辽宁东北育才学校高中部平面向量及其应用测试题doc

一、多选题1．题目文件丢失！
2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知
cos cos 2B b
C a c
=-，
ABC S =
△b = ）
A ．1cos 2
B =
B ．cos B =
C ．a c +=
D ．a c +=4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=
D ．0PA PB PC ++=
6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立
D ．在ABC 中，
sin sin sin +=+a b c
A B C
7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）
A ．2OA OD ⋅=-
B ．2OB OH OE +=-
C ．AH HO BC BO ⋅=⋅
D ．AH 在AB 向量上的投影为2-
8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形 9．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 10．设a 为非零向量，下列有关向量
||
a
a 的描述正确的是（ ） A ．|
|1||
a a =
B ．
//||
a a a
C ．
||
a a a =
D ．
||||
a a a a ⋅=
11．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等
12．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b
D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-
13．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
14．题目文件丢失！ 15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
17．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ⋅+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
18．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
20．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
21．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
22．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
23．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b
OP OC m a B b A ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心
24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =
C ．若,,,A B C
D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角
25．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A ．
33
23
B ．
53
23
C ．
3
23
D ．
83
23
26．题目文件丢失！
27．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．-2
D ．2
28．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，
则①AD ＝－b －
12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1
2
b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
29．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．1-
B ．12
-
C ．2-
D
．32
-
30．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，
4
7
AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
31．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
32．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，
30B ∠=︒，ABC 的面积为3
2
，那么b 等于（ ）
A ．
13
2
+ B ．13+
C ．
22
3
+ D ．23+
33．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）
A 3
B ．
22
C 31
- D ．
212
- 34．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
35．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．无 2．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
3．AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，
进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，
整理可得：， 可得，
∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确
解析：AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简
cos cos 2B b
C a c
=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2
B =
，结合范围()0,B π∈，可求3B π
=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理
可得a c += 【详解】 ∵
cos sin cos 22sin sin B b B
C a c A C
==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，
可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1
cos 2
B =
，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3
B π
=
，
∵4
ABC S =△，且3b =，
11sin 22ac B a c ==⨯⨯=， 解得3ac =，
由余弦定理得()()2
2
22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，
解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4．AD
【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩
，
解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．CD 【分析】
转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
解析：CD 【分析】
转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】
由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=
0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=
故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
6．ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中
解析：ACD 【分析】
对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；
对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C
R B C
+=+＝左边，故该选项正确.
【详解】
对于A ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；
对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2
π
，∴a ＝b 或a 2+b 2
＝c 2，故该选项错误；
对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；
对于D ，由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．
对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于
解析：AB 【分析】
直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】
图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，
对于3:11cos
4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．
对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos
||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ．
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 8．AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.
【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；
对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒= 所以A B =或2A B π
+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为222
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
9．C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简a b a b +=+；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】 A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，
则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.
故选：C
【点睛】 本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
10．ABD 【分析】
首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.
【详解】 表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，
，所以D 正确.
故选：ABD
解析：ABD
【分析】
首先理解
a a
表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】 a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a
=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当
a不是单位向量时，a
a
a
=不正确，
cos0a
a a
a a a a
a a a
⋅==⨯=，所以D正确.故选：ABD
【点睛】
本题重点考查向量a
a的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解
a
a
表示与向量a同方向的单位向量.
11．BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
12．AB
【分析】
若，则反向，从而；
若，则，从而可得；
若，则同向，在方向上的投影为
若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.
【详解】
对于选项A，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；
对于选
解析：AB
【分析】
若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；
若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；
若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a
若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.
【详解】
对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；
对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，
222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；
对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ; 对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB.
【点睛】
本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
13．AD
【解析】
【分析】
由条件可得，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P 是所在平面内一点，且，
∴，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故
解析：AD
【解析】
【分析】
由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，
∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=，
即||||CB AC AB =+，
∴||||AB AC AC AB -=+，
两边平方并化简得0AC AB ⋅=，
∴AC AB ⊥，
∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
14．无
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．A
【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状.
【详解】
cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即
()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，
0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，
0B π<<，所以，2
B π=，因此，AB
C 是直角三角形. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
17．C
【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.
【详解】
由题意，()()
2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，
所以()
0BC AB AC ⋅+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.
所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，
故AB AC =，ABC 是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
18．B
【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，
则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=
即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，
即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，
则点P 为三角形ABC 的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．D
【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．
【详解】
15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒
120CBD
由正弦定理得：sin120sin 45
BC 302sin 45
203sin120BC 3tan 30203203AB
BC
故选D 【点睛】 本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．
20．D
【分析】 根据已知条件可得()
222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.
【详解】 ()()()
222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥
ME ⇒为BC 的垂直平分线
M ∴轨迹必过ABC ∆的外心
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.
21．C
【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 22
22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．
【详解】
解：在ABC 中，(CA CB + 22
22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=， a b ∴=，
ABC ∴为等腰三角形，
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．
22．D
【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．
【详解】
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，
所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒
所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形
故选：D ．
【点评】 本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 23．A
【分析】
设sin sin a B b A CH ==，则()
m CP a b CH =
+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；
【详解】
如图，
sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()
m CP a b CH =+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，
∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.
24．C
【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】
因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；
,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且
||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.
25．B
【分析】
如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．
【详解】
如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，
在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒
，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，
103534623
v ==/秒）． 故选B ．
【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．
26．无
27．A
【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，
根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OC
OC OC ⋅⋅=, 即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12
a =-
. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
28．D
【分析】 本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】
①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋
12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12
a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋
12CA ＝a ＋12
b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋
12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12
b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF
＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF
＝－(1
2
a＋b)＋
a＋
1
2
b－
1
2
a＋
1
2
b＝0，故④正确．
故选D.
【点睛】
本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．
29．B
【分析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.
【详解】
如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在t R
∈，使得()
BD tBC t AC AB
==-，因为M 是线段AD的中点，所以：
()()()
1111
1
2222
BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC
=+=-+-=-++，
又BM AB AC
λμ
=+，所以()
1
1
2
t
λ=-+，
1
2
t
μ=，
所以
1
2
λμ
+=-.
故选：B.
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
30．D
【分析】
将已知向量关系变为：
12
333
m
OA OB OC
+=，可得到
3
m
OC OD
=且,,
A B D共线；由
AOB
ABC
O
S
S
D
CD
∆
∆
=和,
OC OD反向共线，可构造关于m的方程，求解得到结果.
【详解】
由2OA OB mOC +=得：12333
m OA OB OC +
= 设3m OC OD =，则1233
OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：
OC 与OD 反向共线 3
OD
m m CD ∴=- 7
34AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.
31．B
【分析】
根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.
【详解】
因为AB AC BA BC →→→→
⋅=⋅，所以0AB AC BC →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 即0AB CA CB →
→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭
， 所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→=， 同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=， 所以AC AB CB →→→
==，ABC 是等边三角形．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.
32．B
【分析】
由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值.
【详解】
解：∵a ，b ，c 成等差数列，
∴2b a c =+，
平方得22242a c b ac +=-，①
又ABC 的面积为
32，且30B ∠=︒， 由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342
ac ==，解得6ac =， 代入①式可得222412a c b +=-， 由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=，
22241231226122
b b b ---===⨯，
解得24b =+，
∴1b =+
故选：B .
【点睛】
本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 33．C
【分析】
易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．
【详解】
45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，
在ABC 中，由正弦定理，得
sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，
解得BC =-，
在BCD 中，由正弦定理，得
sin sin BC CD BDC CBD =∠∠50sin 45=︒，
sin BDC ∴∠=sin(90)θ+︒=
cos θ∴= 故选：C ．
【点睛】
该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 34．A
【分析】
利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形．
【详解】
ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，222
2a c b cosB ac
+-= ， ∴222
22a a c b c ac
+-= 220c b ∴-= ，
∴c b ABC =，是等腰三角形．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．
35．D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点，
又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+
=+， 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.。