2015高二暑期.第1讲 简易逻辑.删解析

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第1讲·提高-尖子-目标·教师版
当前形势
简易逻辑在近五年北京卷(
理)考查5分 高考 要求
内容
要求层次 具体要求
A
B
C
“若p ，则q “形式的命
题及其逆命题、否命题
与逆否命题 √
了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．
四种命题的相互关系；简单的逻辑联结词；全称量词与存在量词
√ 会分析四种命题的相互关系；了解“或”、“且”、 “非”逻辑联结词的含义；理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充要条件
√
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
北京 高考 解读 2008年 2009年 2010年（新课标） 2012年（新课标） 第3题5分 第5题5分 第6题5分 第3题5分
<教师备案> 本讲侧重于将简易逻辑中的概念与原理讲明白，对于讲解概念涉及到的其它数学背景知识
尽量选择简单的，以集合、方程与不等式为主，绕开了学生不太熟悉的向量与三角函数等知识．对于一些比较复杂的问题，我们留到同步去讲，比如命题的否定与否命题之间的区别、对充要条件的转化等．
考点1：命题
命题是个到处可以见到的字眼，语文上有命题作文，会评价一篇作文命题新颖等等；北大门卫会询问每个进入北大的人的三大终极哲学命题：你是谁？你从哪里来？你要到哪里去？这些命题都不是数学意义上的命题．
在逻辑中最重要的是二元判断，即对真假的判断，而二元判断的最小承载单位就是命题，这里的真假一般来说是指客观的可以判断的真假，不依赖于主观的判断．数学上的命题就是指可以判断真假
1.1 命题与量词
新课标剖析
第1讲
简易逻辑
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第1讲·提高-尖子-目标·教师版
的陈述句：如明天会下雨；有理数一定是实数；白马非马；人不可能两次踏进同一条河流；女生爱逛街等等都是命题．
1．命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母
表示，如p q r
，，，． 其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．
<教师备案> 1．含有变量x 的语句，可以用符号()p x ，()q x 等表示，这类语句无法判断真假，不是命
题．又称为开句或条件命题．当赋予变量x 某个值或一定的条件时，这些含有变量的语句就变成命题了，如()p x ：26x +是正数，不是命题；(5)p -：2(5)6⨯-+是正数．是
②不是命题；加上若x ∈R ，则2440x x ++≥，就是命题了． ③是疑问句，不涉及真假，不是命题．
④是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．
【例1】
判断下列命题的真假．
⑴ 两个无理数的乘积一定是无理数； ⑵ 若A B Ú，则A B A ≠；
⑶ 若1m >，则方程220x x m -+=无实数根； ⑷ 已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠且b d ≠，则a b c d +≠+；
⑸ 已知a b ∈R ，，若1a ≠或1b ≠，则22(1)(1)0a b -+-≠．
【解析】 ⑴ 假命题；
⑵ 真命题； ⑶ 真命题； ⑷ 假命题； ⑸ 真命题．
命题分类及量词引入
对命题可以有各种形式的分类，按照结构分类命题可以分成简单命题与复合命题． 其中简单命题只有六种形式：
① 所有的Ｓ是Ｐ；② 所有的Ｓ不是Ｐ；③ 有的Ｓ是Ｐ；④ 有的Ｓ不是Ｐ． ⑤ a(或某个S)是P ；⑥ a(或某个S)不是P ；
其中⑤与⑥是单称命题；①与②是全称命题，陈述某集合所有元素都具有某种性质； ③与④是特称命题（又称存在性命题），陈述某集合中有（存在）一些元素具有某性质．
全称命题与特称命题都有特定的量词——全称量词与存在量词．表示“所有”的量词是全称量词，用符号∀表示（英文单词any 的首字母倒着写）；表示“有的”的量词是存在量词，并用符号∃表示（英文单词exist 的首字母倒着写）．
经典精讲
知识点睛
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考点2：量词
1．全称量词：短语“所有”、 “一切”、 “每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全
”全称命题：含有全称量词的命题．
如：一切反动派都是纸老虎；每一个人都是独一无二的；所有的矩形都是正方形．
全称命题的符号：”对集合M 中所有x ，()p x “记为：x M ∀∈，()p x ．
其中()p x 表示含有变量x 的语句，如0x >，210x +=等．
如：x ∀∈R ，210x +>；0x ∀>
x =．
<教师备案> 只要是表示全体的量词，不管怎么叙述，都是全称量词．省略量词的如果是对某一群体进
行描述的，一般都是全称命题．如山下的女人是老虎、人应该好好学习、实数的平方非负等等．
2．存在量词：短语“有一个”、 “有些”、 “至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中
通常叫做存在量词，并用符号
如：有些人活着，他已经死了；至少有一种鱼不是用腮呼吸的．
存在性命题的符号：“存在集合M 中的元素x ，()q x ”记为：x M ∃∈，()q x ． 如：0x ∃>，2x x <；x y ∃∈R ，，22(1)(1)0x y -+-=．
<教师备案> 注意数学中的“有一些”、“有些”只表示存在，不表示“多于一”．如有些实数没有倒数是真
命题，虽然只有一个数——零没有倒数．
【铺垫】用量词符号“∀∃，”表示下列命题，并判断下列命题的真假． ⑴ 存在一对实数a b ，，使20a b +<成立；
⑵ 有理数x 的平方仍为有理数； ⑶ 实数的平方大于0．
【解析】 ⑴a b ∃∈R ，，20a b +<；真命题；
⑵x ∀∈Q ，2x ∈Q ；真命题； ⑶x ∀∈R ，20x
>；假命题．
【例2】
判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假． ⑴ x ∈R 时，21x +是整数； ⑵ 对所有的实数x ，3x >； ⑶ 单位向量都相等；
⑷ 末位是0的整数，可以被2整除；
⑸ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ⑹ 对任意一个整数x ，221x +为奇数； ⑺ 有的实数是无限不循环小数； ⑻ 有些三角形不是等腰三角形；
经典精讲
知识点睛
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⑼ 有的菱形是正方形．
【解析】 ⑴~⑹是全称命题，⑺~⑼是存在性命题，⑷~⑼是真命题，⑴⑵⑶是假命题．
提高班学案1
【拓1】 命题“x ∀∈R ，2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．0a <或3a ≥
B ．0a ≤或3a ≥
C ．0a <或3a >
D ．03a <<
【解析】 A
提高班学案2
【拓1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．
⑴ x ∈R 且πx k ≠，k ∈Z 时，1
sin 2sin x x
+≥；
⑵ {|x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数； ⑶ 存在一对实数x y ，，使2330x y ++>成立；
⑷ 对任意实数x y ，，有221x y y +>-成立．
【解析】 ⑴ 全称命题，假命题；
⑵ 存在性命题，真命题； ⑶ 存在性命题，真命题； ⑷ 全称命题，真命题．
复合命题
上一节我们说过简单命题只有六种形式，简单命题是指不包含其他命题作为其组成部分的命题，即在结构上不能再分解出其他命题的命题．它可以分成两类，一类是性质命题，如：金属是导电的；有些花是红的；所有的自然数都是非负数；另一类是关系命题，这类命题不限于一个主项，谓项反映的是主动之间存在的关系，如：武汉位于北京与长沙之间；张三和李四是同学；所有的单位向量模长都相等；简单命题的真假判断不能依靠命题逻辑推理，只能依据客观事实或生活经验自行判断．
通过一些联结词把一些简单命题组成为更复合的命题，在日常语言中，这类联结词有： ⑴并且，然后，不但…而且…，虽然…但是…，既不…也不…； ⑵或者…或者…，也许…也许…，要么…要么…；
⑶如果…那么，只要…就…，一旦…就…，只有…才…，不…就不…，…除非…； ⑷当且仅当，如果…那么…并且只有…才…； ⑸并非，并不是．
因为它们联结的是命题，故我们称它们为命题联结词，也称为逻辑联结词．为简单起见，我们用“且”作为第一类联结词的代表，用“或”作为第二类联结词的代表；用“如果（或若）…，则…”作为第三类联结词的代表；用“当且仅当”作为第四类联结词的代表；用“非”表示第五类联结词的代表．通过这些联结词，我们可以由一个个命题，如“樱桃红了”、“芭蕉绿了”，组成更复合的命题，例如：
樱桃红了并且芭蕉绿了． 樱桃红了或者芭蕉绿了．
如果樱桃红了，那么芭蕉绿了．
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只有樱桃红了，才芭蕉绿了． 樱桃红了，当且仅当，芭蕉绿了． 并非樱桃红了．
我们先看⑴⑵⑸对应的逻辑联结词，下一板块我们再学习⑶对应的命题的四种命题形式；最后我们看⑷对应的充要条件的相关知识．
考点3：逻辑联结词
“且”的引入
看下面的命题：
①鲁迅既是文学家，又是思想家． ②天下雨，路又滑．
③他大发一通脾气，然后气冲冲地走了． ④李逵不但没有跪下，反而把腰杆挺得更直．
这些分别表示并列、承接、转折、递进关系的复合命题，都被称为联言命题，有时，在自然语言中，表示对偶、对比、排比关系的句子也常常省略掉联结词，如：红了樱桃，绿了芭蕉；鸟宿池边树，僧敲月下门；富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈．这些都是自然语言中的联言命题．我们把“p 且q ”看作它的标准表示形式，并称p q ，为支命题．
对于两个命题p q ，，用“且”联结起来，就得到一个新的命题，记为p q ∧，读作“p 且q ”．
在自然语言中，联言命题表达了支命题之间在内容、意义、甚至语气上的相互关联，逻辑不能处理这些相互关联，只研究支命题与复合命题在真假方面的相互关联．对于联言命题，只有它的各个支命题都是真的，它本身才是真的；如果有一个支命题为假，则联言命题为假．即只有p q ，都是真命题时，p q ∧才是真命题．只要p q ，中有假命题，p q ∧就是假命题．
例如：小张既高又胖，只有在小张高和小张胖都真的情况下才是真的，在其余情况下都是假的．
一、逻辑联结词：且(∧)、或(∨)、非(⌝)．
1．且：用逻辑联结词”且”把命题p 和q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”． 可以用“且”定义集合的交集：{|()()}A B x x A x B =∈∧∈．
<教师备案> 逻辑联结词“且”是由日常语言中的“并且”、 “及”与”和”抽象出来的，但含义并不完全相
同．在日常语言中，这些联结词联结起来的语句中，明显为假的支语句会被排斥，而且往往它的顺序是不能随意颠倒的，而且常常有一些联系，如“他获得了奥运会的金牌，并且参加了奥运会”在逻辑上可接受的命题，但它对日常思维来说却是不恰当的．同样地，“他参加了亚运会，并且雪是白的”在逻辑上可以为真，但是在日常生活中不会被使用．
如果被使用起来，往往蕴含深意．
有一个故事说的是德国诗人海涅，他因为是犹太人，在当时常常遭人耻笑和攻击． 一次，一位学者对他说：“我最近刚从塔希提岛旅行回来，你猜最使我惊讶的是什么？——这个岛上既没有犹太人，也没有驴子！”
海涅立即回敬道：“我俩一起到那岛上去，那就既有犹太人，又有驴子了！”
“或”的引入
1.2 逻辑联结词
知识点睛
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看下面的命题：
①一个三角形，要么是直角三角形，要么是斜三角形． ②不是老虎吃掉武松，就是武松打死老虎．
③艺术作品质量差，也许由于内容不好，也许由于形式不好． ④小张学习成绩不理想或因学习方法不对，或因不努力． ⑤ 病人或失业者可以停付保险费．
这些命题是借助“或者”这类联结词联结两个支命题，称为选言命题．选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题两类．如上面的①②是不相容选言命题，两个支命题（又称选言支）互相排斥，不能同时为真，且二者必居其一．③④⑤是相容选言命题，至少有一种存在，也可以同时存在．
在数学上，我们研究相容选言命题，各个选言支并不相互排斥，可以同时为真．只要有一个选言支为真，相容选言命题就为真；如果所有选言支都假，则相容选言命题为假．
对于两个命题p q ，，用“或”联结起来，就得到一个选言命题，记为p q ∨，读作”p 或q ”． 如果p q ，两个命题中，至少有一个是真命题（包括：p 对q 错，p 错q 对，p 对q 对），则p q ∨是真命题．如果p q ∨是假命题，则p q ，一定都是假命题．
如：自然数x 或者是偶数或者是奇数．只有在自然数x 既不是偶数与不是奇数的情况下才是假的．所以这个命题一定是恒真的．
2．或：用逻辑联结词“或”把命题p 或q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”． {|(A B x =除了联言命题与选言命题外，还有一类命题称之为负命题，是由否定一个命题而得到的命题．用联结词⌝(读作“非”或“否定”)表示，对命题p 的否定记作p ⌝．“非”的意义是由日常语言中的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”等抽象而来．非命题满足：
⑴p 与p ⌝的真假性一定不同．p 真，则p ⌝假；p 假，则p ⌝真．
⑵()p p ⌝⌝=成立，即双重否定等于肯定．如：他不可能不是帅哥，意思是他是帅哥．
例：命题p 表示：甲是帅哥；则p ⌝表示：甲不是帅哥；
命题p ：所有的男人都很勇敢；p ⌝：不是所有男人都很勇敢，也就是有些男人不勇敢． 命题p ：不是所有的牛奶都叫特仑苏．p ⌝：所有牛奶都叫特仑苏．
3．非：一般地，对命题p 加以否定，就得到一个新的命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”． 可以用“非”来定义集合A 在全集U 中的补集：{|)}{|}U A x U x U x A =∈⌝=∈∉ð． 4．不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．
<教师备案>1
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二、全称命题与存在性命题的否定： 1．存在性命题的否定：
存在性命题 p ：x A ∃∈，()p x ；它的否定是p ⌝：x A ∀∈，()p x ⌝． 将存在量词变为全称量词，再否定它的性质． 2．全称命题的否定：
全称命题 q ：x A ∀∈，()q x ；它的否定是q ⌝：x A ∃∈，()q x ⌝． 将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．
⑴0x ∀>，2210x x ++≥；⑵0x ∃≤，2210x x ++<．
⑶有些三角形不是直角三角形；⑷有些三角形是直角三角形； ⑸所有的质数都是奇数；⑹质数不都是奇数．
⑴0x ∃>，2210x x ++<；⑵0x ∀≤，2210x x ++≥．
⑶所有三角形都是直角三角形．⑷所有的三角形都不是直角三角形． ⑸存在一些质数不是奇数．⑹所有质数都是奇数．
<教师备案> 我们只研究前面提到的简单命题的六种形式的否定．即以下六种命题的否定．
① 所有的Ｓ是Ｐ；② 所有的Ｓ不是Ｐ；③ 有的Ｓ是Ｐ；④ 有的Ｓ不是Ｐ． ⑤ a(或某个S)是P ；⑥ a(或某个S)不是P ．
有些全称命题会省略全称量词，如女人爱逛街，指得是：所有的女人都爱逛街；所以它的否定为：有些女人不爱逛街．再如：若0x >，则20x >；可以转化为：对0x ∀>，有20x >，再否定就简单了．
【例3】 ⑴
下列各组命题中，满足“p 或q ”为真、“p 且q ”为假，“非p ”为真的是( ) A ．p ：0=∅；q ：0∈∅
B
．p ：在ABC △中，若cos2cos2A B =，则A B =；
q ：sin y x =在π02⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，上是增函数．
C ．p ：)a b a b +∈R ≥，；q ：不等式x x >的解集是(0)-∞，
D ．p ：对任意实数x y ，，有221x y x +>-成立；q ：{101}210x x ∀∈-+>，
，， ⑵甲、乙两人参加一次竞赛，设命题p 是“甲获奖”，命题q 是“乙获奖”，试用p q ，及逻辑联结词“且”、 “或”、 “非”表示：
①两人都获奖； ②两人都未获奖； ③至少有一人获奖； ④恰有一人获奖．
【解析】 ⑴ C
⑵ ①p q ∧；
②()()p q ⌝∧⌝； ③p q ∨；
④()()p q p q ⌝∧∨∧⌝．
【点评】 ④也是对②中情况的否定，故也可表示为(()())p q ⌝⌝∧⌝，故容易知道(()())p q p q ∨=⌝⌝∧⌝，
也即()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝．
经典精讲
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第1讲·提高-尖子-目标·教师版
尖子班学案1
【拓2】在下边的横线上填上真命题或假命题．
⑴ 若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，那么p q ∧是______；p q ⌝∧是_____；
⑵ 若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，那么p q ∧是______；p q ∨是_______；p ⌝是_______． 【解析】 ⑴ 假命题，真命题；
⑵ 真命题，真命题，假命题．
目标班学案1
【拓3】已知命题p ：关于x 的不等式20062008x x a -+->恒成立；命题q ：关于x 的函数log (2)a y ax =-在[01]，上是减函数．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围是_______．
【解析】 (1]-∞，；
上面我们看了由“或”、“且”、“非”三种逻辑联结词构成的三类复合命题：联言命题、选言命题与负命题．下面我们研究一类由“如果…则…”联结起来的复合命题，我们称之为条件命题（又称为假言命题）．这类命题中有条件p 与结论q ，条件命题断定了条件与结论之间的某种关系，记为p q →． 板块1.3研究对条件与结论进行否定以及互换后对应的四种命题形式；板块1.4研究条件与结论之间的关系，将条件命题分为充分条件、必要条件与充要条件三类．
条件命题在自然语言中的表述形式非常多，指出下面条件命题的条件与结论： ⑴只要勤奋耕耘，就会有所收获；
⑵如果这个玻璃杯从我手中滑落，那么它会摔得粉碎； ⑶一见到美女，他就脸红；
⑷除非你找到证据，我才相信你说的话； ⑸你只有脸皮够厚，才能克服胆怯的毛病．
给我们一个命题p ：如果一个人是女生，那么她爱逛街．
你能把这些命题的条件与结论互换，得到的命题是什么样的？ 命题q ：如果一个人爱逛街，那么她是女生．
如果把这些命题的条件与结论同时否定，得到的命题是什么样的？ 命题r ：如果一个人不是女生，那么她不爱逛街．
如果把这些命题的条件与结论同时否定，再将否定后的条件与结论互换，得到的命题是什么的？ 命题s ：如果一个人不爱逛街，那么她不是女生．
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第1讲·提高-尖子-目标·教师版 我们把最开始的命题p 称为原命题，将它的条件与结论互换，得到的命题q 称为p 的逆命题；将这个命题的条件与结论同时否定，得到的命题r 称为p 的否命题；将这个命题的条件与结论同时否定，并将否定后的结论当成条件，条件当成结论，得到的命题s 称为命题p 的逆否命题．
本节中我们只讨论p q →形式的命题（即若…则…形式的命题），不讨论条件与结论不明确的命题的四种命题形式．p q →的逆命题为：q p →；否命题为：p q ⌝→⌝；逆否命题为：q p ⌝→⌝．
四种命题是一种相互关系，不能单纯地说某个命题是逆命题，只能说谁是谁的逆命题，谁是谁的否命题．
考点4：四种命题
1．命题的四种形式：
命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题． ⑴原命题：如果p ，则q ；
⑵原命题的逆命题：如果q ，则p ； ⑶原命题的否命题：如果非p ，则非q ； ⑷原命题的逆否命题：如果非q ，则非p ．
“若()sin f x x =，则()f x 是周期函数”
的逆命题，否命题，逆否命题．并判断这四个
命题的真假．
()f x 是周期函数，则()sin f x x =；假
否命题：若()sin f x x ≠，则()f x 不是周期函数；假； 逆否命题：若()f x 不是周期函数，则()sin f x x ≠．真．
“若a b >，则11a b ->-”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四个命题的真假． 11a b ->-，则a b >，真；
否命题：若a b ≤，则11a b --≤，真； 逆否命题：若11a b --≤，则a b ≤，真．
有时我们会遇到有大前提的命题，对于这类命题，写它的逆命题，否命题与逆否命题时，大前提不变．所以对于一个命题，我们需要区分大前提与命题的条件．如：命题：已知a b ，是实数，若a b >，则22a b >．它的逆命题为：已知a b ，是实数，若22a b >，则a b >．否命题为：已知a b ，是实数，若a b ≤，则22a b ≤；逆否命题：已知a b ，是实数，若22a b ≤，则a b ≤．这四个命题都是假命题．
命题的四种形式的真假有什么联系呢？
2．命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系： ⑴逆命题与否命题互为逆否命题；
⑵互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．
⑶互逆或互否的两个命题不等价．
1.3 四种命题形式
知识点睛
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第1讲·提高-尖子-目标·教师版
原命题与它的逆命题以及否命题的真假都没有关系，但在现实生活中，我们有时却会错用推理，把否命题的真假或者逆命题的真假与原命题建立起联系来：
如：有人想反驳“钱不是万能的”．给出的理由是：没有钱是万万不能的．这个逻辑对吗？应该怎样给出理由呢？如果直接反驳，前提是某人有钱，但是有办不到的事情．
再如：有人想讨论：科技能不能带来社会发展．思考方向是：没有科技的时候社会发展很慢． 再如：我们都知道如果小亮对小雪有意思，则小亮会对小雪好．
现在小雪寻思：小亮对我挺好的，他应该对我有意思，这个推理有问题吗？
因为原命题与它的逆否命题等价，所以要论证原命题正确，可以通过论证它的逆否命题正确，但不能通过论证它的逆命题正确，或者论证它的否命题的正确或错误．比如，如果小亮对小雪不好，那么一定能推出小亮对小雪没有意思．
3．注意命题的否定与否命题之间的区别．命题的否定与原来命题的真假一定是不同的，而否命题与原命题之间的真假没有关系．
<备注>这一部分内容我们到同步再展开讲解．
【例4】
若a b c ∈R ，，，
写出命题”若0ac <，则20a x b x c ++=有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
【解析】 逆命题：a b c ∈R ，，，若20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则0ac <；假命题．
否命题：a b c ∈R ，，，若0ac ≥，则方程20ax bx c ++=没有两个不相等的实数根；
假命题．
逆否命题：a b c ∈R ，，，若20ax bx c ++=没有两个不相等的实数根，则0ac ≥；
真命题．
尖子班学案2
【拓2】给出以下四个命题：
①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题；
②“如果两个三角形全等，则它们的面积相等”的否命题； ③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题． 其中真命题是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
【解析】 C
目标班学案2
【拓3】⑴原命题：设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，
经典精讲
真命题共有（ ）个．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
⑵命题“已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠”是_____（填“真”或“假”）命题．
【解析】 ⑴ C ；
⑵真命题．
“充分必要条件”引入
2013北约人文科学基础科目考了这样一道选择题：
如果你是明智的牛奶厂家，你会采用下面哪一句广告词：( ）
A ．只要喝“飞鹿”牛奶，就有好身体
B ．一喝“飞鹿”牛奶，就好身体
C ．只有喝“飞鹿”牛奶，才有好身体
分析：我们看Ａ与Ｃ：
对于Ａ选项来说，喝了“飞鹿”牛奶就足以保证有好身体了，在这里，有了“飞鹿”牛奶这个条件，就能保证好身体这个结论，这个条件是足够的，充分的；
对于Ｃ选项来说，想要有好身体必须有“飞鹿”牛奶，但有了“飞鹿”牛奶，能不能保证有好身体不知道．在这里，想有好身体，必须要喝“飞鹿”牛奶，这是必要的，这个说法明显是虚假的．而且，喝了是不是能保证有好身体呢，还不好说，这样的条件是必要的条件．
B 选项也是充分条件，但是“一…就…”时间上的紧迫性太强，容易被质疑，而A 强调的是效果，所以A 更合适．
考点5：充分必要条件
1．当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ⇒，读
作“p 推出q ”．
2．如果p 可推出q ，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
一般地，如果p q ⇒，且q p ⇒，则称p 是q 的充分且必要条件，简称p 是q 的充要条件，记作p q ⇔，显然q 也是p 的充要条件，此时又常说“q 当且仅当p “或“p 与q 等价”．
如果p q ⇒，且q p ¿，则称p 是q 的充分不必要条件，称q 为p 的必要不充分条件．
<教师备案>充分必要条件是一种相互关系，只能说谁是谁的充分或必要条件，不能直接说谁是充分或
必要条件．
必要性是排外的，在集合的问题中，如果A 是B 的必要条件，一般来说A 的范围更广、
更基础，才可能是必要的．如：1x >是2x >的必要条件；再比如是动物与是人谁是必要
呢，一定是是动物更必要，也就是说甲是动物是甲是人的必要条件．因为动物的范围更
大．又因为必要条件是基础，所以必要条件往往不能推出什么，我们不能由甲是动物推出
甲是人，也不能由1x >推出2x >．
知识点睛
1.4 充分必要条件
而充分的条件呢，不一定全面，含义是只要有就行了，弱水三千，只取一瓢饮．比如100x = 是1x >的充分条件，充分条件是更严格的，范围更小的条件．
【例5】 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．
⑴ A ：12
m =，B ：向量()23a m m =+，与向量()22b m m =-+，垂直，则A 是B 的 ________条件．
⑵已知x y ∈R ，，22(1)(2)0x y -+-=是(1)(2)0x y --=的____________条件； ⑶A ：2450x x --<，B ：|2|2x -<，则A 是B 成立的 条件；
⑷A ：()12
log 30x ->，B ：251066x x -+>，则A 是B 成立的______条件． 【解析】 ⑴ 充分不必要；
⑵充分不必要；
⑶必要不充分；
⑷充分不必要；
提高班学案3
【拓1】用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．
⑴ 对于实数x y ，，“8x y +≠”是“2x ≠或6y ≠”的___________条件．
⑵ ||||||x y x y +=+是0xy ≥的__________条件．
【解析】 ⑴ 充分不必要条件；
⑵ 充要条件；
尖子班学案3
【拓2】 ⑴（2010陕西卷理9）对于数列{}n a ，“1n n a a +>(12)n =，，“是“{}n a 为递增数列”的
（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
⑵（2010山东卷文7）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <“是“数列{}n a 是递增数
列”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 ⑴ B
⑵ C
目标班学案 3
经典精讲。