中考数学一轮复习数学第六章 实数试题及答案

中考数学一轮复习数学第六章 实数试题及答案
一、选择题
1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足
()()122018232019M x x x x x x =++
++++，()()122019232018N x x x x x x =++
++++，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M N < B ．M N > C ．M N D ．M N ≥
2．下列说法正确的是（ ）
A ．有理数是整数和分数的统称
B ．立方等于本身的数是0，1
C ．a -一定是负数
D ．若a b =，则a b = 3．40在下面哪两个整数之间（ ）
A ．5和6
B ．6和7
C ．7和8
D ．8和9
4．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a b c ++就是完全对称式(代数式中a 换成b ，b 换成a ，代数式保持不变).下列三个代数式：①2
()a b -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 5．若15的整数部分为a ，小数部分为b ，则a-b 的值为（） A ．615- B ．156- C ．815- D ．158-
6．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A ．|a|＞|b|
B ．|ac|=ac
C ．b ＜d
D ．c+d ＞0 7．21是a 的相反数，那么a 的值是（ ）
A ．12
B ．12
C ．2-
D 2 8．若m 、n 满足()21150m n -+-=m n +的平方根是（ ）
A ．4±
B ．2±
C ．4
D ．2 9．3的平方根是（ ）
A ．3
B ．9
C 3
D ．±9 10．已知m 是整数，当|m 40取最小值时，m 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题
11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．
12．已知M 是满足不等式36a -<<的所有整数的和，N 是满足不等式x ≤372
-的最大整数，则M ＋N 的平方根为________．
13．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．
14．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．
15．27的立方根为 ．
16．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________．
17．若x ＜0，则323x x +等于____________．
18．定义：对于任意数a ，符号[]a 表示不大于a 的最大整数．例如：
[][][]3.93,55,4π==-=-，若[]6a =-，则[]2a 的值为______．
19．已知2(21)10a b ++-=，则22004a b +=________．
20．如果36a =，b 是7的整数部分，那么ab =_______．
三、解答题
21．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2， （﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把
n a a a a a ÷÷÷÷个（a≠0）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．
初步探究 （1）直接写出计算结果：2③=________，
1
)2
-（⑤=________； （2）关于除方，下列说法错误的是________ A ．任何非零数的圈2次方都等于1； B ．对于任何正整数n ，1=1； C ．3④=4③ D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣
3）④=________；5⑥=________；1)2
-（⑩=________． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于________；
（3）算一算：()3242162÷+-⨯④． 22．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用21-来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：∵22＜（7）2＜32 ，即2＜
＜3， 7的整数部分为27－2）.
请解答：
（110的整数部分是__________，小数部分是__________
（2）5a 37的整数部分为b ，求a ＋b 5的值； 23．已知2+a b 312b +
（1）求2a －3b 的平方根；
（2）解关于x 的方程2420ax b +-=．
24．观察下列解题过程：
计算231001555...5+++++
解：设231001555...5S =+++++①
则23410155555....5S =+++++②
由-②①得101451S =-
101514
S -∴= 即10123100511555 (54)
-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++ 25．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭
，点P 是数轴上的一个动点．
（1）求出A 、B 之间的距离；
（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；
（3）数轴上一点C 距A 点c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．
26．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences ）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q ≠0）．
（1）观察一个等比列数1，
1111,,,24816
，…，它的公比q ＝ ；如果a n （n 为正整数）表示这个等比数列的第n 项，那么a 18＝ ，a n ＝ ；
（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S ＝1+2+4+8+16+…+230…①
等式两边同时乘以2，得2S ＝2+4+8+16++32+…+231…②
由② ﹣ ①式，得2S ﹣S ＝231﹣1
即（2﹣1）S ＝231﹣1 所以 3131212121
S -==-- 请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；
（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，请用含a 1，q ，n 的代数式表示a n ；如果这个常数q ≠1，请用含a 1，q ，n 的代数式表示a 1+a 2+a 3+…+a n ．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，然后求出M -N 的值，再与0进行比较即可.
【详解】
解：根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++， ∴1p q x -=，
∴()()12201823201920192019()M x x x x x x p q x pq p x =+++++
+=•+=+•； ()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++
++++=+•=+•；
∴20192019()M N pq p x pq q x -=+•-+•
=2019()x p q •-
=201910x x •>；
∴M N >；
故选：B.
【点睛】
本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小.
2．A
解析：A
【分析】
根据有理数的定义、立方的性质、负数的性质、绝对值的性质对各项进行分析即可．
【详解】
A. 有理数是整数和分数的统称，正确；
B. 立方等于本身的数是-1，0，1，错误；
C. a -不一定是负数，错误；
D. 若a b =，则a b =或=-a b ，错误；
故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了判断说法是否正确的问题，掌握有理数的定义、立方的性质、负数的性质、绝对值的性质是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
6＜7．
【详解】
所以6＜7．
故选：B ．
【点睛】
的取值范围是解题关键．
4．A
解析：A
【分析】
在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，则：
①（a-b）2=（b-a）2；是完全对对称式．故此选项正确．
②将代数式ab+bc+ca中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca是完全对称
式， ab+bc+ca中ab对调后ba+ac+cb，bc对调后ac+cb+ba，ac对调后cb+ba+ac，都与原式一样，故此选项正确；
③a2b+b2c+c2a 若只ab对调后b2a+a2c+c2b 与原式不同，只在特殊情况下（ab相同时）才会与原式的值一样
∴将a与b交换，a2b+b2c+c2a变为ab2+a2c+bc2．故a2b+b2c+c2a不是完全对称式．故此选项错误，
所以①②是完全对称式，③不是
故选择：A．
【点睛】
本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
先根据无理数的估算求出a、b的值，由此即可得．
【详解】
<<，
91516
<<，
<<34
∴==，
a b
3,3
)
a b
∴-=-=，
336
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
先弄清a,b,c在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得.
【详解】
从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则c+d＞0，故选项正确．
故选B.
【点睛】
本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.
7．A
解析：A
【详解】
只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数，则1)1=-=-a 考点：相反数的定义
8．B
解析：B
【分析】
根据非负数的性质列式求出m 、n ，根据平方根的概念计算即可．
【详解】
由题意得，m-1=0，n-15=0，
解得，m=1，n=15，
=4,
4的平方根的±2，
故选B ．
【点睛】
考查的是非负数的性质、平方根的概念，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
直接根据平方根的概念即可求解．
【详解】
解：∵（2＝3，
∴3的平方根是为．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了平方根的概念，比较简单．
10．B
解析：B
【分析】
根据绝对值是非负数，所以不考虑m 为整数,则m 取最小值是0，又0的绝对值为
0，令0m =，得出m =
m 的整数可得：m
＝6．
【详解】
解：因为m 取最小值，
∴=，
m
∴=，
m
解得：m=
240
m=，
∴<<，且m更接近6，
m
67
∴当6
m=时，m有最小值.
故选：B．
【点睛】
本题考查绝对值的非负性，以及估算二次根式的大小，理解并熟练掌握绝对值的非负性是本题解题关键；在估算二次根式大小的时候，先算出二次根式的平方，再看这个平方在哪两个平方数之间，就相应的得出二次根式在哪两个整数之间，即可估算出二次根式的大小.
二、填空题
11．、、、．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
解析：53、17、5、1．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；
则满足条件的整数值是：53、17、5、1．
故答案为：53、17、5、1．
点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．
12．±2
【分析】
首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和，
∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N是满足不等式x≤的
【分析】
首先估计出a 的值，进而得出M 的值，再得出N 的值，再利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵M a <<
a 的和， ∴M ＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N 是满足不等式x ≤
22
的最大整数， ∴N ＝2，
∴M ＋N ＝±2．
故答案为：±2．
【点睛】
此题主要考查了估计无理数的大小，得出M ，N 的值是解题关键． 13．如等，答案不唯一．
【详解】
本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.
解析：π等，答案不唯一．
【详解】
本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，
因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.
14．﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8， 故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，
解析：﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，
故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
解析：3
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算
16．【分析】
首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.
【详解】
由103＝1000，1003＝1000000，就能确定是2位数．由
解析：39
【分析】
首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.
【详解】
由103＝1000，1003＝10000002位数．由59319的个位上的数是
99，如果划去59319后面的三位319得到数59，而
33＝27、43＝64339．
故答案为：39
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．
17．0
【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．
【详解】
解：∵x＜0，
∴，
故答案为：0．
【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是
解析：0
【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．
【详解】
解：∵x ＜0，
0x x =-+=，
故答案为：0．
【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号．
18．-11或-12
【分析】
根据题意可知，，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：
∴
∴的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小
解析：-11或-12
【分析】
根据题意可知65a -≤<-，12210a -≤<-，再根据新定义即可得出答案．
【详解】
解：由题意可得：65a -≤<-
∴12210a -≤<-
∴[]2a 的值为-11或-12．
故答案为：-11或-12．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数比较大小，理解题目的新定义，根据新定义得出a 的取值范围是解此题的关键．
19．【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴2a＋1＝0，b −1＝0，
∴a＝，b ＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了非负数 解析：54
【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵2(21)0a +=，
∴2a ＋1＝0，b−1＝0，
∴a ＝12-
，b ＝1， ∴222004200411511244a b ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭
， 故答案为：
54． 【点睛】
本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
20．12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】 366a == 479<<
479∴<<，即273<< ∴7的整数部分是2，即2b = 则6212ab =⨯=
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．
三、解答题
21．初步探究（1）
12；—8；（2）C ；深入思考（1）213；415；28；（2）21n a
-；（3）—1． 【解析】
试题分析：理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果．
试题解析：
概念学习
（1）2③=2÷2÷2=，
（﹣）⑤=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）=﹣8
故答案为，﹣8；
（2）A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1； 所以选项B 正确；
C、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③；所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选C；
深入思考：
（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=1×（）2=；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=1×（）4=；
（﹣）⑩=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）
=1×2×2×2×2×2×2×2×2
=28；
故答案为，，28．
（2）aⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷a n﹣2=．
（3）：24÷23+（﹣8）×2③
=24÷8+（﹣8）×
=3﹣4
=﹣1．
【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
22．（1）3103；（2）4
【解析】
分析：求根据题目中所提供的方法求无理数的整数部分和小数部分.
详解：
（110的整数部分是3，
103；
（2）∵459
∴5a52，
∵363749
b=，
∴376
∴
a b +264+=．
点睛：求无理数的整数部分和小数部分，需要先给这个无理数平方，观察这个数在哪两个
整数平方数之间.需要记忆1-20平方数,1²
= 1， 2² = 4 ，3² = 9， 4² = 16， 5² = 25， 6² = 36 ，7² = 49 ，8² = 64 ，9² = 81 ，10² = 100，11² = 121， 12² = 144 ，13² = 169 ，14² = 196 ，15² = 225， 16² = 256， 17² = 289 ，18² = 324， 19² = 361 ，20² = 400.
23．（1）23a b -的平方根为4±；（2）3x =±．
【分析】
（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a 、b 的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可；
（2）先将a 、b 的值代入，再利用平方根的性质求解即可．
【详解】
（1）由相反数的定义得：20a b ++=
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：203120a b b +=⎧⎨+=⎩
解得24a b =⎧⎨=-⎩
则23223(4)41216a b -=⨯-⨯-=+=
故23a b -的平方根为4±；
（2）方程2420ax b +-=可化为224(4)20x +⨯--=
整理得22180x -=
29x =
解得3x =±．
【点睛】
本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握． 24．22020−1
【分析】
根据题目提供的求解方法进行计算即可得解．
【详解】
设S ＝2320191222...2+++++①
则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，②
②−①得，S ＝（2＋22＋23＋…＋22019＋22020）-（2320191222...2+++++）=22020−1 即2320191222...2+++++=22020−1．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键．
25．（1）12；（2）-4；（3）2--或14-
【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a 、b 的值，根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据A 和B 所对应的数，可得AB 中点所表示的数，即为点P 所表示的数； （3）根据题意可以得到c 的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P 对应的数.
【详解】
解：（1）∵2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭
， ∴
11002
ab +=，20a -=， 解得：a=2，b=-10， ∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12；
（2）∵P 到A 和B 的距离相等，
∴此时点P 所对应的数为：()
21042+-=-；
（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，
∴c ＜0，又
|AC|=
∴
c=2-
BC=12-
∵2PB PC =，
①P 在BC 之间时，点P
表示(
2101223-+⨯-=-- ②P 在C 点右边时，点P
表示(
1021214-+⨯-=-
∴点P
表示的数为：2--
或14-
【点睛】
本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别． 26．（1）12 ，1712 ，n-112 ；（2）24332-；（3）()11111
n a a a -- 【分析】
（1）
12
÷1即可求出q ，根据已知数的特点求出a 18和a n 即可； （2）根据已知先求出3S ，再相减，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．
【详解】 解：（1）
12÷1＝12， a 18＝1×（12）17＝1712，a n ＝1×（12
）n ﹣1＝112n -，
故答案为：1
2
，
17
1
2
，
1
1
2n-
；
（2）设S＝3+32+33+ (323)
则3S＝32+33+…+323+324，
∴2S＝324﹣3，
∴S＝
24
33 2
-
（3）a n＝a1•q n﹣1，a1+a2+a3+…+a n＝
() 11
1
1
1
n
a a
a
-
-
．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．。