北师大数必修5习题精选：第一章 数列 1.3.1.1 Word含解析

§3等比数列
3.1等比数列
第1课时等比数列的定义和通项公式
课后篇巩固探究
1.若{a n}是等比数列,则下列数列不是等比数列的是()
A.{a n+1}
B.
C.{4a n}
D.{}
★答案★:A
2.在等比数列{a n}中,2a4=a6-a5,则公比是()
A.0
B.1或2
C.-1或2
D.-1或-2
解析:设公比为q(q≠0),由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,
∴2=q2-q,∴q2-q-2=0,
∴q=-1或q=2.
★答案★:C
3.若一个等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为()
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:在等比数列中,
∵,
∴n-3=1,即n=4,故选B.
★答案★:B
4.若数列{a n}满足a n+1=4a n+6(n∈N+)且a1>0,则下列数列是等比数列的是()
A.{a n+6}
B.{a n+1}
C.{a n+3}
D.{a n+2}
解析:由a n+1=4a n+6可得a n+1+2=4a n+8=4(a n+2),因为a1>0,
所以a n>0,从而a n+2>0(n∈N+),因此=4,故{a n+2}是等比数列.
★答案★:D
5.在等比数列{a n}中,若a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,则a7·a8·a9的值等于()
A.48
B.72
C.144
D.192
解析:设公比为q,由a6·a7·a8=a5·a6·a7·q3,
得q3==8.
所以a7·a8·a9=a6·a7·a8·q3=24×8=192.
★答案★:D
6.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{b n}的连续三项,则数列{b n}的公比为()
A. B.4 C.2 D.
解析:∵a1,a3,a7为等比数列{b n}中的连续三项,
∴=a 1·a7.
设{a n}的公差为d,则d≠0,
∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d.
∴公比q==2,故选C.
★答案★:C
7.(2017全国3高考)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.
解析:设{a n}的公比为q,则由题意,得解得故a4=a1q3=-8.
★答案★:-8
8.设数列{a n}是等比数列,公比q=2,则的值是.
解析:∵q=2,∴2a1=a2,2a3=a4,
∴.
★答案★:
9.已知数列{a n}满足a9=1,a n+1=2a n(n∈N+),则a5=.
解析:由a n+1=2a n(n∈N+)知,数列{a n}是公比q==2的等比数列.
所以a5=a1q4=.
★答案★:
10.若数列{a n}为等差数列,且a2=3,a5=9,则数列一定是数列(填“等差”或“等比”).
解析:设{a n}的公差为d,则
解得于是a n=2n-1,
从而=2·,
设b n=2·,则,
故一定是等比数列.
★答案★:等比
11.导学号33194017在等比数列{a n}中,a1·a9=256,a4+a6=40,则公比q=.
解析:∵a1a9=q8,a4a6=a1q3·a1q5=q8,
∴a1a9=a4a6.
可得方程组
解得
∴q2=或q2==4.
∴q=±或q=±2.
★答案★:-2,2,-
12.在等比数列{a n}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,试求数列{b n}的通项公式.
解(1)设{a n}的公比为q(q≠0),由已知得16=2·q3,解得q=2,∴a n=a1·q n-1=2×2n-1=2n.
(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32,
设{b n}的公差为d,
则有
解得
∴b n=-16+12(n-1)=12n-28.
13.导学号33194018已知关于x的二次方程a n x2-a n+1x+1=0(n∈N+)的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1.
(1)试用a n表示a n+1;
(2)求证:数列为等比数列;
(3)求数列{a n}的通项公式.
(1)解因为α,β是方程a n x2-a n+1x+1=0(n∈N+)的两根,
所以
又因为6α-2αβ+6β=3,所以6a n+1-3a n-2=0.
所以a n+1=a n+.
(2)证明因为a n+1=a n+⇒a n+1-a n-为常数,且a1-,
所以为等比数列.
(3)解令b n=a n-,则{b n}为等比数列,公比为,首项b1=a1-,
所以b n=.
所以a n=b n+.
所以数列{a n}的通项公式为a n=.
14.导学号33194019容积为a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出1 L,然后加满水,再倒出1 L混合溶液后又用水加满,如此继续下去,问第n次操作后溶液的浓度是多少?当a=2时,至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?
解开始的浓度为1,操作一次后溶液的浓度是a1=1-.
设操作n次后溶液的浓度是a n,则操作n+1次后溶液的浓度是a n+1=a n.
所以{a n}构成以a1=1-为首项,q=1-为公比的等比数列.
所以a n=,即第n次操作后溶液的浓度是.
当a=2时,由a n=,得n≥4.
因此,至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.。