高三数学试题与解析-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷(一)数学解析版

数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}
{}2
230,1,2,3,4A x
x x B =-->=∣，则A B ⋂=（）
A.{}1,2
B.{}1,2,3
C.{}3,4
D.{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）
A.1y x
=- B.2ln y x =C.32
y x
= D.e x
y x =3.已知等差数列{}n a 满足376432,6a a a a +=-=，则1a =（）
A.2
B.4
C.6
D.8
4.已知点A 是抛物线()2
:20C y px p =>上一点，若A 到抛物线焦点的距离为5，且A 到x 轴的距离为4，则p =（）A.1或2
B.2或4
C.2或8
D.4或8
5.已知函数()23f x -的定义域为[]2,3.记()f x 的定义域为集合()
,21x
A f -的定义域为集合
B .则
“x A ∈”是“x B ∈”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知函数()f x 的定义域为R .设函数()()e
x
g x f x -=+，函数()()5e x
h x f x =-.若()g x 是偶函数，
()h x 是奇函数，则()f x 的最小值为（
）
A.e
B. C. D.2e
7.从5
1x ⎫⎪⎭的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）
A.
25
B.
35
C.
13
D.
23
8.已知圆2
2
1:220C x y x y +--=，设其与x 轴､y 轴正半轴分别交于M ，N 两点.已知另一圆2C 的半径
为，且与圆1C 相外切，则22C M C N ⋅的最大值为（）
A.20
B.
C.10
D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.离散型随机变量X 的分布列如下表所示，,m n 是非零实数，则下列说法正确的是（
）X 2024
2025
P
m n
A.1
m n += B.X 服从两点分布
C.()20242025
E X << D.()D X mn
=10.已知函数()()
2
14
log 21f x ax ax =-+，下列说法正确的是（
）
A.()f x 的定义域为R ，当且仅当01a <<
B.()f x 的值域为R ，当且仅当1a
C.()f x 的最大值为2，当且仅当15
16
a =D.()f x 有极值，当且仅当1
a <11.设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，满足
()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（
）
A.()00
f = B.()
g x 的图象关于直线2x =对称
C.()f x 的一个周期是4
D.
20251
()0
k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.过点()0,0作曲线(0x y a a =>且1)a ≠的切线，则切点的纵坐标为__________.
13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波
小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）
14.已知函数()223,0,
ln ,0,
x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩ 若存在实数123,,x x x 且123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，
则()()()112233x f x x f x x f x ++的最大值为__________.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到n 个图形.记第n 个图形中实心三角形的个数为n a ，第n 个图形中实心区域的面积为n b
.
（1）写出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ ，证明43
n n n a c a < .16.（本小题满分15分）
如图，在三棱台111A B C ABC -中，111A B C 和ABC 都为等腰直角三角形，
111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== 为线段AC 的中点，H 为线段BC 上的点
.
（1）若点H 为线段BC 的中点，求证：1A B ∥平面1C GH ；
（2）若平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2:5，求二面角11C GH B --的正弦值.
17.（本小题满分15分）
已知双曲线()2222:10,0x y M a b a b -=>>与双曲线22
22
:12x y N m m
-=的离心率相同，且M 经过点
()2,2,N
的焦距为.
（1）分别求M 和N 的方程；
（2）已知直线l 与M 的左､右两支相交于点,A B ，与N 的左､右两支相交于点C ，D ，2
AB CD
=
，判断直线l 与圆222:O x y a +=的位置关系.18.（本小题满分17分）
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表及0.01α=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只抗体指标值合计
小于60
不小于60
有抗体没有抗体合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率P ；
（ii ）以（i ）中确定的概率P 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X .求()E X 及()P X k =取最大值时的k 值.
参考公式：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）
参考数据：
α
0.1000.0500.0100.005
x α
2.706
3.841 6.6357.879
19.（本小题满分17分）
三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：
①3sin33sin 4sin θθθ=-；②3cos34cos 3cos θθθ=-.根据以上研究结论，回答：
（1）在①和②中任选一个进行证明；
（2）已知函数()3
2
3f x x ax a =-+有三个零点123,,x x x 且123x x x <<.
（i ）求a 的取值范围；
（ii ）若1231x x x =-，证明：22
2113x x x x -=-.
贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）
数学参考答案
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号12345678答案
D
C
B
C
B
C
A
A
【解析】
1.由题，{1A x
x =<-∣或{}3},1,2,3,4x B >=，则{}4A B ⋂=，故选D.2.对于A 选项，1
y x
=-
的定义域为
()(),00,∞∞-⋃+，该函数在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，该函数在(),0∞-上单调递减，在
()0,∞+上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，3
2y x ==
的定义域为[)0,∞+，该函数在定义
域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为().1e x
y x =+'R ，当(),1x ∞∈--时，0y '<；当
()1,x ∞∈-+时，0y '>，x e y x ∴=在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增，因此该函数在定
义域内不单调，故选C.
3.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= ，故选B.
4.设点()00,A x y ，则200002,5,24,
y px p x y ⎧=⎪
⎪+=⎨⎪
=⎪⎩整理得582p p ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C.
5.()23f x - 的定义域为[]2,3.当23x 时，()1233,x f x -∴ 的定义域为[]1,3，即[]1,3A =.令1213x - ，解得(
)
12,21x
x f ∴- 的定义域为[]1,2，即[]1,2B =.
,B A ⊆∴ “x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B.
6.由题，()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x
x
x x
g x g
x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩
⎩解得()
3e 2e x x
f x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+ 3e 2e x x -=，即12
ln 23
x =时，等号成立，min ()f x ∴= C.
7.
设51x ⎫⎪⎭
的二项展开式的通项公式为53521551C C ,0,1,2k
k
k k k
k T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，
3,4,5，所以二项展开式共6项.当0,2,4k =时的项为无理项；当1,3,5k =时的项为有理项.两项乘积为有
理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为22
332
6C C 2
C 5
+=，故选A.8.由题，2
2
1:(1)(1)2C x y -+-=，即圆心为()11,1C
，且()()2,0,0,2M N ，MN 为1C 的
直径.1C 与2C
相外切，12C C ∴=
+=.由中线关系，有
(
)
()22
22
2
2
2222121222218240,202
C M C N
C M C N C C C M
C M C N ++=+=⨯+=∴⋅= ，当且
仅当22C M C N =时，等号成立，所以22C M C N ⋅的最大值为20，故选A.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
题号91011答案
ACD
BC
BCD
【解析】
9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，
()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< ，正确；
对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()()1D Y n n mn =-=，
()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==，正确，故选ACD.
10.令()2
2
21,Δ44g x ax ax a a =-+=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或
0,
01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩
，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为()0,0,1Δ0
a a ∞>⎧+⇔⇔⎨
⎩ ，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为()2g x ⇔在定义域内的最小值为()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值()0,110
a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.
11.对于A 选项，因为()1g x +为奇函数，所以()10g =，又由()()11g x f x --=，可得
()()()101,01g f f -==-，故A 错误；对于B 选项，由()()3f x g x '=+'可得()()3,f x g x C C
=++为常数，又由()()11g x f x --=，可得()()11g x f x --=，则()()131g x g x C --+-=，令1x =-，得()()221g g C --=，所以1C =-，所以()()()13,g x g x g x -=+的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为()1g x +为奇函数，所以()()()311g x g x g x +=-=-+，所以
()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，
()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期
函数，故C 正确；对于D 选项，因为()1g x +为奇函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-，又
()()310g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以2025
1
()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号12
1314
答案
e
144
33e 6
-【解析】
12.设切点坐标为(),,ln ,t
x
t a y a a ='∴ 切线方程为ln x y a a x =⋅.将(
),t
t a
代入得ln t
t
a a t a ⋅=，可得
1log e,ln a t a
=
=∴切点纵坐标为e
log e t a a a ==.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有2
2A 种方法，再安排梵净山的位置共有1
3C 种方法，再排其余元素共有4
4A 种排法，故共有2
1
4
234A C A 144⋅⋅=种不同的方案.
14.设()()()123f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t < ，又1232,ln x x x t +=-= ，
()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+.令
()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴ 在(]2,3上单调递增，则()3
max ()33e 6t ϕϕ==-，
()()()112233x f x x f x x f x ∴++的最大值为33e 6-.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
（1）解：数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，因此1
113
3n n n a --=⨯=；
数列{}n b 是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1
1
33144n n n b --⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.
（2）证明：由（1）可得
1
2
10
01
2
11211213333333
34444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
1210
1
11113
4444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
12
1114134311414
n n n n --⎡⎤
⎛⎫⋅-⎢⎥
⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-因为2
114314411334n n n n
n n
c a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，所以413n n c a <
，所以43
n n n a c a < .16.（本小题满分15分）
（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O ⋂=，连接1,HO A G
，
三棱台111A B C ABC -，则11AC ∥AC ，又1
22
CG AC =
=，∴四边形11A C CG 为平行四边形，
则1CO OA =.
点H 是BC 的中点，1BA ∴∥OH .
又OH ⊂平面11,C HG A B ⊄平面1C HG ，
1A B ∴∥平面1C HG .
（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2:5，
所以1112
7
C GHC AB V V B C ABC -=
-，
即()
1111121
3
73
GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=
⋅⋅⋅ ，化简得1
2
GHC ABC S S =
，此时点H 与点B 重合.
1190C CA BCC ∠∠== ，
11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，
又ABC 为等腰直角三角形，则BG AC ⊥.又由（1）知1A G
∥1CC ，则1A G ⊥平面ABC ，
建立如图2所示的坐标系,
G xyz -则()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -，
()()
110,2,2,1,1,2C B --设平面1C HG 的法向量()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-=
，
则220,20,
y z x -+=⎧⎨
=⎩令1y =，解得()0,1,1n =
，
设平面1B GH 的法向量()()1,,,1,1,2m a b c GB ==-
，
则20,20,
a b c a -+=⎧⎨=⎩令2b =，解得()0,2,1m = .设二面角11C GH B --的平面角为θ
，
cos cos ,10m n m n m n
θ⋅=<>== ，
所以10sin 10
θ==，所以二面角11C GH B --的正弦值为
1010.17.（本小题满分15分）
解：（1）由题意可知双曲线N
的焦距为==，
解得21m =，即双曲线2
2
:12y N x -=.因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同，
不妨设双曲线M 的方程为2
2
2y x λ-=，因为双曲线M 经过点()2,2，所以42λ-=，解得2λ=，
则双曲线M 的方程为22
124
x y -=.（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为
()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+，联立22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()
2222220,k x ktx t λ----=此时()()
222222Δ44220,20,2k t k t t k
λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩可得22k <，
当2λ=时，由韦达定理得212122224,22kt t x x x x k k
--+==--；当1λ=时，由韦达定理得234342222,22kt t x x x x k k --+==--，
则
62
AB CD =，化简可得222t k +=，
由（1）可知圆22
:2O x y +
=，
则圆心O 到直线l
的距离d ====所以直线l 与圆O 相切或相交.
18.（本小题满分17分）
解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：
在[)0,20内有0.00252020010⨯⨯=（只）；
在[20,40）内有0.006252020025⨯⨯=（只）；
在[40,60）内有0.008752020035⨯⨯=（只）；
在[60,80）内有0.025********⨯⨯=（只）；
在[]80,100内有0.00752020030⨯⨯=（只）
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只抗体
指标值
合计小于60
不小于60有抗体
50110160没有抗体
202040合计70130200零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得2
2
0.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯.根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，
事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件,,A B C 发生的概率分别为()()(),,P A P B P C ，则()()160200.8,0.520040P A P B ====，()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.
（ii ）由题意，知随机变量()100,0.9X B ~，
所以()1000.990E X np ==⨯=.
又()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= ，设0k k =时，()P X k =最大，
所以00000000000010011910010010011101100
100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩解得089.990.9k ，因为0k 是整数，所以090k =.
19.（本小题满分17分）
（1）若选①，证明如下：
()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()
2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ
=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()
3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-.
（2）（i ）解：()233f x x a =-'，当0a 时，()0f x ' 恒成立，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递增，至多有一个零点；当0a >时，令()0f x '=
，得x =；令()0f x '<
，得x <<
令()0f x '>
，得x <
或x >所以()f x
在(
上单调递减，在(
)
,,∞∞-+上单调递增.()f x
有三个零点，则(
0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩
即2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩解得04a <<，当04a <<
时，4a +>，
且()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>，
所以()f x 在)4a +上有唯一一个零点，
同理()2220,g a -<-=-=-<
所以()f x 在(-上有唯一一个零点.
又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为()0,4.
（ii ）证明：设()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---，则()2
12301f a x x x ==-=.又04a <<，所以1a =.
此时()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>，方程3310x x -+=的三个根均在()2,2-内，
方程3310x x -+=变形为3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭
，令ππsin 22
2x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin33sin 4sin 2θθθ=-=.因为3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-.因为123x x x <<，所以1237ππ5π2sin
,2sin ,2sin 181818x x x =-==，所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-.。