江苏省通州高级中学高三数学历次周练精题集锦1

江苏省通州高级中学历次周练精题集锦1 (*为教师重点推荐题目)
一、选择题
1．在等差数列{a n }中，如果a 4＋a 7＋a 10＝15，7714654=++++a a a a ，13=k a ，那么k 是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 2．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ） A ．(a ＋b )(
1
a
＋
1
b
)≥4 B ．a 3＋b 3≥2ab 2 C ． a 2＋b 2
＋2≥2a ＋2b D ．|a －b | ≥ a － b
3．已知A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个元素排成一排，要求A 排在正中间，且B ，C 相邻，则不同的排法有（ ） A ．48种 B ．96种 C ．192种 D ．240种
4．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1＋x 2＞0，x 2＋x 3＞0，x 3＋x 1＞0，则（ ） A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＜0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)
5
．已知函数2
(1)
1,()41
x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得f （x ）≥1的自变量x 的取值范围为（ ）
A ．（－∞，－2]
[0，10]
B ．（－∞，－2][0，1]
C ．（－∞，－2][1，10]
D ．[－2，0][1，10]
6．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝310
10．若最长边为1，则最短边的长为 （ ）
A ．455
B ．355
C ．255
D ．5
5
7．设 0a b >>，那么 2
1
()
a b a b +
- 的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．已知抛物线y 2
＝8x ，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的P 点共有 （ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个
9．某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案．记该同学至少答对9道题的概率为p ，则下列数据中与p 最接近的是（ ） A ．4
310
⨯－ B ．5
310
⨯－ C ．6
310
⨯－
D ．7
310
⨯－
10．6件产品中有4件合格品， 2件次品．为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好经过4次检验找出2件次品的概率为（ ）
A ．
53 B ．31 C ．154 D ．5
1
*11．设四棱锥P ABCD - 的底面不是平行四边形，用平面 α 去截此四棱锥， D 1
C 1
B 1
A 1
D C
B
A
P
使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（ ）
A ．不存在
B ．只有1个
C ．恰有4个
D ．有无数多个
*12．设函数y =f (x )满足f (x+1)=f (x )+1，则方程f (x )=x 的根的个数是 （ ） A ．无穷个 B ．没有或者有限个 C ．有限个 D ．没有或者无穷个 二、填空题
1．已知⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，3x －y ≥0，x ＋3y －3≤0，
则x 2＋y 2
的最大值是 ．
2．已知A ，B ，C ，三点在球心为O ，半径为1的球面上，AC BC ⊥，且AB =1，那么A ，B 两点的
球面距离为 ，球心到平面ABC 的距离为 ．
3．已知(1＋x n )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n
，a 3＝116
，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝_______．
4．向量 OA 绕点 O 逆时针旋转
2
π
得向量 OB ，且 2OA OB +=（7，9），则向量 OB = ． 5．直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的中线，若AB ，AD ，AC 成等比数列，则∠ADC 等于 ．
6．比数列{a n }的首项为a 1=100，公比q ＝1
2，设f (n )表示这个数列的前n 项的积，则当n ＝
时，f (n )有最大值．
7． ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 ． *8．设集合A ＝{x |log 12
(3－x )≥－2}，B ＝{x |
2a
x －a
≥1}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是_______． *9．已知函数()|1||||1|f x x x x =-+++，若2(2)()f a f a -=，则实数a = ． *10．函数f (x )＝x n
＋(1－x )n
，x ∈(0，1)，n ∈N *
．记y ＝f (x )的最小值为a n ，则a 1＋a 2＋…＋a 6＝___． 三、解答题
1．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(cos x 2，sin x 2)，(x ∈R )，向量b ＝(cos ϕ，sin ϕ)(|ϕ|<π
2),，
f (x )的图象关于x ＝π
6
对称．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）若函数y ＝1＋sin x
2
的图象按向量c ＝(m ，n ) (| m |＜π)平移可得到函数y ＝f (x )的图象，
求向量c ．
2．已知sin(π4＋3α) sin(π
4－3α)＝14，α∈(0， π4) ，求(1－cos2αsin2α－3)sin4α的值．
3．已知△ABC 中满足(→AB )2＝→AB ·→AC ＋→BA ·→BC ＋→CA ·→
CB ，a 、b 、c 分别是△ABC 的三边． （Ⅰ）试判断△ABC 的形状并求sin A ＋sin B 的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2
(a ＋b )≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，求k 的取值范围． 4．甲、乙两小组各有10位同学，他们的身高统计如下（单位：米）：
1.74,1.75,1.63,1.69,1.77,1.75,1.57,1.59,1.66,1.72,1.63,1.69,1.73,1.78,1.59,1.70,1.63,1.76,1.67,1.63.
甲组：乙组：
（Ⅰ）在甲组中任选三人，求至少有两人的身高在1.70米以上（含1.70米）的概率； （Ⅱ）从甲、乙两小组中各任选一人，若将这20人按身高分成三个身高组：A 组1.50 1.59,米B
组1.60
1.69,米C 组1.70 1.79,米求这两人分在不同身高组的概率．
5．5位员工甲、乙、丙、丁、戊参加单位的技能测试，已知他们测试合格的概率分别是
31222,,,,42333
． （Ⅰ）求他们中恰好有一人通过测试的概率；
（Ⅱ）求他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率．
6．一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；
（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ) 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？ 7．已知在多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，AC = AD = CD = DE = 2，F 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；
（Ⅱ）求平面ABC 和平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小；
（Ⅲ）求点A 到平面BCD 的距离的取值范围．
8．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DC ＝1
2AB ，AD ⊥AB ，AB ∥CD ，E ，F ，G 分别为AD 1，A 1B 1，AB 中点．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面B 1C 1G ；
（Ⅱ）当二面角G －C 1B 1－C 为45︒时，求CD 与平面C 1B 1G 所成的角．
A
D
C
E
B F
A B
C
D A 1 B 1
C 1
D 1 G
E F
9．在斜三棱柱ABC －A 'B 'C '中，底面△ABC 为正三角形，设AA '∶AC ＝λ．顶点A '在底面ABC 上的射影O 是△ABC 的中心，P 为侧棱CC '中点，G 为△PA 'B '的重心． （Ⅰ）求证：OG ∥平面AA 'B 'B ；
（Ⅱ）当λ＝2时，求证：平面A 'B 'P ⊥平面BB 'C 'C ；
（Ⅲ）当λ＝1时，求二面角C －A 'B －P 的大小．
10．定义域均为R 的奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝10x
． （Ⅰ）求函数f (x )与g (x )的解析式； （Ⅱ）求函数f (x )的反函数； （Ⅲ）证明：g (x 1)＋g (x 2)≥2g (
x 1＋x 2
2
)；
（Ⅳ）试用f (x 1)，f (x 2)，g (x 1)，g (x 2)表示f (x 1－x 2)与g (x 1＋x 2)．
11．设椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1的左焦点为F ，左准线为l ，一条直线过点F 与椭圆C 交于A ，B 两点，若
直线l 上存在点P ，使△ABP 为等边三角形，求直线AB 的方程．
12．设O 为坐标原点，A (－1
p
，0)，点M 在定直线x ＝－p （p ＞0）上移动，点N 在线段MO 的延长线
上，且满足|OM ||MN |＝1
|NA |
．
（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若|AN |的最大值≤3
2
，求p 的取值范围．
13．中心在原点的双曲线C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2
＝8x 的焦点F 重合，抛物线C 2的准线l 与双曲线C 1的一个交点为A ，且|AF |＝5．（Ⅰ）求双曲线C 1的方程；（Ⅱ）若过点B (0，1)的直线m 与双曲线C 2相交于不同两点M ，N ，且−→MB ＝λ−→
BN ．①求直线m 的斜率k 的变化范围；②当直线m 的斜率不为0时，问在直线y ＝x 上是否存在一定点C ，使−→OB ⊥(−→CM －λ−→
CN )?若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
A
C
A '
B '
C ' O
G
P
x
14．已知正项数列{ a n }满足S n +S n －1＝ta 2
n +2，(n ≥2，t >0)，a 1＝1，其中S n 是数列{ a n }的前n 项和．
（Ⅰ）求通项a n ； （Ⅱ）记数列{
1
a n a n +1
}的前n 项和为T n ，若T n ＜2对所有的n ∈N +
恒成立．求证：0＜t ≤1．
15．已知函数f (x )＝x 4
＋ax 3
＋bx 2
＋c ，在y 轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x ＝0，x ＝2时取得极小值． （Ⅰ）求函数f (x )的解析式；
（Ⅱ）能否找到函数f (x )垂直于x 轴的对称轴,并证明你的结论;
（Ⅲ）设使关于x 的方程f (x )＝λ2x 2
－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ,且两个非
零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2
＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意 t ∈[－3，3], λ∈A 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
16．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝1003t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?
17．已知等差数列}{n a 的首项为a ，公差为b ；等比数列}{n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，+∈N b ，且32211a b a b a <<<<
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若对于任意+∈N n ，总存在+∈N m ，使n m b a =+3，求b 的值； （Ⅲ）甲说：一定存在b 使得22
n
a n
b >对*n N ∈恒成立；
乙说：一定存在b 使得22n a
n b <对*n N ∈ 恒成立．．你认为他们的说法是否正确？为什么？
一、选择题
1．B ．2．B ．3．C ．4．A ．5．A ．6．D ．7．C ．8．B ．9．B ．10．C ．11．D ．12．D ． 二、填空题 1．9．2．
3π
3．369256．4．(－115，235)．5．6π或56π．6．7．7． 22．
8．(－∞，－1]∪[3，＋∞)．9．1，－1，2，－2．10．31
32．
三、解答题
1．（Ⅰ）f (x )＝a ⋅b ＝cos x 2cos ϕ＋sin x 2sin ϕ＝cos(x
2
－ϕ)，
∵f (x )的图象关于x ＝π
6对称，∴()cos()cos()161212
f πππϕϕ=-=-=±，
∴,12
k k Z πϕπ-
=∈，又|ϕ|<π2，∴ϕ＝π12． （Ⅱ）f (x ) ＝cos(x 2－π12)＝sin(x 2+5π12) ＝sin 12(x +5π
6
),
由y ＝1+ sin x 2平移到y ＝sin 12(x +5π6)，只需向左平移5π
6
单位，再向下平移1个单位，考虑到函
数的周期为π，且→c ＝(m ,n ) （| m |<π），∴5,16
m n π=-
=-，即→c ＝(－5π
6,－1) ． 另解：f (x ) ＝cos(x 2－π12)＝sin(x 2+5π12) ＝sin 12(x +5π
6
),
由1sin 2x y -=平移到15'sin (')26y x π=+，只要5'6'1x x y y π⎧+=⎪⎨⎪=-⎩即5'6'1
x x y y π⎧
-=-⎪
⎨⎪-=-⎩，
∴→c ＝(－5π
6
,－1) ．
命题意图：本题是一道三角函数与平面向量相结合的综合问题，既考查了三角函数的变形以及三角函数的图象与性质，又考查了运用平面向量进行图象平移的知识．
2．解：sin(
3)sin(3)sin(3)cos(3)4444ππππ
αααα+-=++ 111sin(6)cos 62224
παα=+==， 即1cos 62α=，又36(0,
)4πα∈，∴63πα=，即18
π
α=． （1－cos2α
sin2α－3）sin4α
sin 4sin 40o α= 2(sin 60cos10cos60sin10)2sin 50sin80sin 40sin 401cos10cos10cos10
o o o o o o o o
o o o
----=⋅=⋅==-．
变式题：已知（1+ tan2α）（1+tan25°）＝2，α∈(0, π4)，求（1－cos2α
sin2α－3）sin4α的值．
命题意图：本题主要考查三角函数的恒等变形．包含了和差角、倍角的运算，已知三角函数值求角，
诱导公式，辅助角公式，要求学生对三角函数的变形方向有综合的理解． 3．解：（Ⅰ）∵(→AB )2＝→AB ·→AC ＋→BA ·→BC ＋→CA ·→
CB ，
(→AB )2＝→AB ·(→AC ＋→CB )＋→CA ·→CB 即(→AB )2＝→AB ·→AB ＋→CA ·→CB ， 即→CA ·→
CB ＝0，△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，
∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，A ∈(0，π
2) ，
∴sin A ＋sin B
的取值范围为．
（Ⅱ）在直角△ABC 中， a ＝c sin A ，b ＝c cos A ．
若a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2
(a ＋b )≥kabc ，对任意的a 、b 、c 都成立，
则有a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc
≥k ，对任意的a 、b 、c 都成立，
∵ a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc
＝
1c 3
sin A cos A
[c 2sin 2A (c cos A ＋c )＋c 2cos 2A (c sin A ＋c )＋c 2
(c sin A ＋c cos A )]
＝1 sin A cos A
[ sin 2A cos A ＋cos 2
A sin A ＋1＋cos A ＋sin A ] ＝cos A ＋sin A ＋1＋cos A ＋sin A
sin A cos A
令t ＝sin A ＋cos A ，t
∈，
设f (t )＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc ＝t ＋1＋t t 2－12
＝t ＋2t －1＝t －1＋2
t －1
＋1．
f (t )＝t －1＋2
t －1
＋1，当t －1
∈1] 上时 f (t )为单调递减函数，
∴当t ＝2时取得最小值，最小值为2＋32，即k ≤2＋32， 所以k 的取值范围为（－∞，2＋32]．
命题意图：本题是平面向量与三角函数相结合的问题，运用平面向量的运算的意义转化为三角函数的边角关系，进而运用三角函数的图象与性质求值域．第Ⅱ小题将不等式恒成立的问题转化为求三角函数的最值，其中运用了换元法．
4．解：（Ⅰ）甲组10人中有5人身高在1.70米以上，从中任选三人，有3
10C 种选法，它们是等可能
的，记“至少有两人的身高在1.70米以上”为事件D ，它有213
555C C C +种选法，213
5553
101
(),2
C C C P
D C +== 答：至少有两人的身高在1.70米以上（含1.70米）的概率为
1
2
． （Ⅱ）甲、乙两小组在A 、B 、C 组的人数分别是2，3，5和1，5，4，记“两人分在不同身高组”
为事件E ，E 的对立事件为“两人分在同一身高组”，
111111
21355411
10103763
(),()1().100100
C C C C C C P E P E P E C C ++===-= 答：两人分在不同身高组的概率为
63
100
． 命题意图：考查等可能性事件的概率，第Ⅱ小题还可以看作相互独立事件的概率，因为两组中各选一人是相互独立的． 5．解：（Ⅰ）记甲、乙通过测试分别为A 、B ，丙、丁、戊三人通过测试是独立重复试验，三人中有
k 人通过测试的概率为3332
1()()(),0,1,2,3.33
k k k P k C k -==
他们中恰有一人通过测试的概率为
3123331131111215
()(0)()(1)()()()().424234233108
P A B A B P P A B P C ⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅⋅=
（Ⅱ）他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率为
P (－A ⋅B ＋A ⋅－B )⋅P 3(1)＋P (－A ⋅－
B )⋅P 3(2)＝(14⋅12＋34⋅1
2
)C 1
3⋅23⋅(13)2＋(14⋅12
)C 2
3(23)2⋅13＝16
．
答：他们中恰好有两人通过测试且甲、乙两人不都通过测试的概率为1
6
．
命题意图：考查相互独立事件的概率与独立重复试验的概率．本题完全可以只看作是相互独立事件的概率问题，但非常烦琐，考虑到丙、丁、戊三人测试合格的概率相同，可以看作是独立重复试验，简化了运算．本题要求学生对独立重复试验有良好的理解．
6．解：（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有11
5
n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)
n
p n n =
++．
（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率5
9
p =
,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是12
33
80(1)(1)243
P C p p =⋅⋅-=． (Ⅲ)设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为
1232
33
(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<， 2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，
知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3
上P 为减函数，当1
3p =时P 取得最大值．
又101
(5)(4)3
n p n n =
=++,解得20n =．
答：当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．
命题意图：本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用
10(5)(4)
n
n n ++代替p ，
函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将
10(5)(4)
n
n n ++看成一个整体，再求最值．
7．（Ⅰ）证明：∵AB ⊥平面ACD ，AB ∥DE ，∴DE ⊥平面ACD ，∵AF ⊂平面ACD ，
∴DE ⊥AF ．又∵AC =AD =CD ，F 为CD 中点，∴AF ⊥CD ．
∵DE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE ． （Ⅱ）解法一：∵AB ∥DE ，AB ⊂/平面CDE ，DE ⊂平面CDE ， ∴AB ∥平面CDE ，设平面ABC ∩平面CDE ＝l ，则l ∥AB ． 即平面ABC 与平面CDE 所成的二面角的棱为直线l ． ∵AB ⊥平面ADC ，∴l ⊥平面ADC ．∴l ⊥AC ，l ⊥DC ． ∴∠ACD 为平面ABC 与平面CDE 所成二面角的平面角． ∵AC ＝AD ＝CD ，∴∠ACD ＝60︒，
∴平面ABC 和平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小为60︒． （Ⅱ）解法二：如图，以F 为原点，过F 平行于DE 的直线
为x 轴，FC ，FA 所以直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ∵AC ＝2，∴A (0，0，3)，设AB ＝x ， B (x ，0，3)，C (0，1，0)
−→AB ＝(x ，0，0)，−→
AC ＝(0，1，－3)， 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，
则由−→AB ⋅n ＝0，−→
AC ⋅n ＝0，得a ＝0，b ＝3c ，不妨取c ＝1， 则n ＝(0，3，1)．
∵AF ⊥平面CDE ，∴平面CDE 的一个法向量为 −→
FA ＝(0，0，3)．
cos ＜n ，−→FA ＞＝n ⋅−→FA |n |⋅|−→FA |
＝1
2，＜n ，−→FA ＞＝60︒．
∴平面ABC 与平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小为60︒．
（Ⅲ）解法一：设AB ＝x ，则x ＞0．∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD ．又∵AF ⊥CD ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，AB ∩AF ＝A ，∴CD ⊥平面ABF ．∵CD ⊂平面BCD ，∴平面ABF ⊥平面BCD ．连BF ，过A 作AH ⊥BF ，垂足为H ，则AH ⊥平面BCD ．线段AH 的长即为点A 到平面BCD 的距离．在Rt △AFB 中，AB ＝x ，AF ＝32CD ＝3，∴BF ＝3＋x 2，AH ＝3x 3＋x 2＝31＋3
x
2∈(0，3)．
A D
C E
B F
l
H
D
y
（Ⅲ）解法二：设AB ＝x ，∵AC ＝CD ＝DA ＝2，AB ⊥平面ACD ．∴V B －ADC ＝13⋅S △ADC ⋅BA ＝13⋅34⋅22⋅x ＝3
3x ．
∵BC ＝BD ＝4＋x 2，CD ＝2，∴S △BCD ＝12⋅2⋅x 2＋3＝x 2
＋3，设点A 到平面BCD 的距离为d ，则V A －BCD
＝13⋅S △BCD ⋅d ＝d 3x 2＋3．∵V B －ADC ＝V A －BCD ．∴33x ＝d 3x 2＋3，解得d ＝3x 3＋x 2
∈(0，3)．
8．（Ⅰ）证明：取C 1G 的中点H ，连EH ，HB 1．∵AB ∥CD ，DC ＝12AB ，∴AG ∥=CD ，又由直棱柱得，D 1C 1∥=DC ，∴AG ∥=C 1D 1，∴四边形AGC 1D 1为□．∵AE ＝ED 1，GH ＝HC 1，∴EH ∥=AG ．∵FB 1∥=AG ，∴AG ∥=B 1F ．∴
EH ∥=B 1F ．∴EHB 1F 为□，∴EF ∥B 1H ．∵EF ⊂
/平面B 1C 1G ，B 1H ⊂平面B 1C 1G ，∴EF ∥平面B 1C 1G ．
（Ⅱ）由条件得DG ∥=BC ，又∵BC ∥=B 1C 1，∴DG ∥=B 1C 1． ∴平面B 1C 1G 即为平面B 1C 1DG ．
过G 作GK ⊥BC ，垂足为K ，∵GB ＝GC ，∴K 为BC 中点， ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为直棱柱，∴BB 1⊥平面ABCD ．∴BB 1⊥GK ．
∴GK ⊥平面BB 1C 1C ，作KT ⊥B 1C 1，垂足为T ，连GT ，则GT ⊥B 1C 1． ∴∠GTK 为二面角G －B 1C 1－C 的平面角，∴∠GTK ＝45︒．
设GK ＝a ，则TK ＝a ，CD ＝2a ，过C 作CO ⊥平面B 1C 1G ，
垂足为O ，连DO ，则DO 为斜线DC 在平面B 1C 1DG 上的射影，
∴∠CDO 即为DC 与平面B 1C 1G 所成的角．∵CB ∥DG ，DG ⊂平面B 1C 1G ，CB ⊂/平面B 1C 1DG ，∴BC ∥平面
B 1
C 1DG ．∴点C 到平面B 1C 1G 的距离CO 与点K 到平面B 1C 1G 的距离相等，∵B 1C 1⊥GT ，B 1C 1⊥TK ，∴B 1C 1⊥平面GKT ，∵B 1C 1⊂平面B 1C 1DG ，∴平面GKT ⊥平面B 1C 1DG ，过K 作KL ⊥GT ，垂足为L ，则KL ⊥平面B 1C 1DG ．在
△GKT 中GK ＝KT ＝a ，∴KL ＝22a ，即K 到平面B 1C 1G 的距离为22a ，∴CO ＝2
2
a ，在Rt △CDO 中，CO ＝
22a ，CD ＝2a ，∴sin ∠CDO ＝1
2
，∠CDO ＝30︒，即直线CD 与平面B 1C 1G 所成的角为30︒． 9．（Ⅰ）证明：分别取AB ，A 'B '的中点D ，D '，连CD ，PD '，∵O 为△ABC 的中心，G 为△PA 'B '的重心，∴O ∈CD ，G ∈PD '，且CO ∶OD ＝PG ∶GD '＝2∶1．∵AA 'B 'B 为□，AD ＝DB ，A 'D '＝D 'B '，∴DD '∥AA '，又∵AA '∥CC '，∴DD '∥CC '，即DD '∥CP ．又CO ∶OD ＝PG ∶GD '＝2∶1，∴OG ∥DD '，∵OG ⊂/平面AA 'B 'B ，
DD '⊂平面AA 'B 'B ．∴OG ∥平面AA 'B 'B ．
A B C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
G E
F
H K
T
O
L
A
B
C C '
B '
A '
P
O
G D
D '
（Ⅱ）证明一：当λ＝2时，不妨设AA '＝22，AC ＝2，由点A '在平面ABC 上的射影为△ABC 的中心，连AO 并延长交BC 于点E ，则E 为BC 的中点，取B 'C '的中点E '，连EE '，AA '∥EE '∥CC '．∵A 'O ⊥平面ABC ，∴A 'O ⊥BC ．∵O 为△ABC 中心，∴AE ⊥BC ．∴BC ⊥平面AA 'E 'E ．设PB '∩EE '＝Q ，∴BC ⊥A 'Q ，且E 'Q ＝12CP ＝14AA '＝22．∵AO ＝32AC ⋅23＝233．AA '＝22，∴cos ∠A 'AO ＝AO AA '＝332，∴cos ∠A 'E 'E ＝332．在△A 'E 'Q 中，A 'E '＝3，E 'Q ＝
2
2
， cos ∠A 'E 'E ＝332
，∴A 'Q 2＝A 'E '2＋E 'Q 2－2A 'E '⋅E 'Q ⋅cos ∠A 'E 'E ＝52．∵A 'Q 2＋E 'Q 2＝A 'E '2
，
∴A 'Q ⊥QE '，∵QE '与BC 相交，∴A 'Q ⊥平面BB 'C 'C ，∵A 'Q ⊂平面A 'B 'P ，∴平面A 'B 'P ⊥平面BB 'C 'C ． 证明二：当λ＝2时，不妨设AA '＝22，AC ＝2，
由点A '在平面ABC 上的射影为△ABC 的中心，连AO 并延长交BC 于点E ，则E 为BC 的中点，取B 'C '的中点E '，连EE '，AA '∥EE '∥CC '．∵AO ⊥平面ABC ，∴AO ⊥BC ．∵O 为△ABC 中心，∴AE ⊥BC ．∴BC ⊥平面AA 'E 'E ．设PB '∩EE '＝Q ，则Q 为PB '中点． ∵在□AA 'C 'C 中，A 'A ＝A 'C ＝22，A 'C '＝2，∴cos ∠A 'C 'P ＝2
4
，在△A 'C 'P 中，A 'C '＝2，C 'P ＝2，cos ∠A 'C 'P ＝
24
，∴A 'P ＝A 'C '2＋C 'P 2－2A 'C '⋅C 'P ⋅cos ∠A 'C 'P ＝2，∴A 'B '＝A 'P ，∵Q 为BP 中点，连A 'Q ，则A 'Q ⊥BP ，∵BC ⊥平面AA 'E 'E ，∴BC ⊥A 'Q ，∴A 'Q ⊥平面BCC 'B '．∵A 'Q ⊂平面A 'B 'P ，∴平面A 'B 'P ⊥平面BB 'C 'C ．
（Ⅲ）解法一：当λ＝1时，不妨设AA '＝AC ＝2，∵点A '在平面ABC 上的射影为△ABC 的中心，∴A 'A ＝A 'B ＝A 'C ．∴△A 'BC 为等边三角形，取A 'B 中点M ，连CM ，则CM ⊥A 'B ．CM ＝3．过P 作PN ⊥A 'B ，垂足为N ，则−→MC 与−→
NP 所成的角即为二面角C －A 'B －P 的大小．
在△PA 'B 中，∵P 为CC '中点，∴CP ＝1，A 'P ＝3．∵AA '在平面ABC 上的射影AO ，AO ⊥BC ，∴AA '⊥BC ．∵
CC '∥AA '，∴CC '⊥BC ．∵BC ＝2，BP ＝1，∴BP ＝5．A 'B ＝2，∴cos ∠PA 'B ＝
1
23
，∴A 'N ＝12，NP ＝11
2，
∵A 'M ＝1，∴MN ＝12
．
∵−→CP ＝－−→MC ＋−→MN ＋−→NP ，两边平方得，−→CP 2＝−→MC 2＋−→MN 2＋−→NP 2－2−→MC ⋅−→NP ，解得−→
MC
A B
C C ' B '
A ' P O E E ' Q C '
B '
A '
⋅−→NP ＝52．∴cos ＜−→MC ，−→NP ＞＝−→MC ⋅−→
NP |−→MC |⋅|−→NP |
＝53333
．
∴二面角C －A 'B －P 的大小为arccos 533
33
．
解法二：当λ＝1时，不妨设AA '＝AC ＝2，∵点A '在平面ABC 上的射影为△ABC 的中心，∴A 'A ＝A 'B ＝A 'C ．∴△A 'BC ，△A 'BB '都为等边三角形．
取A 'B 的中点M ，连CM ，B 'M ，则CM ⊥A 'B ，B 'M ⊥A 'B ．∴∠B 'MC 为二面角B '－A 'B －C 的平面角，在△B 'CM 中，B 'M ＝CM ＝3，B 'C ＝22，∴cos ∠B 'MC ＝－1
3
．
取BB '的中点R ，连PR ，A 'R ．则平面A 'PR ⊥平面A 'BB '．过P 作PQ ⊥A 'R ，则PQ ⊥平面A 'BB '． 过P 作PN ⊥A 'B 于N ，连QN ，则QN ⊥A 'B ．∴∠PNQ 为二面角B '－A 'B －P 的平面角， 在△A 'PB 中，求得PN ＝
112，在△A 'PR 中，求得PQ ＝223．∴sin ∠PNQ ＝PQ PN ＝4233
． ∵二面角C －A 'B －P 等于二面角B '－A 'B －C 与二面角B '－A 'B －P 的差，设二面角C －A 'B －P 的大小为
θ，则cos θ＝cos(∠B 'MC －∠PNQ )＝cos ∠B 'MC ⋅cos ∠PNQ ＋sin ∠B 'MC ⋅sin ∠PNQ ＝－13⋅133＋223⋅4233
＝53333．∴二面角C －A 'B －P 的大小为arccos 53333．
10．（Ⅰ）解：∵f (x )＋g (x )＝10x ①，∴f (－x )＋g (－x )＝10－x
，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴－f (x )＋g (x )＝10－x
②，由①，②解得f (x )＝12(10x －110
x )，
g (x )＝1
2(10x ＋
1
10
x )． （Ⅱ）由y ＝12(10x －110
x )得，(10x )2－2y ⋅10x －1＝0，解得10x ＝y ±y 2＋1，∵10x ＞0，∴10x
＝y ＋
y 2＋1，x ＝lg(y ＋y 2＋1)，∴f (x )的反函数为f －1(x )＝lg(x ＋x 2＋1)．x ∈R ．
A B
C C '
B '
A ' P
O N Q
M R
（Ⅲ）解法一：g (x 1)＋g (x 2)＝12(10x 1
＋110x 1
)＋12(10x 2
＋110
x 2
)＝12(10x 1
＋10x
2
)＋12(110x 1
＋110x 2
)
≥12⋅210x 1
×10x
2
＋12
×2110x 1
×1
10
x 2
＝10x 1＋x 2
2
＋
1
10
x 1＋x 22
＝2
g (x 1＋x 22
)．
解法二：[g (x 1)＋g (x 2)]－2g (
x 1＋x 2
2
)＝12(10x 1
＋110x 1
)＋12(10x 2
＋1
10
x 2
)－(10
x 1＋x 2
2
＋
1
10
x 1＋x 22
)
＝
(10
x 1＋x 2
＋1)(10x 1＋10x 2
)2⋅10x 1
＋x
2
－10x 1＋x 2＋110
x 1
＋x 2
2
＝(10
x 1＋x 2
＋1)(10x 1＋10x 2
)－2⋅(10
x 1＋x 2
＋1)⋅10
x 1＋x 2
2
2⋅10
x 1＋x 2
⋅
＝
(10x 1＋x 2
＋1)[10x 1＋10x 2－2⋅⋅10
x 1＋x 2
2
]
2⋅10
x 1＋x 2
≥
(10x 1＋x 2
＋1)[210x 1×10x 2－2⋅⋅10
x 1＋x 2
2
]
2⋅10
x 1＋x 2
＝0．
（Ⅳ）f (x 1－x 2)＝f (x 1)g (x 2)－g (x 1)f (x 2)，g (x 1＋x 2)＝g (x 1)g (x 2)－f (x 1)f (x 2)． 11．解法一：∵F (－2，0)，l ：x ＝－22，离心率e ＝
22
． （1）当AB 垂直x 轴时，A (－2，1)，B (－2，－1)．∴|AB |＝2，又此时线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点为P (－22，0)，P ，A ，B 不构成等边三角形，不合题意．
（2）当AB 不垂直x 轴时，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入x 24＋y 2
2＝1得，(1＋2k 2)x 2
＋42
k 2
x ＋4(k 2
－1)＝0，∵△＞0，且x 1＋x 2＝－42k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝4(k 2
－1)1＋2k 2，设AB 中点为M ，则M (－22k
2
1＋2k
2，
2k 1＋2k 2)，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋2k 2＝－1k (x ＋22k
2
1＋2k 2)，此直线与l 的交点为P ，则P 的坐标为(－22，22(1＋k 2
)k (1＋2k 2
)＋2k 1＋2k 2)， |MP |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫22(1＋k 2)1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫22(1＋k 2)k (1＋2k 2)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2
1＋1
k
2．
(或|MP |＝
1＋(－1k )2|x M －x P |＝22(1＋k 2
)
1＋2k
2
1＋1k
2)
而|AB |＝(ex 1＋2)＋(ex 2＋2)＝22(x 1＋x 2)＋4＝22×(－42k 21＋2k 2)＋4＝4(1＋k 2
)
1＋2k 2．
△ABP 为等边三角形⇔
3
2
|AB |＝|MP |， 即32×4(1＋k 2
)1＋2k 2＝22(1＋k 2
)1＋2k
2
1＋1k 2，3
2
＝1＋1
k
2，解得k ＝±2．
所以直线AB 的方程为y ＝±2(x ＋2)．
解法二：：如图，∵F (－2，0)，l ：x ＝－22，离心率e ＝
2
2
．设过点F 的弦AB 的中点为M ，分别过A ，B ，M 向准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |e ＋|BF |
e )
＝1
2
|AB |，又因为△PAB 为等边三角形⇔|PM |＝32|AB |，所以|MM 1||MP |＝6
3，
即cos ∠PMM 1＝
63，∴sin ∠PMM 1＝33 ，tam ∠PMM 1＝22，又k PM ＝±tam ∠PMM 1＝±2
2
∵AB ⊥PM ，∴k AB ＝－1
k PM
＝±2，又AB 过点F (－2，0)
．
12．（Ⅰ）解：设N (x 0，y 0)，（x 0＞0），则直线ON 方程为y ＝y 0
x 0x ，与直线x ＝－p 交于点M (－p ，－
py 0
x 0
)，代入|OM ||MN |＝1|NA |
得，
(－p )2
＋(－
py 0x 0
)2
(x 0＋p )2＋(y 0＋py 0x 0
)
2
＝1
(x 0＋1p
)2＋y 0
2
，
或
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 0x 02|0－(－p )|1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 0x 02|x 0－(－p )|＝
1
(x 0＋1p
)2＋y 0
2
．
化简得(p 2
－1)x 02
＋p 2
y 02
＝p 2
－1．把x 0，y 0换成x ，y 得点N 的轨迹方程为(p 2－1)x 2＋p 2y 2＝p 2
－1．(x ＞0)
（1）当0＜p ＜1时，方程化为x 2
－y 21－p
2p 2
＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的右支；
（2）当p ＝1时，方程化为y ＝0，表示一条射线（不含端点）； （3）当p ＞1时，方程化为x 2
＋
y 2
p 2－1
p 2
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的右半部分．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN |＝
(x 0＋1p
)2＋y 02
＝
(x 0＋1p )2＋1－1p 2－(1－1p
2)x 02
＝
1
p 2x 0
2＋2
p x 0＋1＝1
p
x 0＋1． 当0＜p ＜1时，因x 0∈[1，＋∞)，故|AN |无最大值，不合题意． 当p ＝1，因x 0∈(0，＋∞)，故|AN |无最大值，不合题意．
当p ＞1时，x 0∈(0，1]，故当x 0＝1时，|AN |有最大值1p ＋1，由题意得1p ＋1≤3
2，
解得p ≥2．
所以p 的取值范围为[2，＋∞)．
13．解：（Ⅰ）由条件得F (2，0)，l ：x ＝－2．设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，直线l
与x 轴交于F '，根据|AF |＝5，|FF '|＝4，得|AF '|＝3，从而⎩⎪⎨⎪⎧c =2，b 2
a =3．解得a ＝1，
b ＝3．从而所求的
双曲线方程为：x 2
－y 2
3
＝1；
（Ⅱ）①设直线m ：y ＝kx ＋1，代入x 2
－y 2
3＝1得，
(3－k 2
)x 2
－2kx －4＝0，
直线m 与曲线C 1交于两点M ，N ．
故⎩⎨⎧3－k 2≠0，(－k )2＋4(3－k 2
)>0．
解得－2＜k ＜－3，或－3＜k ＜3，或3＜k ＜2．
②不妨设M ，N 的坐标分别为(x 1
，y 1
)，(x 2
，y 2
)，由上面可得⎩⎨⎧
x 1＋x 2=－2k k 2－3
，
x 1x 2
=
4
k 2
－3．
由−→MB ＝λ−→
BN 得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，⇒x 1＝－λx 2．
设存在点C (t ，t )，则−→CM －λ−→
CN ＝(x 1－t ，y 1－t )－λ(x 2－t ，y 2－t )＝((x 1－λx 2＋t (λ－1)，y 1－
λy 2＋t (λ－1))，又−→OB ＝(0，1)，从而由−→OB ⊥(−→CM －λ−→
CN )得y 1－λy 2＋t (λ－1)＝0，
因直线m 的斜率不为零，故λ≠1． 所以解得t ＝
y 1－λy 21－λ＝kx 1＋1－λ(kx 2＋1)1－λ＝1＋k ⋅x 1－λx 2
1－λ
． 因为λ＝－x 1x 2，代入得t ＝1＋k ⋅x 1＋x 1
x 2⋅x 2
1＋x 1x 2
＝1＋k ⋅2x 1x 2
x 1＋x 2
，
因为⎩⎨⎧x 1
＋x 2
=－2k
k 2
－3
，x 1x 2
=4
k 2
－3．
代入得t ＝－3，即存在点C (－3，－3)，满足要求．
14．解：∵a 1＝1 由S 2+S 1＝ta 22+2，得a 2 ＝ta 2
2，∴a 2 ＝0（舍）或a 2＝1t
，
S n +S n －1＝ta 2
n +2 ① S n －1+S n －2＝ta 2
n －1+2 (n ≥3) ②
x
①－②得a n +a n －1＝t （a 2n －a 2
n －1）（n ≥3），（a n +a n －1）[1－t （a n －a n －1）] ＝0，
由数列{ a n }为正项数列，∴a n +a n －1≠0，故a n －a n －1＝1
t
（n ≥3）,即数列{ a n }从第二项开始是公差
为1
t
的等差数列．
∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1 n －1t
n ≥2．
（2）∵T 1＝1＜2，当n ≥2时，T n ＝t +t 2 1×2+t 2 2×3+t 2 3×4+ …+t 2
(n －1)×n ＝t + t 2(1－1n ) ＝t + t 2n －1
n
要使T n <2,对所有的n ∈N +
恒成立，只要T n ＝t + t
2
n －1
n
＜ t + t 2≤2成立，∴0＜t ≤1. 命题意图:考查数列前n 项和与数列通项公式的关系、等差数列、裂项求和法等。

15．（Ⅰ）解：∵函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2
＋c ，在y 轴上的截距为－5, ∴c ＝－5. ∵函数f (x )在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减,
∴x ＝1时取得极大值，又当x ＝0，x ＝2时函数f (x )取得极小值． ∴x ＝0，x ＝1， x ＝2为函数f (x )的三个极值点， 即f'(x )＝0的三个根为0，1，2，
∴f '(x )＝4x 3＋3ax 2＋2bx ＝4x (x －1)(x －2))＝4x 3－12x 2
＋8x .
∴a ＝－4，b ＝4, ∴函数f (x )的解析式： f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2
－5. （Ⅱ）解：若函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴,设对称轴方程为x ＝t , 则f (t +x )＝f (t －x )对x ∈R 恒成立.
即: (t +x )4－4(t +x )3＋4(t +x )2－5＝(t －x )4－4(t －x )3＋4(t －x )2
－5.
化简得(t －1)x 3+( t 2
－3 t +2)x ＝0对x ∈R 恒成立. ∴⎩⎨⎧t －1＝0，t 2－3 t +2＝0．
∴t ＝1 即函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴x ＝1.
（Ⅲ）解：x 4－4x 3＋4x 2－5＝λ2x 2
－5恰好有三个不同的根，
即x 4－4x 3＋4x 2－λ2x 2
=0恰好有三个不同的根,
即x 2（x 2－4x ＋4－λ2
）＝0，∵x ＝0是一个根，
∴方程x 2－4x ＋4－λ2
＝0应有两个非零的不相等的实数根，
∴△＝16－4(4－λ2)＝4λ2>0，且x 1x 2＝4－λ2
≠0，∴λ≠0，－2，2．
若存在实数m ，使得不等式m 2
＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3，3], λ∈A 恒成立. ∵|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2
－4 x 1x 2＝2|λ|＞0，
要使m 2
＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3，3], λ∈A 恒成立,
只要m 2
＋tm ＋2≤0对任意t ∈[－3，3] 恒成立,
令g (t )＝tm +m 2
＋2 , 则g (t )是关于t 的线性函数. ∴只要⎩⎨
⎧g (－3) ≤ 0，
g (3) ≤ 0．解得⎩⎨⎧1≤m ≤2，－2≤m ≤－1．
∴不存在实数m ，使得不等式m 2
＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3，3], λ∈A 恒成立.
命题意图:考查多项式的导数、函数的图象性质、二次方程根的判断，等价转换、化归思想等数学思想方法。

16．解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为：
y ＝100＋10xt －10t －1003t ，且0≤t ≤16．
根据题意0＜y ≤300，
∴0＜100＋10xt －10t －1003t ≤300
当t ＝0时，结论成立． 当t ＞0时，由左边得x ＞1＋10(
t
t 11
3
2-) 令m =
3
1
t
，由0＜t ≤16，m ≥
4
43
， 记f (t )=1＋10（t t
11
32-）=1+10m 2-10m 3
，
（m ≥443
） 则f '(t )=20m – 30 m 2
=0得m = 0或m =
3
2
． ∵当
4
4
3
≤m ＜32时，f '(t )＞0；当m ＞32时，f '(t )＜0，
∴所以m =32时(此时t =827)，f (t )最大值=1+10（32）2-10（32）3=27
67≈2.48． 当t ＝
827时，1＋10（t t
1132-）有最大值 2.48
∴x ＞2.48，即x ≥3． 由右边得x ≤
321020t t +＋1，当t ＝16时，32
1020t t +
＋1有最小值 32
16101620+
＋1=425493+∈(3，4)．即x ≤3． 综合上述，进水量应选为第3级．
本题考查数学建模的基本思想，怎么样把实际问题转化为数学问题，进而用已有的数学知识求这个数学问题的解。

水塔中的水不空又不会使水溢出等到价于进出水量的平衡，进水量与选择的进水级别与进水时间相关，出水量有生活用水与工业用水两部分构成，故水塔中水的存量是一个关于进水级别与用水时间的函数，而容量为300吨的水塔就构成一个不等式，解之得问题的解。

17．解：（Ⅰ）∵ 2a b a b ab a b <<+<<+，a ，+∈N b ，
∴ ⎩⎨⎧+<<+.2b a ab ab b a ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<->.121b b a b b a ， ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-+<-+>.1221
11b a b a ，
∴ ⎩⎨⎧<>4
1a a ， ∴ a ＝2或a ＝3
∵当a ＝3时，则由b a ab 2+<得a b <即11a b <,与11b a <矛盾故a ＝3不合题意
∴a ＝3舍去 ∴a ＝2
（Ⅱ）b m a m )1(2-+=，12-⋅=n n b b ，由n m b a =+3可得
12)1(5-⋅=-+n b b m ∴ 5)12(1=+--m b n ∴ b 是5的约数，又3b ≥，
∴ b ＝5 ．
(Ⅲ)若甲正确，则存在b （3b ≥）使2(1)2222
2n b
n b +-->⋅，即2(1)(2)22n b b +-->对*n N ∈恒成立，
当1n =时，2
2
2b >，无解，所以甲所说不正确． 若乙正确，则存在b （3b ≥）使2(1)2222
2n b
n b +--<⋅，即2(1)(2)22n b b +--<对*n N ∈恒成立，
当2n =时，2
2b
b <,只有在3b =时成立， 而当3n =时4
2
23<不成立，所以乙所说也不成立．
命题意图：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，用两边夹的方法确定整数参数．第Ⅲ小题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．。