高考数学复习第六章 6.4 素养提升

第六章 平面向量及其应用 6．4 平面向量的应用
素养提升——平面向量基本定理、平面向量的综合应用
|素养培优提能|
1.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM →
＋μBN
→ ，则λ＋μ＝( ) A.2 B ．83 C ．6
5
D ．85
解析：选D 以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ，
BN
→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 ，AC → ＝(1，1)，∵AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
λ－12μ，λ2＋μ ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1
2μ＝1，12λ＋μ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝6
5，μ＝2
5，
∴λ＋μ＝8
5 ，故选D.
2.如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP
→ ·OP → ＝( )
A ．1
B ．116
C ．1
4
D ．－12
解析：选B 因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC → ＝12 OA → ＋12 OB → ，所以OP → ＝12 OC → ＝14 (OA → ＋OB → )，则AP
→ ＝
OP → －OA → ＝14 OB → －34 ·OA → ，所以AP → ·OP → ＝14 (OB → －3OA → )·14
(OA → ＋OB → )
＝116 ·(OB → 2－3OA →
2)＝116 .
3．已知O 是△ABC 内部一点，OA → ＋OB → ＋OC → ＝0，AB → ·AC → ＝2且∠BAC
＝60°，则△BOC 的面积为( )
A ．3
3 B ．12 C ．3
2
D ．23
解析：选A ∵OA → ＋OB → ＋OC → ＝0，
∴O 为三角形的重心，
∴△OBC 的面积为△ABC 面积的1
3 ， ∵AB
→ ·AC → ＝2， ∴|AB
→ ||AC → |cos ∠BAC ＝2， ∵∠BAC ＝60°，∴|AB
→ ||AC → |＝4，
又△ABC 的面积为12 |AB → ||AC →
|sin ∠BAC ＝3 ， ∴△OBC 的面积为3
3 ，故选A.
4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A ．2
2 B ．12 C ．0
D ．－1
解析：选C ∵a ⊥b ，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0， 即2cos 2θ－1＝0.∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝0，故选C.
5．已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( )
A ．0
B ．12
C ．3
2
D ．1
解析：选C ∵a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1
2 |a |， ∴|t a －b |＝
t 2a 2－2t a ·b ＋b 2 ＝
t 2a 2－t |a |＋1 ，
设x ＝t |a |，x >0， ∴|t a －b |＝
x 2
－x ＋1 ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4 ≥34 ＝3
2 .
故|t a －b |的最小值为3
2 ，故选C.
6．在Rt △ABC 中，C ＝π
2 ，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．
解析：由正弦定理可得x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－A ＝sin A
＋cos A ＝2 sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
A ＋π4 .
∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2 ，∴π4 <A ＋π4 <34 π，
∴22 <sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
A ＋π4 ≤1，∴x ∈(1，2 ].
答案：(1，2 ]
7．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3 ，则AB ＋2BC 的最大值为________． 解析：在△ABC 中，根据AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝3
32
sin C ＝2sin C ，同理BC ＝2sin A ，所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin (120°－C )＝4sin
C ＋2
3
cos
C ＝2
7
sin
(C ＋
φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫其中tan φ＝3
2，且φ是第一象限角 .又因为0°<C <120°，所以AB ＋2BC 的最
大值为27 .
答案：27
8．如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A → ＋PB → )·PC
→ 的最小值为________．
解析：∵圆心O 是直径AB 的中点，
∴P A → ＋PB → ＝2PO → ，∴(P A → ＋PB → )·PC → ＝2PO → ·PC → ，
∵|PO
→ |＋|PC → |＝3≥2|PO →|·|PC
→| ， ∴|PO
→ |·|PC → |≤94
， 即(P A → ＋PB → )·PC
→ ＝2PO → ·PC → ＝－2|PO → |·|PC → |≥－92 ， 当且仅当|PO
→ |＝|PC → |＝32 时，等号成立，故最小值为－92 .
答案：－9
2
9．已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(3 ，cos A ＋1)，n ＝(sin A ，－1)，m ⊥n .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，cos B ＝3
3 ，求b 的值． 解：(1)∵m ⊥n ，
∴m ·n ＝3 sin A ＋(cos A ＋1)×(－1)＝0， ∴3 sin A －cos A ＝1，∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π6 ＝12 .
∵0<A <π，∴－π6 <A －π6 <5π
6 ，
∴A －π6 ＝π6 ，∴A ＝π3 .
(2)在△ABC 中，A ＝π3 ，a ＝2，cos B ＝3
3 ， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝
1－13 ＝63 .
由正弦定理知a sin A ＝b
sin B ， ∴b ＝a sin B sin A ＝2×63
32 ＝423 ，
∴b ＝423 .
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且a sin B －b cos C ＝c cos B . (1)判断△ABC 的形状；
(2)若f (x )＝12 cos 2x －23 cos x ＋1
2 ，求f (A )的取值范围． 解：(1)因为a sin B －b cos C ＝c cos B ，
由正弦定理可得sin A sin B －sin B cos C ＝sin C cos B . 即sin A sin B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以sin (C ＋B )＝sin A sin B . 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以sin A ＝sin A sin B ，
又sin A ≠0，所以sin B ＝1，B ＝π
2 ， 所以△ABC 为直角三角形． (2)因为f (x )＝12 cos 2x －2
3 cos x ＋1
2 ＝cos 2
x －23 cos x ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos x －13 2 －19 ，
所以f (A )＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos A －13 2 －19 ，
因为△ABC 是直角三角形，
所以0<A <π
2 ，且0<cos A <1， 所以当cos A ＝1
3 时，f (A )有最小值－1
9 . 所以f (A )的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－19，13 .。