高中数学 3.1.3导数的几何意义课件 新人教A版选修1-1
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沿着曲线
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfx
P2 T
P
O
x
O
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
P O
3
T
T
P4 P
xO
x
4
图1.12
新 1、曲线上一点的切线的定义
授
y=f(x)
割
yHale Waihona Puke 线 QT 切线P
结论:当Q点o 无限逼近P点时,此时
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 t 线 a ln x i0 m x y lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
B C
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定
义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ x y ＝ f(x x x )f(x )
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.
题型三：导数的几何意义的应用
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f (x0).
y=f(x)
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
PQ的斜率的极限，就是曲线
△y
在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
lim lim 所k ＝ 以 y ： f(x 0 x ) f(x 0 )
x 0 x x 0
x
继续观察图像的运动过程，还有什么发现？
y
P o
y=f(x)
Q1 Q2 Q3 Q4
解：( 1) yy13lixm 3, ylim1 3(xx)31 3x3
x x 0
x 0
x
1lim3x2 x3x( x)2( x)3
3 x 0
x
y y
1
x3
4
3
3
P
2
1lim [3x23x x( x)2]x2. 3 x 0
y|x2224.
即点P处的切线的斜率等于4.
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
思考： 为什么与抛物线对称轴平行的直线不 是抛物线的切线？
y
P
o Q Q
M x
此处切线定义与 过以 的前 切学 线定义有 同?什么不
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
x
观察图像，可以发现，
在点 P 附近，
PQ
比
2
PQ
更贴紧曲线
1
f x ，
PQ
比
3
PQ
更贴紧曲线
2
f x ，
PQ
比
4
PQ
更贴紧曲线
3
f x ，
T 过点 P 的切线 PT 最贴紧点 P
附近的曲线 f x 。因此，在点 P 附近，
曲线 f x 就可以用过点 P 的切线 PT
近似代替。这是微积分
直点线P处PQ的就割是线与P点切处线存的在切什线么P关T系. ？
x
动画演示割线变化趋势 .
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
3.2导数的几何意义
高二数学 选修1-1
一、复习
1、导数的定义
函 数 y ＝ f x 在 x ＝ x 0 处 的 导 数 ， 记 作 ： f x 0 或 y x ＝ x 0
即 fx 0 ： ＝ lx i0 m x y ＝ lx i0 fm x ０ ＋ x x － fx ０
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
yf(x 0 )f(x 0 )x ( x 0 )
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
解 ： y|x1 lixm 03(1x )x2312
lim
x0
3x2 6x x
lim3(x2) 6 x0
其中：⑴
y＝ ｆ ｘ ０ ＋ｘ －ｘ ｆ ０表示“平均变化率
x
ｘ
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
2fx0＝ lxi m 0 xy表示函 fx在 数 x＝x0处的瞬时变
反映了函 x＝x数 0附在 近的变化情况。
其几何意义是？
2:切线
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线： 直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的 切例线。？如果能，请说明理由；如果l 不能，请举出反
中的重要思
想方法－－以直代曲！
数 学 上 常 用 简 单 的刻对画象复 杂 的 对.例象
如,用 有 理 3数.1416近 似 代 替 无 理.数 这 里,
我 们 用 曲 线 上 某 点切处线的近 似 代替这点 附 近 的 曲,线 这 是 微 积 分 中 重 要想的方思法
以 直 代.曲
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 ： y|x1 lixm 0[(1x)2 x 1](121)
lim2xx2 x0 x
2
切 线 方 程 ： y 2 2 (x 1 ) 即： 2xy0
例2:如图,已知曲线
y1x3上 3
一P(点 2,83),求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
直线与圆相切时，只有一个交点P
不能
P y
o
x
我们知道,导数f ' x0表示函数f x
在x x0 处的瞬时变化率,反映了函
数 f x 在x x0附近的变化情况. 那 么,导数f ' x0 的几何意义是什么呢?
观 察 如图
1 . 1 2 , 当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfx
P2 T
P
O
x
O
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
P O
3
T
T
P4 P
xO
x
4
图1.12
新 1、曲线上一点的切线的定义
授
y=f(x)
割
yHale Waihona Puke 线 QT 切线P
结论:当Q点o 无限逼近P点时,此时
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 t 线 a ln x i0 m x y lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
B C
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定
义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ x y ＝ f(x x x )f(x )
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.
题型三：导数的几何意义的应用
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f (x0).
y=f(x)
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
PQ的斜率的极限，就是曲线
△y
在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
lim lim 所k ＝ 以 y ： f(x 0 x ) f(x 0 )
x 0 x x 0
x
继续观察图像的运动过程，还有什么发现？
y
P o
y=f(x)
Q1 Q2 Q3 Q4
解：( 1) yy13lixm 3, ylim1 3(xx)31 3x3
x x 0
x 0
x
1lim3x2 x3x( x)2( x)3
3 x 0
x
y y
1
x3
4
3
3
P
2
1lim [3x23x x( x)2]x2. 3 x 0
y|x2224.
即点P处的切线的斜率等于4.
P △x o
限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在
x
点P处的切线。
此处切线定义与以前的定义有何不同？
思考： 为什么与抛物线对称轴平行的直线不 是抛物线的切线？
y
P
o Q Q
M x
此处切线定义与 过以 的前 切学 线定义有 同?什么不
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
x
观察图像，可以发现，
在点 P 附近，
PQ
比
2
PQ
更贴紧曲线
1
f x ，
PQ
比
3
PQ
更贴紧曲线
2
f x ，
PQ
比
4
PQ
更贴紧曲线
3
f x ，
T 过点 P 的切线 PT 最贴紧点 P
附近的曲线 f x 。因此，在点 P 附近，
曲线 f x 就可以用过点 P 的切线 PT
近似代替。这是微积分
直点线P处PQ的就割是线与P点切处线存的在切什线么P关T系. ？
x
动画演示割线变化趋势 .
曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
3.2导数的几何意义
高二数学 选修1-1
一、复习
1、导数的定义
函 数 y ＝ f x 在 x ＝ x 0 处 的 导 数 ， 记 作 ： f x 0 或 y x ＝ x 0
即 fx 0 ： ＝ lx i0 m x y ＝ lx i0 fm x ０ ＋ x x － fx ０
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
yf(x 0 )f(x 0 )x ( x 0 )
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
解 ： y|x1 lixm 03(1x )x2312
lim
x0
3x2 6x x
lim3(x2) 6 x0
其中：⑴
y＝ ｆ ｘ ０ ＋ｘ －ｘ ｆ ０表示“平均变化率
x
ｘ
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
2fx0＝ lxi m 0 xy表示函 fx在 数 x＝x0处的瞬时变
反映了函 x＝x数 0附在 近的变化情况。
其几何意义是？
2:切线
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线： 直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的 切例线。？如果能，请说明理由；如果l 不能，请举出反
中的重要思
想方法－－以直代曲！
数 学 上 常 用 简 单 的刻对画象复 杂 的 对.例象
如,用 有 理 3数.1416近 似 代 替 无 理.数 这 里,
我 们 用 曲 线 上 某 点切处线的近 似 代替这点 附 近 的 曲,线 这 是 微 积 分 中 重 要想的方思法
以 直 代.曲
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 ： y|x1 lixm 0[(1x)2 x 1](121)
lim2xx2 x0 x
2
切 线 方 程 ： y 2 2 (x 1 ) 即： 2xy0
例2:如图,已知曲线
y1x3上 3
一P(点 2,83),求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
直线与圆相切时，只有一个交点P
不能
P y
o
x
我们知道,导数f ' x0表示函数f x
在x x0 处的瞬时变化率,反映了函
数 f x 在x x0附近的变化情况. 那 么,导数f ' x0 的几何意义是什么呢?
观 察 如图
1 . 1 2 , 当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4