+γ
sech(γ -α
4
m
(x -ct))
m =3μ6+λ2v,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
情形4
假设 Δ<0.作变换ψ=
a2tan2
φ 2
,有
∫ ±2(ζ-ζ0)=
1 4a2
dφ
, (13)
1-m22sin2φ
其
中
,m22
=
1 2
(1- a1 2 a2
).由
(13)式
m2 1 =γβ--αα,
m =3μ6+λ2v,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
当 m1 =0或 m1 =1时,Jacobi椭圆函数将退化为三
角 函 数 或 双 曲 函 数 ,从 而 得 到 方 程 (1)额 外 的 解
q9(x,t)=
±
1
4
exp(i(x
+ωt+θ))
m
α+
(β-α)sin2(γ -α
角 函 数 或 双 曲 函 数 ,从 而 得 到 方 程 (1)额 外 的 解
q12(x,t)=
±
1
4
exp(i(x
+ωt+θ))
m
-βsin(γ-α 4m (x -ct))+γ ,
cos(γ -α
4
m
(x
-ct))
q13(x,t)=
±
1
4
exp(i(x
+ωt+θ))
m
其中,
-βtanh(γ -α
4
称
方
法 [2]、( G
G+′G′)-展
开
法 [3]、首
次
积
分
法 、 [4]
(G′/G)-展 开 法[5]、(G′/G2)-展 开 法[6]、同 伦 分 析
变换法[7]、完全判别系统法 等 [8-11] .
本文,考虑如下形式的广义非线性 Schr¨ odinger
方 程[12-13]
iqt - s2qxx +|q|2q-iλqxxx +iμ(|q|2q)x +
行波解更为丰富.
1 方法的简述
完全判别系统法的主要步骤可概括如下:
考虑非线性数学和物理方程
P(q,qx,qt,2)
其中,q=q(x,t)是未知函数,P 是关于q 及其偏导
数 的 多 项 式 .作 行 波 变 换q(x,t)=u(ξ)exp(iϕ),ξ=
x-ct,ϕ=x+ωt+θ,方 程 (2)简 化 为 如 下 常 微 分 方
2 过程与结果
假 设 方 程 (1)有 如 下 形 式 的 解
q(x,t)=u(ξ)exp(iϕ),ξ=x-ct,ϕ=x+ωt+θ, (4)
其中,u 和ϕ 分别表 示q 的 振 幅 和 相 位.将(4)式 代 入 方 程 (1),并 且 令 虚 部 和 实 部 分 别 为 零 ,可 得
λu″= (3λ-c-s)u+ (3μ3+2v)u3, (5)
作 了 对 比 ,表 明 获 得 了 新 解 .
关键词:显示解;广义非线性 Schr¨odinger方程;完全判别系统法
DOI:10.13603/ki.51-1621/z.2021.06.005
中 图 分 类 号 :O175.29
文 献 标 志 码 :A
文 章 编 号 :1671-1785(2021)06-0024-05
程
u′(ξ)=F(u,a1,…,am ), 其中,a1,…,am 是参数.将上式积分一次,得到
∫ ξ-ξ0 =
du
,
F(u,a1,…,am )
(3)
其中,ξ0 是积分 常 数.显 然,只 需 求 解 (3)式.然 而,
收 稿 日 期 :2021-03-11 基 金 项 目 :国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 (11371267);四 川 省 教 育 厅 自 然 科 学 重 点 基 金 资 助 项 目 (2012ZA135) 作 者 简 介 :何 黎 霞 (1997— ),女 ,四 川 冕 宁 人 ,硕 士 研 究 生 ,研 究 方 向 :偏 微 分 方 程 * 通 信 作 者 :孙 峪 怀 (1963— ),男 ,四 川 成 都 人 ,教 授 ,博 士 ,研 究 方 向 :数 学 物 理 方 程
作如下变换
ψ= mu2,ζ= 4mξ, 方 程 (7)转 化 为
ψζ2 =4ψ(ψ2 +a1ψ+a2), 其中,a1 = n ,a2 =a2.
m 将 方 程 (8)写 成 积 分 形 式 ,有
(8)
∫ ±2(ζ-ζ0)=
dψ
,
ψ(ψ2 +a1ψ+a2)
(9)
其中,ζ0 是积分常数,并且在方程(1)的 精 确 解 中 令
其
中
,m
=3μ6+λ2v,c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
为了更直观地 理 解 这 些 显 示 解,将 参 数 取 特 殊
值,绘制了部分显示解 的 三 维 图.图 1(a)- 图 3(a) 分别表示扭 结 波 解q1(x,t)、周 期 波 解q15(x,t)以 及暗孤波 解q16(x,t).图 1(b)- 图 3(b)分 别 表 示 三个行波解在t=0,t=1时沿x 轴的波.
式的解
q3(x,t)= ±
2nmtan(
n 2
(x-ct))exp(i(x+ωt+θ)),
其中,
m =3μ6+λ2v,
n=3λ-λc-s,
c=16λ2
+s2 -2ωλ 6λ-s
-8sλ.
如果a1 =0,由(10)式可得方程(1)有如下形式
的解
q4(x,t)=± m (x1-ct)exp(i(x+ωt+θ), 其中,