高考数学压轴专题重庆备战高考《平面向量》专项训练答案

新数学复习题《平面向量》专题解析
一、选择题
1．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>
，过右焦点F 且斜率为()0k k >的
直线与T 相交于A ，B 两点，若3AF FB =uu u r uu r
，则k =（ ）
A ．2 B
C
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
e =
可得a =
，b =，可设椭圆的方程为222
334x y c +=，()()1122,,,A x y B x y ，并不妨设B 在x 轴上方，由3AF FB =uu u r uu r
得到12123430x x c y y +=⎧⎨+=⎩，再由
22211334x y c +=，22
222334x y c +=得到A 、B 两点的坐标，利用两点的斜率公式计算即可. 【详解】
因为c e a ===，所以2a b =，
所以a =
，b =，则椭圆方程22221x y a b
+=变为222
334x y c +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设B 在x 轴上方，则210,0y y ><， 又3AF FB =uu u r uu r
，所以()()1122,3,c x y x c y --=-，
所以()121
233c x x c y y ⎧-=-⎨-=⎩，12123430x x c
y y +=⎧⎨+=⎩
因为A ，B 在椭圆上，所以
2
2211334
x y c +=，① 22222334
x y c +=②. 由①—9×②，得2
121212123(3)(3)3(3)(3)84
x x x x y y y y c +-++-=-，
所以
21234(3)84c x x c ⨯-=-，所以12833
x x c -=-， 所以123x c =
，2109x c =
，从而1y =
，2y =
所以
22 (,) 33
A c c
-
，
102
(,)
99
B c c，故
22
92
102
3
93
c c
k
c c
+
==
-
，
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，当然本题也可以利用根与系数的关系来解决，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
2．已知菱形ABCD的边长为2，60
ABC
∠=︒，则BD CD
⋅=
u u u v u u u v
（）
A．4 B．6 C．23D．43
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形ABCD的边长为2，60
ABC
∠=︒，
∴120
C
∠=︒，∴222
22222cos12012
BD=+-⨯⨯⨯︒=，
∴23
BD=30
BDC
∠=︒，
∴|||
3
302
|326
BD CD BD CD cos
=⨯⨯︒==
⋅
u u u r u u u r u u u r u u u r
，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
3．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，()
0,2
A，2220
OB OA
+=，若平面内点P满足3
PB PA
=
u u u r u u u r
，则PO的最大值为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，再根据22
20OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】
设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r
. 由3PB PA =u u u r u u u r
可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，
因为2
2
20OB OA +=，故()2
2443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，
故PO 的最大值为325+=， 故选：C. 【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
4．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v
，则（ ）
A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v
B ．5263BD OA O
C =-u u u v u u u v u u u v
C ．5163B
D OA OC =-u u u v u u u v u u u v D ．1163
BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v
【答案】A 【解析】 【分析】
利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案； 【详解】
Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()
22123333
OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
12OD OA =u u u v u u u v ，
∴1263
BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，
故选：A. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
5．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）
A ．1162DF A
B A
C =--u u u r u u u r u u u r B ．1134
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r
C ．3142DF AB AC =-+u u u r u u u r u u u r
D ．1126
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r
【答案】A 【解析】 【分析】
设AB AF λ=u u u r u u u r
，由平行四边形法则得出144
AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理
得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r
，即可得出答案. 【详解】
设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444
AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u u
r u u u r r u u u r u u u r
因为C E F 、、三点共线，则1
=144
λ+，=3λ
所以1111132262
DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
故选：A
【点睛】
本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.
6．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v
，则λ=
（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．3
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA
BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】
因为2133BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，
所以1122,+3333
AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u
u r u u u r ，
因为AD DC λ=u u u v u u u v ，
所以λ= 12
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
7．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r
，则x =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=r
r
，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，向量(1,1)a =r
，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r
r ，
所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r
，解得1x =，故选A.
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
8．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则
DE DF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A．13 4
-B．
5
4
C．5 D．
15
4
【答案】B
【解析】
【分析】
据题意以菱形对角线交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,
DE DF
u u u r u u u r
，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.
【详解】
设AC与BD交于点O，以O为原点，BD
u u u r
的方向为x轴，CA
u u u r
的方向为y轴，建立直角坐标系，
则
1
,1
2
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
1
,1
2
F
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，(1,0)
D，
3
,1
2
DE
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
u u u r
，
3
,1
2
DF
⎛⎫
=--
⎪
⎝⎭
u u u r
，
所以
95
1
44
DE DF
⋅=-=
u u u r u u u r
.
故选：B.
【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=a n+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC
u u u r u u u r u u u r
，，满足
10051006
OC a OA a OB
=+
u u u r u u u r u u u r
，A，B，C三点共线且该直线不过O 点，则S2010等于（）
A．1005 B．1006 C．2010 D．2012
【答案】A
【解析】
【分析】
根据a n+1=a n+a，可判断数列{a n}为等差数列，而根据
10051006
OC a OA a OB
=+
u u u r u u u r u u u r
，及三点A，
B ，
C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；
由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()
12010201020101
10052
2
a a +⨯=
=
=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
10．已知向量m =r
(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r
，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）
A ．
12
B ．2
C ．
D ．﹣2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2
θ222
26sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案. 【详解】
因为向量m =r (1，cosθ)，n =r
(sinθ，﹣2)，
所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r
因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2
θ2222
2626226
141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
11．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，则当,1[]2t ∈-时，a tb
-r r 的最大值为（ ）
A
B
C ．2
D
【解析】 【分析】
根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利
用a tb -==r r 求解.
【详解】
因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，
所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，
所以a tb -==r r
当[]2,1t ∈-时，max
a tb
-=r r
故选：D 【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
12．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则OP FP →
→
g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根
据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r
，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r
，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即2
2334y x =-，
所以()2222
23132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r
又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
13．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v
（ ）
A ．
3155
AB AC +u u u
v u u u v B ．
2155
AB AC +u u u
v u u u v C ．481515AB AC +u u u
v u u u v D ．841515
AB AC +u u u
v u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】
设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
cos DAE ∠，由此得到45
AF AD =u u u r u u u r
，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将
45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r
为基底来表示的形式.
【详解】
设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，
22π
2cos
4
AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠=
=⨯， 所以
4
5AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()
1133AD AB BC AB AC AB =+=+
-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133
AB AC =+u u u
r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=
+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
14．已知平面向量,,a b c r r r
满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值
A B C ．
2
-
D 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，易知a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由
()
()
21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221
202
x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221
202
x y x +-+
=上一动点与点()20，
之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r
的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，
(),c x y =r
，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以22
1202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆22
1
202
x y x +-+=上一动点与点()20，
之间距离的最小值，
又圆2
2
1202x y x +-+
=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭
，所以点()20，与圆
221
202
x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
15．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u
r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）
A．2
3
B
．
1
5
C．
7
2
D．
15
2
【答案】D
【解析】
【分析】
计算25
AC a b
=+
u u u r r r
，得到()
253
a b a mb
λ
+=+
r r r r
，解得答案.
【详解】
∵3
AB a b
=+
u u u r r r
，2
BC a b
=+
u u u r r r
，∴25
AC AB BC a b
=+=+
u u u r u u u r u u u r r r
，
∵A，C，D三点共线，∴AC CD
λ
=
u u u r u u u r
，即()
253
a b a mb
λ
+=+
r r r r
，
∴
23
5m
λ
λ
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
2
3
15
2
m
λ⎧=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，3
AE EO
=
u u u v u u u v
，则•
EC ED
u u u v u u u v
的值是（）
A．
4
5
-B．
15
16
-C．
1
4
-D．
5
8
-
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】
()()()()
•••
EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC
=++=+-
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2
22115
1
416
EO OC
⎛⎫
=-=-=-
⎪
⎝⎭
u u u v u u u v
,选B.
【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
17．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ）
A ．125
B ．125-
C ．32
D ．32
- 【答案】B
【解析】
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．
【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，
由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得854
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴416122555
m y x =-=
-=-， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
18．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r
，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()
0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=
，故ABC ∆为直角三角形.
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
19．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()22
2001x x +=-解得01x =-
(
E ∴-
(
C Q ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r ()1,343E x M x -=--u u u r
()()()
3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题. 20．已知向量a v ，b v 满足2a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）
A 2
B ．23
C 2
D 2 【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得12
a b ⋅=r r ，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】 由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ，解得：12
a b ⋅=r r
cos ,
4a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.。