八年级数学上册压轴题 期末复习试卷易错题(Word版 含答案)

八年级数学上册压轴题 期末复习试卷易错题（Word 版 含答案）
一、压轴题
1．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中A(0，a)、B(b ，0)满足：
222110a b a b --++-=．
（1）直接写出A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为C(-3，m)，如图(1)所示．若S ΔABC =16，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图(2)所示，P 为线段AB 上一动点(不与A 、B 重合)，连接OP ，PE 平分∠OPB ，交x 轴于点M ，且满足∠BCE=2∠ECD ． 求证：∠BCD=3(∠CEP-∠OPE)．
2．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且
//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从
点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度； （2）当2t =时，请说明//PQ BC ； （3）设BCQ ∆的面积为(
)2
S cm
，求S 与t 之间的关系式．
3．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．
（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
4．（1）在等边三角形ABC中，
①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；
②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；
（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若
∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．
AB=，5．如图，已知四边形ABCO是矩形，点A，C分别在y轴，x轴上，4
BC=．
3
（1）求直线AC的解析式；
（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．
6．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．
拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．
7．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；
（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；
（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．
8．已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．
（1）如图1，若点C与点O重合，A（－2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；
（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证∠NEF＝2∠AOG．
9．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；
（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=2
9
CP，求
PF
AF
的值．
（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）
10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A 33
2
)和B3，0)，且与y轴交
于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为3．
(1)求直线AB的解析式；
(2)连接OA，试判断△AOD的形状；
(3)动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t 秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
11．如图，已知直线l1：y1＝2x+1与坐标轴交于A、C两点，直线l2：y2＝﹣x﹣2与坐标轴交于B、D两点，两直线的交点为P点．
(1)求P点的坐标；
(2)求△APB的面积；
(3)x轴上存在点T，使得S△ATP＝S△APB，求出此时点T的坐标．
12．如图，直线l1的表达式为：y=-3x+3，且直线l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求点P的坐标．
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一、压轴题
1．（1）A （0，3），B （4，0）；（2）D （1，－26
5
）；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据非负数的性质求解；
（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．首先求出点E 的坐标，再求出直线CD 的解析式以及点C 坐标，利用平移的性质得到点D 坐标；
（3）如图2中，延长AB 交CE 的延长线于M ．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求证； 【详解】
（1）∵222110a b a b --+-=， ∴222110a b a b --=+-=， ∴220
2110
a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，
∴3
4
a b =⎧⎨
=⎩， ∴A （0，3），B （4，0）；
（2）如图1中，设直线CD 交y 轴于E ．
∵CD//AB ， ∴S △ACB =S △ABE ， ∴1
2
AE×BO=16， ∴
1
2
×AE×4=16， ∴AE=8， ∴E （0，-5），
设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将点A （0，3），（4，0）代入解析式中得：
343
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为y=3
34
x -+， ∵AB//CD ，
∴直线CD 的解析式为y=3
4
x c -
+， 又∵点E （0，－5）在直线CD 上，
∴c=5，即直线CD 的解析式为y=3
54
x --， 又∵点C （-3，m ）在直线CD 上，
∴m=
115
， ∴C （-3，
11
5
）， ∵点A （0，3）平移后的对应点为C （-3， 11
5
）， ∴直线AB 向下平移了
26
5
个单位，向左平移了3个单位， 又∵B （4，0）的对应点为点D ，
∴点D的坐标为（1，－26
）；
5
（3）如图2中，延长AB交CE的延长线于点M．
∵AM∥CD，
∴∠DCM=∠M，
∵∠BCE=2∠ECD，
∴∠BCD=3∠DCM=3∠M，
∵∠M=∠PEC-∠MPE，∠MPE=∠OPE，
∴∠BCD=3（∠CEP-∠OPE）．
【点睛】
考查了非负数的性质、平行线的性质、三角形的外角的性质、一次函数的应用等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．
2．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t．
【解析】
【分析】
（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；
≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；
（2）通过证明PCQ BQC
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】
解：（1）CP=3t，BQ=8-t；
（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6
∴CP=BQ
∵CD∥AB
∴∠PCQ=∠BQC
又∵CQ=QC
∴PCQ BQC
≅
∴∠PQC=∠BCQ
∴PQ∥BC
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M
∵AC=BC，CM⊥AB
∴AM=11
84
22
AB=⨯=（cm）
∵AC=BC，∠ACB=90︒∴∠A=∠B=45︒
∵CM⊥AB
∴∠AMC=90︒
∴∠ACM=45︒
∴∠A=∠ACM
∴CM=AM=4（cm）
∴
11
8t4162 22
BCQ
S BQ CM t ==⨯-⨯=-
因此，S与t之间的关系式为S=16-2t．
【点睛】
此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．
3．（1）①△BPD与△CQP全等，理由见解析；②当点Q的运动速度为12
5
cm/s时，能够
使△BPD与△CQP全等；（2）经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．【解析】
【分析】
（1）①由“SAS”可证△BPD≌△CQP；
②由全等三角形的性质可得BP=PC=1
2
BC=5cm，BD=CQ=6cm，可求解；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，列出方程可求解．【详解】
解：（1）①△BPD与△CQP全等，
理由如下：∵AB=AC=18cm，AD=2BD，
∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ， ∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ， ∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ， 在△BPD 和△CQP 中，
BD CP B C BP CQ =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），
②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， ∴BP ≠CQ ，
∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ， ∴BP =PC =1
2
BC =5cm ，BD =CQ =6cm ， ∴t =
52
， ∴点Q 的运动速度=612552
=
cm /s ，
∴当点Q 的运动速度为12
5
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，
由题意可得：
12
5
x ﹣2x =36， 解得：x =90， 点P 沿△ABC 跑一圈需要181810
232
++=（s ） ∴90﹣23×3=21（s ），
∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 4．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α． 【解析】 【分析】
（1）①先证明△ACE ≌△CBD 得到∠ACE=∠CBD ，再由三角形外角和定理可得
∠BFE=∠CBD+∠BCF ；②先证明△ACE ≌△CBD 得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA ；
（2）证明△AEC ≌△CDB 得到∠E=∠D ，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α． 【详解】
（1）如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．
（2）如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．
故答案为60．
（3）如图③中，
∵点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，
∴OC=OA ，
∴∠EAC=∠DCB=α，
∵AC=BC ，AE=CD ，
∴△AEC ≌△CDB ，
∴∠E=∠D ，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【点睛】
本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.
5．（1）y =34-
x +3；（2）y =34x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】
【分析】
（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；
（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．
【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，
故A (0，3)，C (4，0)，
设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，
点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：
340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
所以直线AC 的解析式为：y =34
-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，
设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，
点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：
-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343
m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34
x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．
（3）
点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，
由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，
此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），
此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，
点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：
34
x -3=3， x =8，
故P 点坐标为(8，3)，
||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．
【点睛】
本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．
6．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全
等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；
（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．
【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，
∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°
∵∠BAC ＝90°
∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°
∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°
∴∠CAE ＝∠ABD
∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△CEA （AAS ）
∴AE ＝BD ，AD ＝CE
∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE
即：DE ＝BD ＋CE
（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE
理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，
∴∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）
∴AE=BD ，AD=CE ，
∴DE=AD+AE=BD+CE ；
（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，
由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，
∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，
∴OF=CF-OC=1，
∴点B 的坐标为B （1，4）．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．（1） 122°；（2）12BEC α∠=
；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．
【详解】
解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，
12PBC ABC ∴∠=∠，12
PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠
11180()22
ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2
ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2
A =︒-︒-∠， 1180902
A =-︒+︒∠， 9032122，
故答案为：122︒；
（2）如图2示，
CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，
112ACB ∴∠=∠，122
ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，
ABD A ACB ∴∠=∠+∠，
112()122
A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，
112111222
BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2
QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，
11180()()22
A AC
B A AB
C =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22
A A ABC AC
B =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902
BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQC
A ， 再根据（1），可得180()BPC
PBC PCB 1118022QBC QCB 1180
902Q 118090582
119；
由（2）可得：11582922R Q ;
故答案为：119，29．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
8．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;
（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出
∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;
（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．
【详解】
解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,
∵A（﹣2,2）、B（4,4）,
∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,
∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝1
2
×（2+4）×6﹣
1
2
×2×2﹣
1
2
×4×4＝8;
（2）作CH // x轴,如图2,
∵D （0,﹣4）,M （4,﹣4）,
∴DM // x 轴,
∴CH // OG // DM,
∴∠AOG ＝∠ACH,∠DEC ＝∠HCE,
∴∠DEC+∠AOG ＝∠ACB ＝90°,
∴∠DEC ＝90°﹣55°＝35°,
∴∠CEF ＝180°﹣∠DEC ＝145°;
（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC ＝∠ACB ＝90°,
而∠HEC+∠CEF ＝180°,∠NEC+∠CEF ＝180°,
∴∠NEC ＝∠HEC,
∴∠NEF ＝180°﹣∠NEH ＝180°﹣2∠HEC,
∵∠HEC ＝90°﹣∠AOG,
∴∠NEF ＝180°﹣2（90°﹣∠AOG ）＝2∠AOG ．
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
9．（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）
75
【解析】
【分析】
（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；
（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；
（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)
【详解】
（1）解：如图1中．
∵ABC 为等边三角形，
∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°， 在BCE 和CAD 中，
60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴ BCE CAD ≌（SAS ），
∴∠BCE =∠DAC ，
∵∠BCE +∠ACE =60°，
∴∠DAC +∠ACE =60°，
∴∠AFE =60°．
（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，
∴∠AHF =90°，
在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，
∴∠FAH =30°，
∴AF =2FH ，
∵ EBC DCA ≌，
∴EC =AD ，
∵AD =AF +DF =2FH +DF ，
∴2FH +DF =EC ．
（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、
BK ，
∵∠AFK =60°，AF =KF ，
∴△AFK 为等边三角形，
∴∠KAF =60°，
∴∠KAB =∠FAC ，
在ABK 和ACF 中，
AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF =
∴∠AKB =∠AFC =120°，
∴∠BKE =120°﹣60°=60°，
∵∠BPC =30°，
∴∠PBK =30°， ∴29BK CF PK CP ===
， ∴79
PF CP CF CP =-=， ∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-
= ∴77955
9
CP PF AF CP == . 【点睛】
掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.
10．（1）y
+2；（2）△AOD 为直角三角形，理由见解析；（3）t ＝23
． 【解析】
【分析】
（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b ，即可求解；
（2）由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2，即可求解； （3）点C
，1），∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30°，故点C
1），则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°，OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝2﹣t ．①当OP ＝OM 时，OQ ＝QH +OH
，即
2（2﹣t ）+12（2﹣t ）＝t ，即可求解；②当MO ＝MP 时，∠OQP ＝90°，故OQ ＝
12
O P ，即可求解；③当PO ＝PM 时，故这种情况不存在． 【详解】 解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：
3=220k b b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩
，
解得：
3
=
2
k
b
⎧
⎪
⎨
⎪=
⎩
－
故直线AB的表达式为：y＝﹣
3
3
x+2；
（2）直线AB的表达式为：y＝﹣
3
x+2，则点D（0，2），
由点A、O、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，
故DO2＝OA2+AD2，
故△AOD为直角三角形；
（3）直线AB的表达式为：y＝﹣
3
x+2，故点C（3，1），则OC＝2，
则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（3，1），则OC＝2，
则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，
①当OP＝OM时，如图1，
则∠OMP＝∠MPO＝
1
2
（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，
过点P作PH⊥y轴于点H，
则OH＝
1
2
OP＝
1
2
（2﹣t），
由勾股定理得：PH
3
2﹣t）＝QH，
OQ＝QH+OH
3
2﹣t）+
1
2
（2﹣t）＝t，
解得：t＝
3
3
；
②当MO＝MP时，如图2，
则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，
故OQ＝1
2
OP，即t＝
1
2
（2﹣t），
解得：t＝2
3
；
③当PO＝PM时，
则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，故这种情况不存在；
综上，t＝2
3
23
．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点，还利用了方程和分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算．
11．（1）P(﹣1，﹣1)；（2）3
2
；（3）T(1，0)或(﹣2，0)．
【解析】
【分析】
（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；（2）利用三角形的面积公式解答；
（3）求得C的坐标，因为S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝|x+1
2
|，所以|x+
1
2
|＝
3
2
，解
得即可．【详解】
解：（1）由
21
2
y x
y x
=+
⎧
⎨
=--
⎩
，解得
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
所以P（﹣1，﹣1）；
（2）令x＝0，得y1＝1，y2＝﹣2
∴A（0，1），B（0，﹣2），
则S△APB＝1
2
×（1+2）×1＝
3
2
；
（3）在直线l1：y1＝2x+1中，令y＝0，解得x＝﹣1
2
，
∴C（﹣1
2
，0），
设T（x，0），
∴CT＝|x+1
2 |，
∵S△ATP＝S△APB，S△ATP＝S△ATC+S△PTC＝1
2
•|x+
1
2
|•（1+1）＝|x+
1
2
|，
∴|x+1
2
|＝
3
2
，
解得x＝1或﹣2，
∴T(1，0)或(﹣2，0)．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是准确将条件转化为二元一次方程组，并求出各点的坐标．
12．（1）（1，0）；（2）
3
6
2
y x-
＝；（3）
9
2
；（4）（6，3）．
【解析】
【分析】
（1）由题意已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）根据题意设l2的解析式为y=kx+b，并由题意联立方程组求出k，b的值；
（3）由题意联立方程组，求出交点C的坐标，继而即可求出S△ADC；
（4）由题意根据△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C 到AD的距离进行分析计算．
【详解】
解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；x=3，y＝
3
2
-，代入表达式y=kx+b，
∴
40
3
3
2
k b
k b
+
⎧
⎪
⎨
+-
⎪⎩
＝
＝
，
∴326
k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，
∴直线l 2的解析表达式为3
62
y x -＝； （3）由33362
y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），
∵AD=3， ∴331922
ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，
则P 到AD 距离=3，
∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，
∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3，解得x=6，
所以P （6，3）．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.。