探究含绝对值函数问题

探究含绝对值函数问题 1．（常州13届高三期末调研）已知函数
()ln f x x x a x =--.
(1)若a =1,求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; (2)求函数()f x 的单调区间;
(3)若()0f x >恒成立,求a 的取值范围.
【答案】解:(1)若a =1, 则
()1ln f x x x x =--.
当[1,]x e ∈时, 2
()ln f x x x x =--,2'
121
()210x x f x x x x
--=--=>,
所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==-- (2)由于()ln f x x x a x =--,(0,)x ∈+∞.
(ⅰ)当0a ≤时,则2
()ln f x x ax x =--,2'
121
()2x ax f x x a x x
--=--=,
令'
()0f x =,得00x =
>(负根舍去), 且当0(0,)x x ∈时,'()0f x <;当0(,)x x ∈+∞时,'
()0f x >,
所以()f x 在上单调减,在)+∞上单调增 (ⅱ)当0a >时,
①当x a ≥时, 2'
121
()2x ax f x x a x x
--=--=,
令'
()0f x =,得1x =x a =
<舍),
a ≤,即1a ≥, 则'()0f x ≥,所以()f x 在(,)a +∞上单调增;
若
a >,即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时,'()0f x <;当1(,)x x ∈+∞
时,'
()0f x >,所以()f x 在区间上是单调减,在)+∞上单调增
②当0x a <<时, 2'
121
()2x ax f x x a x x
-+-=-+-=,
令'
()0f x =,得2210x ax -+-=,记28a ∆=-,
若280a ∆=-≤,即0a <≤, 则'
()0f x ≤,故()f x 在(0,)a 上单调减;
若280a ∆=->,即a >
则由'
()0f x =得3x =,4x =且340x x a <<<,
当3(0,)x x ∈时,'()0f x <;当34(,)x x x ∈时,'
()0f x >;当4(,)x x ∈+∞
时,'
()0f x >,所以()f x 在区间上是单调减,在
上单调增;在)+∞上单调减
综上所述,当1a <时,()f x 单调递减区间是 ,()f x 单调递增区间
是)+∞;
当1a ≤≤时, ()f x 单调递减区间是(0,)a ,()f x 单调的递增区间是
(,)a +∞;
当a >, ()f x 单调递减区间是)和)a ,
()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞ (3)函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞. 由()0f x >,得ln x
x a x
->
. *
(ⅰ)当(0,1)x ∈时,0x a -≥,ln 0x
x
<,不等式*恒成立,所以R a ∈; (ⅱ)当1x =时,10a -≥,
ln 0x
x
=,所以1a ≠; (ⅲ)当1x >时,不等式*恒成立等价于ln x a x x <-
恒成立或ln x
a x x
>+恒成立. 令ln ()x
h x x x
=-,则221ln ()x x h x x -+'=.
因为1x >,所以()0h x '>,从而()1h x >. 因为ln x
a x x
<-
恒成立等价于min (())a h x <,所以1a ≤. 令ln ()x
g x x x
=+,则221ln ()x x g x x +-'=.
再令2()1ln e x x x =+-,则1
()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立,()e x 在(1,)x ∈+∞上
无最大值.
综上所述,满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞
1．（ 2013苏锡常镇四市高三调研（二））已知a 为正的常数,函数2
()ln f x ax x x =-+.
(1)若2a =,求函数()f x 的单调增区间; (2)设()
()f x g x x
=
,求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值. 【答案】
（2010全国卷1理数）(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .
（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分） 已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；
（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。

解：
（Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞）. 2121
'()2a ax a f x ax x x
+++=+=. 当0a ≥时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调增加； 当1a ≤-时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a ＜0时，令'()f x =0，解得x =
则当x ∈时，'()f x ＞0；)x ∈+∞时，'()f x ＜0.
故()f x 在单调增加，在)+∞单调减少. （Ⅱ）不妨假设12x x ≥，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥-
等价于12,(0,)x x ∀∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+ ①
令()()4g x f x x =+，则1
'()24a g x ax x
+=
++ ①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即 1
240a ax x
+++≤. 从而222
222
41(21)42(21)2212121
x x x x a x x x ------≤==-+++ 故a 的取值范围为（-∞，-2]. ……12分
课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] 已知函数y ＝f (x )的周期为2，
当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个 课标文数12.B4，B7，B8[2011·课标全国卷] A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．。