【提分必做】高中数学 第四章 导数应用 4.2.1 实际问题中导数的意义作业 北师大版选修1-1

4.2.1 实际问题中导数的意义
[基础达标]
1.做直线运动的物体，从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么
lim Δt →0
Δs
Δt
为( ) A ．从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的平均速度 B ．该物体在t 时刻的瞬时速度 C ．Δt 时刻时，该物体的速度
D ．从时刻t 到t ＋Δt 时，位移的平均变化率
解析：选B.lim Δt →0 Δs
Δt
表示运动的物体在t 时刻位移的导数，也即该时刻的瞬时速度． 2.自由落体的运动公式是s ＝12gt 2
(g 为重力加速度)，则物体在下落3 s 到4 s 之间的
平均变化率是(取g ＝10 m/s 2
)( )
A ．30
B ．32
C ．35
D ．40
解析：选C.v ＝Δs Δt ＝12g ×42－1
2g ×32
4－3＝7
2
g ＝35.
3.李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图像可能是( )
解析：选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 符合．
4.国际环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图，(其中W 1、W 2分别表示甲、乙的排污量)．
下列说法正确的是( ) A ．甲企业治污效果好 B ．乙企业治污效果好
C ．甲、乙两企业治污效果相同
D ．无法判定
解析：选A.由图可知甲企业治污快，效果好．
5.细杆AB 的长为20 cm ，M 为细杆AB 上的一点，AM 段的质量与A 到M 的距离的平方成正比，当AM ＝2 cm 时，AM 的质量为8 g ，那么当AM ＝x cm 时，M 处的细杆线密度ρ(x )为( )
A ．2x
B ．3x
C ．4x
D ．5x
解析：选C.当AM ＝x cm 时，设AM 的质量为f (x )＝kx 2
，因为f (2)＝8，所以k ＝2，即f (x )＝2x 2，故细杆线密度ρ(x )＝f ′(x )＝4x ，故选C.
6.人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________. 答案：服药2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL 的速度增加
7.将1 kg 铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量为Q (单位：J)：Q (t )＝0.000 297t 2
＋0.440 9t .
(1)当t 从10变到20时函数值Q 关于t 的平均变化率是________，它的实际意义是________________________________________________________________________．
(2)Q ′(100)＝________，它的实际意义是
________________________________________________________________________．
解析：(1)当t 从10变到20时，函数值Q 关于t 的平均变化率为
Q （20）－Q （10）
20－10
≈0.449 8，它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量约为0.449 8 J.
(2)Q ′(t )＝0.000 594t ＋0.440 9，则Q ′(100)＝0.500 3，它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.500 3 J.
答案：(1)0.449 8 它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量约为0.449 8 J
(2)0.500 3 它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.500 3 J
8.已知气球的体积V (单位：L)与半径r (单位：dm)，将半径r 表示为体积V 的函数，有r (V )＝33V
4π
，则当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率为________．
解析：∵r (V 1)－r (V 2)＝33V 14π－33V 2
4π
＝3
4π
（V 1－V 2）39V 2116π2＋39V 1V 216π2＋39V 2216π2
.
∴平均膨胀率为：
r （V 1）－r （V 2）
V 1－V 2
＝
33
16π
2
4π（39V 21＋39V 1V 2＋39V 2
2）
.
答案：
33
16π
2
4π（39V 21＋39V 1V 2＋39V 2
2）
9.水以20 m 3
/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m ，上底面直径为12 m ，试求当水深为10 m 时，水面上升的速度．
解：设经过t min 后水深为H ，则此时水面半径为H
5
.
由等体积知，20t ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫H 52·H . ∴H (t )＝5312t π，H ′(t )＝53312π·t －2
3
.
∴水深10 m 时水面上升的速度为H ′(10)＝13315
π
(m/min)．
10.路灯距地平面为8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上行走，从路灯在地面上的射影点C 出发，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速度v .
解：如图所示，路灯距地面的距离为DC ＝8 m ，人的身高为EB ＝1.6 m.
设人从C 处运动到B 处的路程CB 为x m ，时间为t s ，AB 为人影长度，设为y m. ∵BE ∥CD ，∴AB AC ＝BE
CD
.
∴
y
y ＋x ＝1.68，∴y ＝14
x . 又∵84 m/min ＝1.4 m/s ，
∴y ＝14x ＝7
20t (x ＝1.4t )．
∴y ′＝720，即人影长度的变化速度v 为7
20
m/s.
[能力提升]
1. 如图所示，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，则函数的图像大致是( )
解析：选D.由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．
选项A 表示面积的增速是常数，与实际不符；
选项B 表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；
选项C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，也与实际不符； 选项D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际．
2.将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m (m >1)时球的体积膨胀率为28π
3
，则m
的值为________．
解析：ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3（m 3
－1）
m －1＝283
π.∴m 2
＋m ＋1＝
7.∴m ＝2或m ＝－3(舍)．
答案：2
3.设生产某种产品的总成本函数c (万元)与产量q (万件)之间的函数关系为c (q )＝100
＋4q －0.2q 2＋0.01q 3
.求生产水平为q ＝10万元时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看继续提高产量是否合算？
解：当q ＝10时，总成本c (10)＝100＋4×10－0.2×102＋0.01×103
＝100＋40－20＋10＝130(万元)．
平均成本130÷10＝13(元/件)，
边际成本c ′(q )＝4－0.4q ＋0.03q 2
，
∴c ′(10)＝4－0.4×10＋0.03×102
＝4－4＋3＝3(元/件)．
因此在生产水平为10万元时每增产一个产品，总成本增加3元，比当前的平均成本13元低，从降低成本角度看，应继续提高产量．
4．学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright 博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲
线为：f (t )＝3
4＋a ·2
－t ×100%(f (t )为该学习任务已掌握的程度，
t 为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f (2)＝60%.
(1)求f (t )的表达式，计算f (0)并说明f (0)的含义；
(2)已知2x
>x ln 2对任意x >0恒成立，现定义f （t ）t
为该类学习任务在t 时刻的学习效
率指数．研究表明，当学习时间t ∈(1，2)时，学习效率最佳，则当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．
解：(1)∵f (t )＝34＋a ·2－t ×100%(t 为学习时间)，且f (2)＝60%，∴3
4＋a ×2
－2×100%
＝60%，解得a ＝4.
∴f (t )＝34＋a ·2－t ×100%＝3
4（1＋2－t
）
×100%(t ≥0)， ∴f (0)＝3
4（1＋20
）
×100%＝37.5%，f (0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.
(2)令学习效率指数f （t ）t ＝y ，则y ＝f （t ）t ＝34t （1＋2－t
）＝3
4（t ＋t
2
t ）
(t >0)．现研究函数g (t )＝t ＋t 2t 的单调性，由于g ′(t )＝2t
－t ln 2＋12t
(t >0)，又已知2x
>x ln 2对任意x >0恒成立，即2t
－t ln 2>0对任意t >0恒成立，则g ′(t )>0恒成立，∴g (t )在(0，＋∞)上为增函数，且g (t )为正数． ∴y ＝f （t ）t ＝
34（t ＋t
2t ）
在(0，＋∞)上为减函数，而y
⎪
⎪⎪⎪t ＝1
＝f （1）1＝12，y t ＝2＝f （2）2＝310，即当t ∈(1，2)时，y ＝f （t ）t ∈(310，12)，故所求学习效率指数的取值范围是(310，1
2)．。