临漳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试数学
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临漳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1.数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+2,a5+3构成公比为q的等比数列,则q=()
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C 对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好,则采集效果最好时位置C到AB的距离是()
A.2m B.2m C.4 m D.6 m
3.不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R,那么()
A.a<0,△<0 B.a<0,△≤0 C.a>0,△≥0 D.a>0,△>0
4.已知=(2,﹣3,1),=(4,2,x),且⊥,则实数x的值是()
A.﹣2 B.2 C.﹣D.
5.若P是以F1,F2为焦点的椭圆=1(a>b>0)上的一点,且=0,
tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
6.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程
y=3﹣5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;③线性回归方程y=bx+a必过;④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病;其中错误的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若﹣+1=0,则角B的度数是()A.60°B.120°C.150°D.60°或120°
8.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过2个小时,这种细菌由1个可繁殖成()
A .512个
B .256个
C .128个
D .64个 9. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )
A .akm
B .
akm
C .2akm
D .
akm
10.在△ABC 中,sinB+sin (A ﹣B )=sinC 是sinA=的( )
A .充分非必要条件
B .必要非充分条件
C .充要条件
D .既不充分也非必要条件
11.已知函数f (x )=x 2﹣2x+3在[0,a]上有最大值3,最小值2,则a 的取值范围( )
A .[1,+∞)
B .[0.2}
C .[1,2]
D .(﹣∞,2]
12.用秦九韶算法求多项式f (x )=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2+0.3x+2,当x=﹣2时,v 1的值为( ) A .1
B .7
C .﹣7
D .﹣5
二、填空题
13.【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-,若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经过圆()2
2:2C x y a +-=的圆心,则实数a 的值为__________.
14.已知一组数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x 的方差是2,另一组数据1ax ,2ax ,3ax ,4ax ,5ax (0a >)
的标准差是a = .
15.递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1,(n ∈N *,n >1),其前n 项和为S n ,a 2+a 8=6,a 4a 6=8,则S 10= . 16.无论m 为何值时,直线(2m+1)x+(m+1)y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 . 17.直角坐标P (﹣1,1)的极坐标为(ρ>0,0<θ<π) .
18.设
为单位向量,①若为平面内的某个向量,则=||•
;②若
与平行,则=||•
;③若
与平行且||=1,则=.上述命题中,假命题个数是 .
三、解答题
19.已知函数y=f (x )的图象与g (x )=log a x (a >0,且a ≠1)的图象关于x 轴对称,且g (x )的图象过(4,2)点.
(Ⅰ)求函数f (x )的解析式;
(Ⅱ)若f (x ﹣1)>f (5﹣x ),求x 的取值范围.
20.某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
规定:只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。
学生甲三轮考试通
过的概率分别为2
3,3
4
,4
5
,且各轮考核通过与否相互独立。
(1)求甲通过该高校自主招生考试的概率;
(2)若学生甲每通过一轮考核,则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。
记学生甲得到教育基金的金额为X,求X的分布列和数学期望。
21.如图,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=,M为BC的中点.(Ⅰ)证明:AM⊥PM;
(Ⅱ)求点D到平面AMP的距离.
22.(本小题满分12分)1111]
已知函数()()1
ln 0f x a x a a x
=+≠∈R ,.
(1)若1a =,求函数()f x 的极值和单调区间;
(2)若在区间(0]e ,上至少存在一点0x ,使得()00f x <成立,求实数的取值范围.
23.已知△ABC 的三边是连续的三个正整数,且最大角是最小角的2倍,求△ABC 的面积.
24.已知函数f (x )=x 2﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数.
(1)求实数m 的取值范围;
(2)设向量,求满足
不等式的α的取值范围.
临漳县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)一、选择题
1.【答案】A
【解析】解:设等差数列{a n}的公差为d,
由a1+1,a3+2,a5+3构成等比数列,
得:(a3+2)2=(a1+1)(a5+3),
整理得:a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即(a1+2d)2+4(a1+2d)+4=a1(a1+4d)+4a1+4d+3.
化简得:(2d+1)2=0,即d=﹣.
∴q===1.
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.
2.【答案】A
【解析】解:建立如图所示的坐标系,设抛物线方程为x2=﹣2py(p>0),
将点(4,﹣4)代入,可得p=2,
所以抛物线方程为x2=﹣4y,
设C(x,y)(y>﹣6),则
由A(﹣4,﹣6),B(4,﹣6),可得k CA=,k CB=,
∴tan∠BCA===,
令t=y+6(t>0),则tan∠BCA==≥
∴t=2时,位置C对隧道底AB的张角最大,
故选:A.
【点评】本题考查抛物线的方程与应用,考查基本不等式,确定抛物线的方程及tan∠BCA,正确运用基本不等式是关键.
3.【答案】A
【解析】解:∵不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R,
∴a<0,
且△=b2﹣4ac<0,
综上,不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为的条件是:a<0且△<0.
故选A.
4.【答案】A
【解析】解:∵=(2,﹣3,1),=(4,2,x),且⊥,
∴=0,
∴8﹣6+x=0;
∴x=﹣2;
故选A.
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直,解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0,建立关于x的方程求出x的值.
5.【答案】A
【解析】解:∵
∴,即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形.
∵Rt△PF1F2中,,
∴=,设PF2=t,则PF1=2t
∴=2c,
又∵根据椭圆的定义,得2a=PF1+PF2=3t
∴此椭圆的离心率为e====
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形,根据一个内角的正切值,求椭圆的离心率,着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题.
6.【答案】C
【解析】解:对于①,方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变,正确;
对于②,设有一个回归方程y=3﹣5x,变量x增加一个单位时,y应平均减少5个单位,②错误;
对于③,线性回归方程y=bx+a必过样本中心点,正确;
对于④,在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,
我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患肺病,错误;
综上,其中错误的个数是2.
故选:C.
7.【答案】A
【解析】解:根据正弦定理有:=,
代入已知等式得:﹣+1=0,
即﹣1=,
整理得:2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC,
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C),
又∵A+B+C=180°,
∴sin(B+C)=sinA,
可得2sinAcosB=sinA,
∵sinA≠0,
∴2cosB=1,即cosB=,
则B=60°.
故选:A.
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:经过2个小时,总共分裂了=6次,
则经过2小时,这种细菌能由1个繁殖到26=64个.
故选:D.
【点评】本题考查数列的应用,考查了等比数列的通项公式,是基础的计算题.
9.【答案】D
【解析】解:根据题意,
△ABC中,∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°,
∵AC=BC=akm,
∴由余弦定理,得cos120°=,
解之得AB=akm,
即灯塔A与灯塔B的距离为akm,
故选:D.
【点评】本题给出实际应用问题,求海洋上灯塔A与灯塔B的距离.着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识,属于基础题.
10.【答案】A
【解析】解:∵sinB+sin(A﹣B)=sinC=sin(A+B),
∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinB=2cosAsinB,
∵sinB≠0,
∴cosA=,
∴A=,
∴sinA=,
当sinA=,
∴A=
或A=
,
故在△ABC 中,sinB+sin (A ﹣B )=sinC 是sinA=
的充分非必要条件,
故选:A
11.【答案】C
【解析】解:f (x )=x 2﹣2x+3=(x ﹣1)2
+2,对称轴为x=1.
所以当x=1时,函数的最小值为2. 当x=0时,f (0)=3.
由f (x )=3得x 2﹣2x+3=3,即x 2
﹣2x=0,解得x=0或x=2.
∴要使函数f (x )=x 2
﹣2x+3在[0,a]上有最大值3,最小值2,则1≤a ≤2.
故选C .
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,利用配方法是解决二次 函数的基本方法.
12.【答案】C
【解析】解:∵f (x )=x 6﹣5x 5+6x 4+x 2
+0.3x+2 =(((((x ﹣5)x+6)x+0)x+2)x+0.3)x+2, ∴v 0=a 6=1,
v 1=v 0x+a 5=1×(﹣2)﹣5=﹣7, 故选C .
二、填空题
13.【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得:()3
11211f =-⨯=-,
对函数求导可得:()2
'32f x x =-,故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=,
则切线方程为:()111y x +=⨯-,即2y x =-,
圆C :()2
22x y a +-=的圆心为()0,a ,则:022a =-=-. 14.【答案】2 【解析】
试题分析:第一组数据平均数为2)()()()()(,2524232221=-+-+-+-+-∴x x x x x x x x x x x ,
22222212345()()()()()8,4,2ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a a -+-+-+-+-=∴=∴=.
考点:方差;标准差.
15.【答案】35.
【解析】解:∵2a n=a n﹣1+a n+1,(n∈N*,n>1),
∴数列{a n}为等差数列,
又a2+a8=6,∴2a5=6,解得:a5=3,
又a4a6=(a5﹣d)(a5+d)=9﹣d2=8,
∴d2=1,解得:d=1或d=﹣1(舍去)
∴a n=a5+(n﹣5)×1=3+(n﹣5)=n﹣2.
∴a1=﹣1,
∴S10=10a1+=35.
故答案为:35.
【点评】本题考查数列的求和,判断出数列{a n}为等差数列,并求得a n=2n﹣1是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.
16.【答案】(3,1).
【解析】解:由(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,得
即(2x+y﹣7)m+(x+y﹣4)=0,
∴2x+y﹣7=0,①
且x+y﹣4=0,②
∴一次函数(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0的图象就和m无关,恒过一定点.
由①②,解得解之得:x=3 y=1 所以过定点(3,1);
故答案为:(3,1)
17.【答案】.
【解析】解:ρ==,tanθ==﹣1,且0<θ<π,∴θ=.
∴点P的极坐标为.
故答案为:.
18.【答案】3.
【解析】解:对于①,向量是既有大小又有方向的量, =||•的模相同,但方向不一定相同,∴①是假
命题;
对于②,若与平行时,
与方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时=﹣||•
,∴②是假命
题;
对于③,若与平行且||=1时,与方向有两种情况,一是同向,二是反向,反向时=﹣
,∴③是
假命题;
综上,上述命题中,假命题的个数是3. 故答案为:3.
【点评】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题,解题时应把握向量的基本概念是什么,是基础题目.
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)∵g (x )=log a x (a >0,且a ≠1)的图象过点(4,2),
∴log a 4=2,a=2,则g (x )=log 2x .…
∵函数y=f (x )的图象与g (X )的图象关于x 轴对称,
∴
.…
(Ⅱ)∵f (x ﹣1)>f (5﹣x ),
∴
,
即,解得1<x <3,
所以x 的取值范围为(1,3)…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用,注意真数大于零,属于基础题.
20.【答案】(1)25
(2)X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯+⨯
+⨯+⨯=-- 解析:(1)设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ,则P (A )=
2342
3455
⨯⨯=
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
2
5
-------------4分 (2)X 的可能取值为0元,1000元,2000元,3000元--------------5分
21(0)133P X ==-
=,231(1000)(1)346P X ==⨯-=,2341(2000)(1)34510P X ==⨯⨯-= 2342
(3000)3455P X ==⨯⨯=------------------9分
所以,X 的分布列为
数学期望为11124700
()0100020003000361053
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
---------------------12分 21.【答案】
【解析】(Ⅰ)证明:取CD 的中点E ,连接PE 、EM 、EA ∵△PCD 为正三角形
∴PE ⊥CD ,PE=PDsin ∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD ∵四边形ABCD 是矩形
∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理得EM=
,AM=
,AE=3
∴EM 2+AM 2=AE 2
,∴∠AME=90° ∴AM ⊥PM
(Ⅱ)解:设D 点到平面PAM 的距离为d ,连接DM ,则V P ﹣ADM =V D ﹣PAM
∴
而
在Rt △PEM 中,由勾股定理得PM=
∴
∴
∴
,即点D 到平面PAM 的距离为
22.【答案】(1)极小值为,单调递增区间为()1+∞,,单调递减区间为()01,;(2)()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪
⎝
⎭,,.
【解析】
试题分析:(1)由1a =⇒()2
2111
'x f x x x x -=-
+=.令()'0f x =⇒1x =.再利用导数工具可得:极小值和单调区间;(2)求导并令()'0f x =⇒1x a =,再将命题转化为()f x 在区间(0]e ,上的最小值小于.
当1
0x a
=<,即0a <时,()'0f x <恒成立,即()f x 在区间(0]e ,上单调递减,再利用导数工具对的取值进行分类讨论.111]
①
若1
e a
≤
,则()'0f x ≤对(0]x e ∈,成立,所以()f x 在区间(0]e ,上单调递减, 则()f x 在区间(0]e ,上的最小值为()11
ln 0f e a e a e e
=+=+>,
显然,()f x 在区间(0]e ,的最小值小于0不成立. ②若10e <<,即1
a >时,则有
所以()f x 在区间(0]e ,上的最小值为ln f a a a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
,
由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫
=+=-< ⎪⎝⎭
,得1ln 0a -<,解得a e >,即()a e ∈+∞,,
综上,由①②可知,()1a e e ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪
⎝
⎭,,符合题意.……………………………………12分
考点:1、函数的极值;2、函数的单调性;3、函数与不等式.
【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式,然后构造新函数,利用导数研究新函数的单调性和最值来解决,当然要注意分类讨论思想的应用. 23.【答案】
【解析】解:由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2(n ∈N +),
∵最大角是最小角的2倍,∴C=2A ,
由正弦定理得,则,
∴
,得cosA=
,
由余弦定理得,cosA==
,
∴
=,
化简得,n=4,
∴a=4、b=5、c=6,cosA=,
又0<A <π,∴sinA==,
∴△ABC 的面积S=
=
=
.
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理,边角关系,三角形的面积公式的综合应用,以及方程思想,考查化简、计算能力,属于中档题.
24.【答案】
【解析】解:(1)∵函数f (x )=x 2
﹣mx 在[1,+∞)上是单调函数
∴x=≤1 ∴m ≤2
∴实数m 的取值范围为(﹣∞,2]; (2)由(1)知,函数f (x )=x 2
﹣mx 在[1,+∞)上是单调增函数
∵,
∵
∴2﹣cos2α>cos2α+3
∴cos2α<
∴
∴α的取值范围为.
【点评】本题考查函数的单调性,考查求解不等式,解题的关键是利用单调性确定参数的范围,将抽象不等式转化为具体不等式.。