19-20版 第1章 1.1 1.1.3 导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义
导数的几何意义
1．割线的斜率
已知y ＝f (x )图象上两点A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))，过A ，B 两点割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
2．导数的几何意义
曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)的几何意义为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同． ( )
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．
( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．
( )
[解析] (1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f (x )＝x 12
，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f ′(x )＝
12x
，其定义域为(0，＋∞)．
(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个． (3)错．函数f (x )＝0为常数函数，其导数f ′(x )＝0，并不是没有导数． [答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则f ′(2)等于( )
A．1B．－1
C．－3 D．3
[解析]由题意知f′(2)＝3.
[答案] D
3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为__________．
[解析]设切线的倾斜角为α，则
tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.
[答案]45°
(1)求曲线C 在横坐标为x ＝1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？
[思路探究] (1)先求切点坐标，再求y ′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．
(2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解．
[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1,1)． y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
(1＋Δx )3－1
Δx
＝lim Δx →0
[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.
∴k ＝3.
∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. (2)由⎩⎨⎧
y ＝3x －2，
y ＝x 3，
解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩
⎨⎧
x ＝－2，y ＝－8，
从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，
即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π
2，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.
2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是__________．
[解析]切线的斜率为k＝－1．
∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
[答案]x＋y－3＝0
(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? [思路探究]设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程→求出点的坐标
[解]设切点的坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴Δy
Δx＝4x0＋2Δx.
∴f′(x0)＝lim
Δx→0
(4x0＋2Δx)＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝1
4，该点为⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
4，
9
8.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．
2．根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．
1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？
提示：区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．
联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值． 【例3】 已知曲线f (x )＝1
x . (1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－1
3的曲线的切线方程．
[思路探究] (1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．
(2)设出切点坐标，由该点斜率为－1
3，求出切点，进而求出切线方程． [解] (1)f ′(x )＝lim Δx →0
1x ＋Δx
－1
x Δx ＝lim Δx →0
－1(x ＋Δx )x
＝－1
x 2.
设过点A (1,0)的切线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， ①
则f ′(x 0)＝－1x 20
，即该切线的斜率为k ＝－1
x 20
.
因为点A (1,0)，P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0，1x 0在切线上，
所以1
x 0－0x 0－1＝－1x 20
，
②
解得x 0＝1
2.故切线的斜率k ＝－4.
故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.
(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ， 由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－1
3，得a ＝±3. 所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3，－33.
故满足斜率为－1
3的曲线的切线方程为
y－
3
3＝－
1
3(x－3)或y＋
3
3＝－
1
3(x＋3)，
即x＋3y－23＝0或x＋3y＋23＝0.
1．求曲线过已知点的切线方程的步骤
2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．
2．求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程． [解] 设切点为Q (a ，a 2＋1)，
f (a ＋Δx )－f (a )
Δx
＝
(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)
Δx ＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所
求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0
a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y
＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22).
1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在
[解析] 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．
[答案] A
2．曲线y ＝1
2x 2－2在点x ＝1处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°
D ．165°
[解析] ∵y ＝1
2x 2－2，
∴y ′＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2
－2－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x 2－2Δx
＝lim Δx →0 12
(Δx )2
＋x ·Δx Δx
＝lim Δx →0 ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋12Δx ＝x .
∴切线的斜率为1，倾斜角为45°. [答案] B
3．曲线f (x )＝2
x 在点(－2，－1)处的切线方程为________．
[解析] f ′(－2)＝lim Δx →0
f (－2＋Δx )－f (－2)
Δx
＝lim Δx →0 2
－2＋Δx ＋1
Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－
1
2， ∴切线方程为y ＋1＝－1
2(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0. [答案] x ＋2y ＋4＝0
4．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：
f ′(a )________f ′(b )(填“＜”或“＞”)．
[解析] f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，由图象可得f ′(a )＞f ′(b )．
[答案] ＞
5．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则
f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .
由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－2
3或x 0＝2，
∴切点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，4927或(2,3)．
当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， ∴a ＝121
27.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，
因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23，4927或(2,3)，
a 的值为121
27或－5.
课时分层作业(二)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝() A．4B．－4
C．－2D．2
[解析]由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
[答案] D
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则() A．f′(x0)>0B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在
[解析]切线的斜率为k＝－2，
由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.
[答案] C
3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是() A．(1,1) B．(－1,1)
C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)
[解析]因为y＝x3，所以y′＝lim
Δx→0(x＋Δx)3－x3
Δx＝lim
Δx→0
[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝
3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1．
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1．
故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.
[答案] C
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为() A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
[解析]设切点为(x0，y0)，
∵f′(x)＝lim
Δx→0(x＋Δx)2－x2
Δx＝lim
Δx→0
(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.
[答案] A
5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2处的切线的斜率为( )
A ．2
B ．－4
C ．3
D.1
4
[解析] 因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1
x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1
x 2， 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，2处的切线斜率为
k ＝－4，故选B. [答案] B 二、填空题
6．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．
[解析]由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．
[答案]②
7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是
__________.
[解析]因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝lim
Δx→0 (－1＋Δx)2－2(－1＋Δx)＋3－(1＋2＋3)
Δx
＝lim
Δx→0
(Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
[答案]4x＋y－2＝0
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
[解析]设P(x0，y0)，则
y′＝lim
Δx→0(x0＋Δx)2＋2(x0＋Δx)－x20－2x0
Δx
＝lim
Δx→0
(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．
[答案] (0,0) 三、解答题
9．已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．
[解] 由方程组⎩⎨⎧
y ＝x 2＋3，
y ＝2x ＋2，
得x 2－2x ＋1＝0，
解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又(Δx ＋1)2＋3－(12＋3)
Δx ＝Δx ＋2.
当Δx 趋于0时，Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2， 所以切线方程为y －4＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋2.
10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x .
设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20， 又∵A 是切点，
∴过点A 的切线的斜率k ＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点， ∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5
x 0－3.
∴2x 0＝x 20－5
x 0－3，
解得x 0＝1或x 0＝5.
从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.
[能力提升练]
1．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
[解析]
依导数定义可求得，y ′＝3x 2
＋a ，则⎩⎨⎧
13＋a ＋b ＝3.
3×12
＋a ＝k ，
k ＋1＝3，
由此解得
⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝3，k ＝2，
所以2a ＋b ＝1，选C.
[答案] C
2．设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0
f (1)－f (1－x )
2x
＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点
(1，f (1))处的切线斜率为( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
[解析] ∵lim Δx →0 f (1)－f (1－x )
2x
＝1
2lim Δx →0 f (1－x )－f (1)－x ＝－1，
∴lim Δx →0
f (1－x )－f (1)
－x
＝－2，即f ′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D.
[答案] D
3．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________． [解析] 设切点为P (x 0，y 0)． 则f ′(x 0)＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝lim Δx →0 a (x 0＋Δx )2－ax 20
Δx
＝lim Δx →0
(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，
即2ax 0＝1．
又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，
联立以上三式，得⎩⎨⎧
2ax 0＝1，y 0＝ax 20，
x 0－y 0－1＝0，
解得a ＝1
4. [答案] 1
4
4．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．
[解] 因为f ′(x )＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)
Δx ＝2ax ，
所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx ＝3x 2
＋b ，
所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线， 所以2a ＝3＋b .①
又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ， 所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ， 代入①式，得⎩⎨⎧
a ＝3，
b ＝3.。