中考数学第六章 实数知识点-+典型题及答案

中考数学第六章 实数知识点-+典型题及答案
一、选择题
1．=15.9065.036( )
A ．159.06
B ．50.36
C ．1590.6
D ．503.6 2．下列命题中，真命题是（ ）
A ．实数包括正有理数、0和无理数
B ．有理数就是有限小数
C ．无限小数就是无理数
D ．无论是无理数还是有理数都是实数
3．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把(0)a a a a a a ÷÷÷
÷÷≠记作a ⓒ，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的
是（ ） A ．任何非零数的圈2次方都等于1
B ．对于任何正整数a ，21()a
a
=④ C ．3=4④④
D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数.
4．16的算术平方根是（ ）
A ．2
B ．2±
C ．4
D ．4± 5．下列一组数2211
-8,3,0,2,0.010010001 (7)
223
π，，，(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有( ) A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 6．下列说法正确的是 （ ） A ．m -一定表示负数
B ．平方根等于它本身的数为0和1
C ．倒数是本身的数为1
D ．互为相反数的绝对值相等
7．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A ．2-与12-
B ．|
C D
830b -= ）
A ．0
B ．±2
C ．2
D ．4
9．在实数227
-π中，无理数的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．2的平方根为（ ）
A ．4
B ．±4
C ．2
D ．±2 二、填空题
11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．
12．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2
k n 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：
若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ．
13．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．
14．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．
15．a※b 是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣
1．若（﹣2）※x=2+x，则x 的值是_____．
16．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则(154)15*+=____
17．一个数的立方等于它本身，这个数是__．
18．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.
19．将2π，933-272
这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________． 20．已知2(21)10a b ++-=，则22004a b +=________．
三、解答题
21．如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．
22．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2， （﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把
n a a a a a ÷÷÷÷个（a≠0）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．
初步探究 （1）直接写出计算结果：2③=________，1
)2
-（⑤=________； （2）关于除方，下列说法错误的是________ A ．任何非零数的圈2次方都等于1； B ．对于任何正整数n ，1=1； C ．3④=4③ D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④=________；5⑥=________；
1)2
-（⑩=________． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于________；
（3）算一算：()3242162÷+-⨯④． 23．七年某班师生为了解决“22012个位上的数字是_____”这个问题，通过观察、分析、猜想、验证、归纳等活动，从而使问题得以解决，体现了从特殊到一般的数学思想方法．师生共同探索如下：
（1）认真填空，仔细观察．
因为21=2，所以21个位上的数字是2 ；
因为22=4，所以22个位上的数字是4；
因为23=8，所以23个位上的数字是8；
因为24= _____ ，所以24个位上的数字是_____；
因为25= _____ ，所以25个位上的数字是_____；
因为26= _____ ，所以26个位上的数字是_____；
（2）小明是个爱动脑筋的学生，他利用上述方法继续探索，马上发现了规律，于是猜想：210个位上的数字是4，你认为对吗？
（3）利用上述得到的规律，可知：22012个位上的数字是_____；
（4）利用上述研究数学问题的思想与方法，试求：32013个位上的数字是_____．
24．观察下列两个等式：112-2133=⨯+，225-5133
=⨯+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+ 成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（2，13），（5，23
），都是“共生有理数对”． （1）数对（-2，1），（3，
12）中是“共生有理数对”吗？说明理由． （2）若（m ，n ）是“共生有理数对”，则（-n ，-m ）是“共生有理数对”吗？说明理由．
25．计算
（1）+|－5|1）2020
（22|
26．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式1c c <+． （1）求,,a b c 的值．
（2）求2232a b c ++的平方根．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据已知等式，利用算术平方根性质判断即可得到结果．
【详解】
，
=×100=503.6，
故选：D ．
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
2．D
【分析】
直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．
【详解】
A 、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；
B 、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；
C 、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；
D 、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据定义依次计算判定即可．
【详解】
解：A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、a ④=21111()a a a a a a a a a ÷÷÷=⨯
⨯⨯=； 所以选项B 正确； C 、3④=3÷3÷3÷3=19，4④=4÷4÷4÷4=116
，，则 3④≠4④； 所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；
故选：C ．
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
4．C
解析：C
【分析】
本题是求16的算术平方根，应看哪个正数的平方等于16，由此即可解决问题．
【详解】
∵（±4）2=16，
∴16的算术平方根是4．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．
解析：C
【分析】
根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
【详解】 解：2211-8,3,0,2,0.010010001...7223π，，，(相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有：
0.010010001...2π，(相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个 故选：C
【点睛】
本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方
0.1010010001…，等. 6．D
解析：D
【分析】
当m 是负数时，-m 表示正数；平方根等于本身的数是0；倒数等于本身的数是±1；互为相反数的绝对值相等.
【详解】
A. 若m=﹣1，则﹣m=﹣（﹣1）=1，表示正数，故A 选项错误；
B. 平方根等于它本身的数为0，故B 选项错误；
C. 倒数是本身的数为1和﹣1，故C 选项错误；
D. 互为相反数的绝对值相等，故D 选项正确；
故选D
【点睛】
本题考查了平方根、倒数以及相反数的概念，熟练掌握各个知识点是解题关键. 7．C
解析：C
【分析】
先化简，然后根据相反数的意义进行判断即可得出答案.
【详解】
解：A. 2-与12
-不是一组相反数，故本选项错误；
B. |，所以| 不是一组相反数，故本选项错误；
，
故选：C
【点睛】
本题考查了相反数，能将各数化简并正确掌握相反数的概念是解题关键.
8．C
解析：C
【分析】
由算术平方根和绝对值的非负性，求出a、b的值，然后进行计算即可．
【详解】
解：根据题意，得
a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4，
∴2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是正确求出a、b的值．
9．B
解析：B
【解析】
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
详解：无理数有π共2个．
故选B．
点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数．
10．D
解析：D
【分析】
利用平方根的定义求解即可．
【详解】
解：∵2的平方根是．
故选D.
【点睛】
此题主要考查了平方根的定义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数.
二、填空题
11．-4
【解析】
解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，
所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．
解析：-4
【解析】
解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．
12．．
【详解】
第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；
第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；
第五次：1×3+5
解析：8．
【详解】
第一次：3×449+5=1352，第二次：1352
2k
，由题意k=3时结果为169；
第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；
第六次：8
2k
，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循
环．
因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．
故答案为8．
13．11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答
解析：11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答案为11．
【点睛】
此题主要考查了平方根，正确利用平方根的定义得出n的值是解题关键．
14．①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b ，两式
解析：①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；
方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；
左边=(a※b)※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c
右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2
两式不相等，所以④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故答案为①③.
【点睛】
有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．
15．4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根
解析：4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.
16．4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
=
=
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键
解析：4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
4)+
4
=4
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．
17．0或±1．
【分析】
根据立方的定义计算即可．
【详解】
解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，
∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．
故答案为：0或±1．
【点睛】
本题考查了乘方的
解析：0或±1．
【分析】
根据立方的定义计算即可．
【详解】
解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，
∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．
故答案为：0或±1．
【点睛】
本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．
18．【解析】
由数轴得，a+b<0,b-a>0,
|a+b|+=-a-b+b-a=-2a.
故答案为-2a.
点睛：根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小
解析：2a
-
【解析】
由数轴得，a+b<0,b-a>0,
=-a-b+b-a=-2a.
故答案为-2a.
点睛：根据
,0
,0
a a
a
a a
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝
对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简. 19．＜＜
【分析】
先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．
【详解】
==，==，
∵＞3＞2，
∴＜＜，即＜＜，
故答案为：＜＜
【点睛】
本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解
＜
2
π
【分析】
先根据数的开方法则计算出3的值，再比较各数大小即可． 【详解】
33=22=32-=32， ∵π＞3＞2，
∴22＜32＜2π＜2
π，
＜2
π 【点睛】
的值是解题关键． 20．【分析】 根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴2a＋1＝0，b −1＝0，
∴a＝，b ＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了非负数 解析：54
【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵2(21)0a +=，
∴2a ＋1＝0，b−1＝0，
∴a ＝12-
，b ＝1， ∴2
22004200411511244a b ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭，
故答案为：54． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
三、解答题
21．不能，说明见解析.
【分析】 根据长方形的长宽比设长方形的长DC 为3xcm ，宽AD 为2xcm ，结合长方形ABCD 的面积为300cm 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程即可求出x 的值，从而得出AB 的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积147cm 2 ，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB 的长进行比较即可得出结论．
【详解】
解：设长方形的长DC 为3xcm ，宽AD 为2xcm ．
由题意，得 3x•2x=300，
∵x ＞0，
∴50x =，
∴AB=350cm ，BC=250cm ．
∵圆的面积为147cm 2，设圆的半径为rcm ，
∴πr 2=147，
解得：r=7cm ．
∴两个圆的直径总长为28cm ．
∵350364382428<=⨯=<，
∴不能并排裁出两个面积均为147cm 2的圆．
22．初步探究（1）
12；—8；（2）C ；深入思考（1）213；415；28；（2）2
1n a -；（3）—1． 【解析】
试题分析：理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果．
试题解析：
概念学习
（1）2③=2÷2÷2=，
（﹣）⑤=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1÷（﹣）÷（﹣）
÷（﹣）=（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）=﹣8
故答案为，﹣8；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确；
C、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③；所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选C；
深入思考：
（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=1×（）2=；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=1×（）4=；
（﹣）⑩=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）
=1×2×2×2×2×2×2×2×2
=28；
故答案为，，28．
（2）aⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷a n﹣2=．
（3）：24÷23+（﹣8）×2③
=24÷8+（﹣8）×
=3﹣4
=﹣1．
【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
23．（1）16，6；32，2；64，4；（2）对；（3）6；（4）3．
【分析】
（1）利用乘方的概念分别求出24、25、26的结果，即可解决；
（2）算出210的结果，即可知道个位数是多少，即可解决；
（3）按照上述规律，以4为周期，个位数重复2、4、8、6，故2012中刚好有503组，故能得出答案；
（4）分别求出31，32，33，34，找出规律，个位数重复3，9，7，1，2013中是4的503倍，而且余1，故得出结论．
【详解】
解：（1）∵24=16、25=32、26=64
∴24的个位数为6；25的个位数为2；26的个位数为4；
（2）∵210=1024
∴个位数是4，该说法对
（3）可以知道规律，以4为周期，各位数重复2、4、8、6，故2012中刚好有503组，故22012个位数刚好为6；
（4）∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243；
∴个位数重复3，9，7，1
∵2013中是4的503倍，而且余1
∴个位数为3．
【点睛】
本题主要考查了乘方的运算以及找规律，熟练乘方的运算以及找出规律是解决本题的关键．
24．(1) (−2,1)不是“共生有理数对”，
1
3,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是“共生有理数对”；理由见详解.
(2)(−n,−m)是“共生有理数对”，理由见详解.【分析】
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（2）根据“共生有理数对”的定义即可判断；【详解】
(1)−2−1=−3，−2×1+1=1，
∴−2−1≠−2×1+1，
∴(−2,1)不是“共生有理数对”，
∵
1515 3,31
2222 -=⨯+=，
∴
11
331
22
-=⨯+，
∴(
1
3,
2
)是“共生有理数对”；
(2)是.
理由：− n−(−m)=−n+m，
−n⋅(−m)+1=mn+1
∵(m,n)是“共生有理数对”
∴m−n=mn+1
∴−n+m=mn+1
∴(−n,−m)是“共生有理数对”，
【点睛】
考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，等式的性质，读懂题目中“共生有理数对”的定义是解题的关键.
25．（1）0；（2）4．
【分析】
（1）实数的混合运算，先化简绝对值、求一个数的立方根，乘方，然后再做加减；
（2）二实数的混合运算，先化简二次根式和求一个数的立方根及绝对值，然后去括号，最后做加减．
【详解】
解：（1）+|－5|1）2020
=5-4-1
=0
（22|
=43(25-+
=435-
=4
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键．
26．（1）6a =，8b =-，2c =；（2）12±
【分析】
(1)利用平方根，立方根定义以及估算方法确定出a ，b ，c 的值即可；
(2)把a ，b ，c 的值代入计算即可求出所求．
【详解】
解：(1)根据题意得：a−2=4，a−3b−3=27，23<<，
∴a=6，b=−8，c=2；
(2)原式=2×62+(-8)2+23=72+64+8=144，144的平方根是±12．
∴2232a b c ++的平方根是±12.
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，平方根以及立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键.。