高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修

2.3.4平面向量共线的坐标表示
【教学目标】
1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
【教学重难点】
教学重点： 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．
教学难点： 定比分点的理解和应用．
【教学过程】
一、〖创设情境〗
前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。

这就为解
决问题提供了方便。

我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那
么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。

二、〖新知探究〗
思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a =λb ，那么这个条件是否也能用
坐标来表示呢？
设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a
由a =λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒21
21y y x x λλ 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0 结论：a ∥b (b ≠)⇔x 1y 2-x 2y 1=0
注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ≠0，
∴x 2, y 2中至少有一个不为0.
2︒充要条件不能写成2
211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠)01221=-=⇔
y x y x λ 三、〖典型例题〗
例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．
解：∵//a b ，∴4260y -⨯=．∴3y =．
点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.
变式训练1：已知平面向量)2,1(= ，),2(m -= ，且//，则32+等于_________.
例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．
证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----=，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=，
又26340⨯-⨯=，∴//AB AC .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ，
∴A ，B ，C 三点共线。

点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.
变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为_________. 例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；
(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.
解：（1）)(2121OP OP +=＝⎪⎭
⎫
⎝⎛++2,22121y y x x 所以，点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛++2,22121y y x x （2）当2121PP P P =时，可求得：点的坐标为：⎪⎭
⎫
⎝⎛++32,322121y y x x 当212PP P =时，可求得：点的坐标为：⎪⎭
⎫
⎝⎛++32,3221
21y y x x
点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.
变式训练3：当21PP P P λ=时,点P 的坐标是什么？
四、〖课堂小结〗
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。

五、〖反馈测评〗
1.已知AB =a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b ），则（ ）
A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线
C. B 、C 、D 三点共线
D. A 、C 、D 三点共线
2.若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为________.
3．设3(,sin )2a α=，1
(cos ,)3b α=，(0,2)απ∈，且//a b ，求角α．
【板书设计】
【作业布置】课本 P108 4、5、6、7
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。