2014-2015学年福建省三明市宁化县城东中学九年级上学期期中数学试卷与解析

2014-2015学年福建省三明市宁化县城东中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）一元二次方程x2=3x的根为（）
A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x=﹣3 D．x1=﹣3，x2=0
2．（4分）若mn=ab，则下列比例式中不正确的是（）
A．B．C．D．
3．（4分）现有4件外观相同的产品，其中1件是次品，其余均是正品，现从中随机取出两件，两件均为正品的概率是（）
A．B．C．D．
4．（4分）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1•x2=（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
5．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）
A．1 B．C．2 D．2
6．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）
A．45°B．55°C．60°D．75°
7．（4分）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（）
A．AO=OC，OB=OD B．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
C．AO=OC，OB=OD，AC⊥BD D．AO=OC=OB=OD
8．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）
A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）
A．B．C．D．
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：．
12．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，且a=2，b=8，c=5，那么d=．13．（4分）已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．
14．（4分）如图，DE∥AB，AC=3AD，S△ABC=5，则△CED的面积是．
15．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的值可以是．（写出一个即可）
16．（4分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=2，则AB=．
三、解答题（共7小题，满分86分）
17．（16分）（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，=，求CE的长．
（2）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．如果=6，求x的值．
18．（10分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE ∥AC，DF∥AB．
（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是形；
（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是形；
（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）
19．（10分）小李拿到四张大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，他将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张．
（1）用画树状图的方法，列出小李这两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
（2）计算小李抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？
20．（12分）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙两队的工作效率与题干的不同，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
21．（12分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
22．（12分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一
条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
23．（14分）如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB﹣BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC﹣CB﹣BA 做匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求a的值．
2014-2015学年福建省三明市宁化县城东中学九年级
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）一元二次方程x2=3x的根为（）
A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x=﹣3 D．x1=﹣3，x2=0
【解答】解：移项得：x2﹣3x=0，
∴x（x﹣3）=0
∴x=0或x﹣3=0，
∴x1=0，x2=3，
故选：B．
2．（4分）若mn=ab，则下列比例式中不正确的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、由=得，mn=ab，故本选项错误；
B、由=得，mn=ab，故本选项错误；
C、由=得，mb=an，故本选项正确；
D、由=得，mn=ab，故本选项错误．
故选：C．
3．（4分）现有4件外观相同的产品，其中1件是次品，其余均是正品，现从中随机取出两件，两件均为正品的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：从三件正品a，b，c和一件次品d中取出两件．
总的取法种数：ab，ac，ad，bc，bd，cd．
取出的两件均为正品事件为：ab，ac，bc．
所以取出的两件均为正品概率为：=．
故选：D．
4．（4分）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1•x2=（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，
∴x1x2==3，
故选：B．
5．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）
A．1 B．C．2 D．2
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD的长是2．
故选：C．
6．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）
A．45°B．55°C．60°D．75°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
故选：C．
7．（4分）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（）A．AO=OC，OB=OD B．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
C．AO=OC，OB=OD，AC⊥BD D．AO=OC=OB=OD
【解答】解：A，不能，只能判定为平行四边形；
B，能，因为对角线相等且互相垂直平分；
C，不能，只能判定为菱形；
D，不能，只能判定为矩形；
故选：B．
8．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FAE=∠ABE，∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF．
故选：B．
9．（4分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）
A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，
即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，
∴a=c．
故选：A．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵四边形MBND是菱形，
∴MD=MB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，
解得x=y，
∴MD=MB=2x﹣y=y，
∴==．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：x2=1（答案不唯一）．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1，
∴方程有很多，
例如x2﹣x=0．
故答案为：x2=1（答案不唯一）．
12．（4分）已知a，b，c，d是成比例线段，且a=2，b=8，c=5，那么d=20．【解答】解：∵a：b=c：d，
∴ad=bc，
∵a=2，b=8，c=5，
∴2d=8×5，
∴d=20．
故答案为：20．
13．（4分）已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是20cm2．
【解答】解：由已知得，菱形面积=×5×8=20cm2．
故答案为20．
14．（4分）如图，DE∥AB，AC=3AD，S△ABC=5，则△CED的面积是．
【解答】解：
∵AC=3AD，
∴CD=2AD，
∴=，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴=（）2=（）2=，且S△ABC=5，
∴=，
∴S
=，
△CED
故答案为：．
15．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的值可以是1．（写出一个即可）
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，
解上式得k≤1．
故答为1．
16．（4分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=2，则AB=1+．
【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，∠BAD=135°，∠EAG=75°，
∴∠BAE=∠DAG=（∠BAD﹣∠EAG）=30°，∠B=45°，
∵AE=2，
∴ME=1，AM=，
∴BM=ME=1，
∴AB=1+．
故答案为：1+．
三、解答题（共7小题，满分86分）
17．（16分）（1）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，=，求CE的长．
（2）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc．如=2×5﹣3×4=﹣2．如果=6，求x的值．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴==，
∴=，
解得CE=8，
即CE的长为8；
（2）由题意可得（x+1）2﹣（x﹣1）（1﹣x）=6，
整理可得2x2+2=6，
解得x=±．
18．（10分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE ∥AC，DF∥AB．
（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是矩形；
（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是菱形；
（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是正方形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）
【解答】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
（2）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠ADE=∠DAF，四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∴▱AEDF是菱形；
（3）由（1）知四边形AEDF是矩形，由（2）知四边形AEDF是菱形，所以四边形AEDF是正方形．
19．（10分）小李拿到四张大小、质地均相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，他将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张．
（1）用画树状图的方法，列出小李这两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
（2）计算小李抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由（1）得共有12种，积为奇数有2种，
∴概率P（积为奇数）=．
20．（12分）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程并且甲、乙两队的工作效率与题干的不同，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要（x﹣5）个月，
由题意得，x（x﹣5）=6（x+x﹣5），
解得x1=15，x2=2（不合题意，舍去），
则x﹣5=10．
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，
由题意得，100y+（100+50）≤1500，
解不等式得y≤8.57，
∵施工时间按月取整数，
∴y≤8，
答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
21．（12分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD．
∴AE=CF．
在△AED和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°．
∴▱四边形AGBD是矩形．
22．（12分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
【解答】（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）
（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．
（3）证明：连接EC，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
即四边形ABCD是勾股四边形．
23．（14分）如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB﹣BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC﹣CB﹣BA 做匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若
△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求a的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=48，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=48，
即BD的长是48cm；
（2）如图1，12秒后点P走过的路程为8×12=96，则12秒后点P到达点D，即点M与D点重合，
12秒后点Q走过的路程为10×12=120，而BC+CD=96，所以点Q到B点的距离为120﹣96=24，则点Q到达AB的中点，即点N为AB的中点，
∵△ABD是等边三角形，而MN为中线，
∴MN⊥AB，
∴△AMN为直角三角形；
（3）∵△BEF与△AMN相似，△AMN为直角三角形，
∴△BEF为直角三角形．
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
经过3秒后，点P运动的路程为24cm、点Q运动的路程为3acm，
∵点P从点M开始运动，即DE=24cm，
∴点E为DB的中点，即BE=DE=24cm，
当点Q运动到F点，且点F在NB上，如图1，则NF=3a，
∴BF=BN﹣NF=24﹣3a，
∵△BEF为直角三角形，
而∠FBE=60°，
∴∠EFB=90°（∠FEB不能为90°，否则点F在点A的位置），∴∠FEB=30°，
∴BF=BE，
∴24﹣3a=×24，
∴a=4；
当点Q运动到F点，且点F在BC上，如图2，则NB+BF=3a，∴BF=3a﹣NB=3a﹣24，
∵△BEF为直角三角形，
而∠FBE=60°，
若∠EFB=90°，则∠FEB=30°，
∴BF=BE，
∴3a﹣24=×24，
∴a=12；
若∠BEF=90°，即BE⊥EF，如图3，
∵DE=BE，
∴点F在BD的垂直平分线上，
∴此时点F在点C处，
∴3a=24+48，
∴a=24，
综上所述，若△BEF为直角三角形，a的值为4或12或24．。

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