2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：47 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

课时作业47 立体几何中的向量方法
第一次作业 基础巩固练
1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .
(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；
(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
解：(1)证明：由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .
又BF ⊂平面ABFD ，
所以平面PEF ⊥平面ABFD .
(2)作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标
原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz .
由(1)可得，DE⊥PE.
又DP＝2，DE＝1，所以PE＝ 3. 又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.
可得PH＝
3
2，EH＝
3
2.
则H(0,0,0)，P(0,0，
3
2)，D(－1，－
3
2，0)，DP
→
＝(1，
3
2，
3
2)，HP
→
＝(0,0，
3
2)为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则
sinθ＝|HP
→
·DP
→
|
|HP
→
||DP
→
|
＝
3
4
3
＝
3
4.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
3 4.
2．(2019·辽宁五校联考)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD 为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝2，动点F在棱AE上，且EF＝λF A.。