二重积分的极坐标计算方法

D
x
y x y
1 { ( r , ) 0 , 0r } 2 sin cos

2 1 sin cos sin sin cos

e d d
D 0
e
0
rdr

2 0

1 e 20
D { ( r , ) , g1 ( ) r g 2 ( ) } 直角坐标区域表示形式 转换为极坐标区域表示 形式：
转换 x , y
D Dx {( x, y ) a x b,h( x) y g ( x)}
D {(r , ) , g1 ( ) r g 2 ( )}
转换 x , y
即此曲线(圆)的极坐标方程为 r g ( ) 1 . 例如 : 抛物线 y x 2

r 2 cos2 r 2 sin 2 1 r 1
r sin r 2 cos2 r g ( ) tan sec
平面区域的极坐标表示 形式：
2
4. 平面区域的极坐标表示法实例
1
圆盘 D { ( x, y ) x 2 y 2 4 }
1 2
-2
-1
将平面区域视为分布在某个角度内的 无穷条射线（段）束的组合
-1
D { (r , ) 0 2 , 0 r 2 }
扇形 D { 半径为 1 ，夹角为 ，起始角度为 } 6 6
1 0.5
D
0.5 1 1.5
-0.5
-1
( x 2) 2 y 2 4 } D { (r , ) ，0 r f ( ) } 2 2 ( x 2) 2 y 2 4 (r cos 2) 2 r 2 sin 2 4 r 2 4r cos 0 r 4 cos f ( ) D { (r , ) ，0 r 4 cos }
4 D { (r , ) , 0 r } 4 2 sin


D 是由 x y 4 , y 0 和 x 0 所围区域 ；
D Dx { ( x, y ) 0 x 4, 0 y 4 x }
4
D
x+y 4
4
D { (r , ) 0
D { ( r, )
, g1 ( ) r g 2 ( ) }
iii) 把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积 r 后积 的内外两个 定积分）;
f ( x, y)d d f (r cos , r sin ) r dr
解出r
转换 x , y
y f ( x) r sin f (r cos )
转换x , y
r g ( )
例如 : 直线 y 3x 2
2 r sin 3 cos

r sin 3r cos 2
2 即此直线的极坐标方程 为 r g ( ) . sin cos 2 2 例如 : 曲线(圆) x y 1
1 I (e 1) 2
原式 e I


2
(1 e ) .
例 计算二重积分
I e
D
y x y
d ，其中 D 由直线 x = 0 , y = 0 与
解：区域 D 如图所示.
x + y = 1 所围成。
y
易见，D { ( x, y )
0 x 1 , 0 y 1 x }

2
, 0 r f ( ) }
x y 4 r cos r sin 4 r
4 f ( ) sin cos
4 D { (r , ) 0 , 0 r } 2 sin cos

5. 二重积分在极坐标系下的累次积分公式
-2 2
D
-2 -1
1
1
2
-1
D { (r , )

6


3
, 0 r 1 }
-2
半环形 D { 大小半径分为 1 ，2 ，起始角度为 0 }
2 1.5
D
1 1 2
D { (r, ) 0 , 1 r 2 }
0.5
-2
-1
半径为 2，圆心在点 (2， 0) 处的右偏心圆
0 ，0 r 4 sin }
1
-2
-1
D { ( r , )
1 直径为 1 ，圆心在点 (0 ， ) 处的上偏心圆右半部 2
r r sin 0 r sin f ( ) D { (r , ) 0 ，0 r sin } 2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标
下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分 e
D
( x 2 y 2 )
sin( x 2 y 2 )dxdy ,
2
其中 D { ( x, y ) x y } (2003年考研试题）
2
0.8
0.6
0.4
D
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.2
D 由 y 0 , y 1 , x y 和 x 1 所围 ； D Dx { ( x, y) 0 x 1, 0 y x }
1
yx
D { (r , ) 0

D
1
4
D 由直线 y x , y 4 , 及 x 0 围成的平面区域。 D Dx { ( x, y ) 0 x 4, x y 4 } D D { (r , ) , 0 r f ( ) } 4 2

0

t I e t sin tdt (e t ) sin t ( e ) costdt 0


e t costdt (e t ) cost
0

0

0

0
(e t ) ( sin t )dt
0

0
e 1 e t sin tdt e 1 I ,
4
I
D
0 2 a sin x2 y2 d d 2 2 2 0 4a x y 4
2 a sin 0
r 4a r
2 2
rdr
sin t
0
a
4a 2 sin 2 t 2a cos tdt d 2 2 0 4 a ( 1 sin t ) 4
1 2 1 2 (x ) y 且 y 0} 2 4
4
半径为 2 ，圆心在点 ( 0 ，2 ) 处的上偏心圆 D { ( x, y ) x 2 ( y 2) 2 4 } D { (r , ) 0 ，0 r f ( ) }
3
2
1
D
1 2
x 2 ( y 2) 2 4 r 2 cos (r sin 2) 2 4 r 2 4r sin 0 r 4 sin f ( )
2. 二重积分在极坐标系下的形式
f ( x, y)d f (r cos , r sin ) r drd
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r g ( ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
2
D { ( x, y )
2
2
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
D
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 直径为 1 ，圆心在点 ( ，0) 2 处的右偏心圆上半部
D { ( x, y )
{ (r , ) 0 ，0 r f ( ) } 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 (x ) y (r cos ) r sin 2 4 2 4 r 2 r cos 0 r cos f ( ) D { (r , ) 0 ，0 r cos } 2
1 2 1 D { ( x, y ) x ( y ) 且 x 0 } 2 4 { (r , ) 0 ，0 r f ( ) } 2 1 2 1 1 2 1 2 2 x (y ) r cos (r sin ) 2 4 2 4 2
D g1 ( )

g 2 ( )
iv) 视 为参数，先对 r 计算内层定积分; 再对 计算外层定积分。
例 计算二重积分：
D
x2 y2 4a x y
2 2 2
d
，其中 D 是由曲线
y a a 2 x 2 (a 0)
和直线 y = - x 围成的区域。（2000年考研数学试题） 解 : 易见，D { (r , ) 0 , 0 r 2a sin }
1 x 1 r cos 1 r f ( ) cos 1 D { (r , ) 0 , 0 r } 4 cos
4
, 0 r f ( ) }
yx
4
4 y 4 r sin 4 r f ( ) sin
§8. 二重积分在极坐标系下的计算方法 1. 极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式
x
r

P( x, y )
y
x r cos , y r sin ;
d
d

r
dr
1 1 2 1 2 d (r dr ) d r d r drd (dr ) 2 d r drd 2 2 2
2
解： e
D
( x 2 y 2 )
sin( x y )dxdy d e
2 2 0 0
2

( r 2 )
sin( r 2 ) rdr
t r
e
0
2

( t )
sin tdt
t r 2
e e t sin tdt e I ,
f ( x, y) d f (r cos , r sin ) r dr d d f (r cos , r sin ) r dr
D D g1 ( )

g 2 ( )
6. 用极坐标计算二重积分操作步骤与实例
i) 画出区域的草图； ii) 写出二重积分区域 D 在极坐标下 的表示形式 ( 这是关键）;
cossincossincossinsincossinsincossincossinsin利用函数可加性和区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算二重积分的实例年考研试题其中计算二重积分2006轴对称区域关于是奇函数被积函数对于年考研试题所围成的平面区域小圆大圆的奇函数被积函数为关于轴为对称因为积分区域关于sinsin计算二重积分其中d是由曲线和直线x解
（1998年考研数学试题） 解：区域 D 如图所示.

易见，D { ( r, )


2


2
, 0 r cos }
I
D
xd d

0 2
2
cos
r cos rdr

2 2 5 2 3 cos r 2 cos d cos d 0 5 5 2 2 2 2 8 2 (1 sin )d (sin ) . 5 15 2 2
0
d 2a (1 cos 2t )dt
2 0
0

-a
1 1 2 2a ( sin 2 )d a ( ). 16 2 2
0 2 4
4
2
设 D { ( x, y)
1/2 1
x 2 y 2 x }, 求

D
xdxdy.