排列组合中分组分配问题的教学设计

排列组合中分组分配问题的教学设计
惠能中学 梁丽梅
教学目的：
知识目标：会应用分组公式、隔板法解决相关的分组分配问题 技能目标：研究典型例题，形成典型问题的思维模式，奠定解其他相关问题的思维依托。

情感目标：通过自主探索，培养学生自主探究的意识。

教学重点：
分组公式和隔板法的应用 教学难点：
分组公式与隔板法的探讨 教学过程：
一、 复习旧知，导入新课
排列、组合都是从n 各不同的元素中取出m 个，不同的是对于排列，取出的m 个元素还要按一定的顺序排成一列。

运用排列组合的知识来解决问题时我们关键要看两点：元素不同和要不要考虑顺序。

假如我们要从n 个不同的元素中取出m 作为一组，再取m 个作为另外一组，这时候应怎么做呢？如果元素相同时又怎么办呢？这一节课我们一起来探讨这样的分组分配问题。

自我点评：简单的导入目的是让学生了解这一节课我们要研究的问题是什么。

设疑时把重点放在元素的同异上，主要是让学生明确元素同或不同解决的方法就不一样。

通过这样设疑引入，有利于学生形成明确的学习目的，从而激发学生的学习兴趣和探讨解决方法的欲望。

相对于相同元素的分组分配问题，不同元素的处理比较容易也比较重要，在例题的安排中我先设计了不同元素的分组分配问题。

二、 新课讲解
第一类：对不同元素进行分组分配
例1：6本不同的书，按照以下要求分给三个人，各有多少种不同的分法：
（1） 一人一本，一个两本，一人三本； （2） 两人各一本，一人三本 （3） 每人各两本
分析题目特点：1、6本不同的书，说明要分组的元素不同；
2、分给三个人，说明分配的对象互不相同，要考虑顺序。

3、三个小题共同的地方都是先按照不同的要求把不同的书分成3组，再分配给不同的三个人。

思考：元素不同，分组的要求、分配的对象也不同，该如何分？ 解：（1）第一步：把6本书分成三组，先从6本书中取出1本作为一组，再从剩下的5
中取出2本作为一组，最后从剩下的3本中取出3本作为一组，共有603
32516=C C C 中不同
的分组方法。

第二步：把已经分为三组的书分配给三个人，总63
3=A 中分配方法。

所以，总的分法有3606603
3332516=⨯=⋅A C C C （种）
自我点评：本小题的教学是先让学生思考，再通过师生共同探究得到正确答案。

在第一步的计算中，可能有学生会提出这样的问题：“如果先从6本书中拿出3本作为一组，再从剩下的3本中拿出2本作为一组，剩下的一本作为一组可以吗？”在第一步中，因为只是考虑把书分三组，不考虑组序（即不用考虑分好的三组书分别为第几组）。

所以，先如果先从6本书中拿出3本作为一组，再从剩下的3本中拿出2本作为一组，剩下的一本作为一组的分法
是一样的，3606603
3112336=⨯=⋅A C C C （种）。

通过这样的师生共同探讨，充分调动了学
生思考问题的积极性。

在教学（2）时，我先让学生根据（1）的解题方法自己先做题。

从而得出他们的错解：
18063033441516=⨯=⋅A C C C （种）。

从而引导学生得出正确的解法。

（2）分析：6本不同的书，按照两人各一本，一人三本的要求分给三个人。

我们的做法还是先把书分成三组再分配给三个人，在第一步把书分组时同样不需要考虑组序。

把6
由上表得，分组的不同地方主要是由各为1本书的两组引起的。

如a ，c 这两个元素顺序不同的排列有22A 种，而事实上这2
2A 种我们只看成是一种。

从而得出，
18063033441516=⨯=⋅A C C C ，这样的算法有重复，因而错误。

解：第一步：先选1人作为一组，在选一人作为一组，剩下的4人作为一组共有
152
244
1516=A C C C 种；第二步：把分好的三组书分配给3个人。

所以，总的分法有906153
32
2
441516=⨯=⋅A A C C C （种） 自我点评：本题教学的设计主要目的是让学生在错解中形成正确的解法，并能清楚了解出错的原因，从而更加巩固解题的方法，减少以后出错的情况。

体现新课标中学生应为学习的主体，把课堂教给学生，培养学生自主探索的精神，体现了教师在教学过程的引导者作用。

分析：经过（2）的方法的学习，我们知道把6本不同的书，按照每人两本要求分给三个人。

解题的思路还是要先考虑把书分三组再分配给三个人。

在此题的解题中，引导学生利用（2）的列表方法，减少重复的分法。

由表得，如把ab ，cd ，ef 看成是三个元素顺序不同的排列有6种，而事实上这6种我们只
看成是一种。

所以正确的解法是：906153
33
3
222426=⨯=⋅A A C C C （种） （给学生4分钟时间自己总结知识点和解题方法，培养学生的知识归纳能力并形成良好的学习习惯。

）
小结：例题题型属于分组分配问题，解这一种题的步骤都是对不同的元素进行分组再分配。

关键的步骤是第一步把不同的元素分组。

一般地，把n 个不同的元素分成k 组，每组分别有k m m m m ,,,,321 个，且
n m m m m k =++++ 321
若k m m m m ,,,,321 互不相等，则为完全不平均分组，共有k
k m
m m m m n m m n m n C C C C ⋅⋅--- 321211种不同的分组方法；
若k m m m m ,,,,321 中有且仅有i 个组的个数相同，则为不完全平均分组，共有
i
i m m m m m n m m n m n A C C C C k k
⋅⋅--- 3212
11种不同的分法。

若k m m m m ==== 321，则为平均分组，共有
k
k
m m m m m n m m n m n A
C C C C k k
⋅⋅--- 3212
11种。

【配套练习】：将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？
解：将5名志愿者分到3个场馆，从场馆的人数的角度考虑可分为两类：（3，1，1）和
（2，2，1）；总的方案种数有：15090603
32
2
1
123253322111235=+=⋅+⋅A A C C C A A C C C （种）。

自我点评：通过小结，让学生对所学知识进行总结与归纳，并形成自己的解题思路和方法，
自主构建解题的思维模式；配套练习的设计是例题的变式题，只要理解了计算公式，正确解答此题就很容易了。

而且在设计练习巩固知识点时应从易到难，让学生在学习的过程中能学以致用，体会到举一反三的成就感，培养学生热爱数学的热情，并帮学生树立学好数学的自信心。

第二类：对相同元素进行分组分配
（在学生学习热情高涨的气氛下，我继续设疑，如果在要分组的元素都相同的情况下，这三个公式是否都使用呢？由此引出例2）。

例2：有10个三好学生的名额，分配到6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？
分析：显然，现在要分配的元素不是具体的三好学生而是名额，即要分组的元素是相同元素。

如果按照不同元素的处理方法显然行不通。

对相同元素进行分组分配，用到隔板模型法，简称隔板法。

即在n 个相同的元素形成的（1-n ）个空位中，插入（1-b ）的模版，可以把元素分成b 组的方法。

应用隔板法必须满足三个条件：①要分组的n 元素相同；②分成的每一组至少分得一个元素；③分配的组别不同。

解：要把10个名额分成6堆，需要5个隔板。

先把10个名额排成一排（因为名额相同，都是三好学生名额，所以只有一种排法），名额之间形成9个空位，将5个隔板插入其中，
每一种插法对应一种分配方案，所以，不同的分配方案有：1265
9=C 种。

【配套练习】：某区对口支援西部贫困山区教育，需从本区三所重点中学抽调5名教师，每所学校至少抽调1人到山区5所学校支教，每校1人，则有多少种支教方案？
分析：抽调5名教师，实际上抽调的是名额，属于相同元素，用隔板模型法，先把5个名额分配好，即在5个名额形成的4个空位中插入2个隔板，有2
4C 中；再把5人分配到
5间学校内有，有5
5A 种；则总共有7205524=A C 种不同的支教方案。

小结：利用隔板模型法主要是先要确定要分配的元素是相同的，而且每一种插法对应一种分
配方案，已经有顺序的了。

自我点评：基于考试大纲的要求与本节课时间的分配，此知识点主要是介绍解题的方法，并与不同元素的分组分配问题形成对比。

帮学生理清知识的网络，并针对具体的问题运用具体的解题方法。

三、 综合提高练习
将7个小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子不空 （1）若7个小球相同，共有多少种放法？ （2）若7个小球不同，共有多少种方法？
解：（1）分组元素相同，利用隔板法，则有 202
6=C 种放法。

（2）分组元素不同，从放的个数的角度考虑可分为三类：（1，1，1，4）、（1，1，2，3）和（2，2，2，1）；总的方案种数有：
840024)10521035()(4
43
3
1123252722332516173344151617=⨯++=+⋅+A A C C C C A C C C C A C C C C （种）。

四、课堂小结
处理分组分配问题时注意考虑要分组的元素是相同的还是不同。

第一类：对不同元素进行分组分配用分组公式法。

第二类：对相同元素进行分组分配用隔板模型法。

五、课后作业
教委派5名教研员到3所学校去调研学生课业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的选派方案？
教后反思：排列组合是高二数学选修2—3的内容，概念性强，抽象性强，灵活性强，思维方式独特。

所以，在教学此知识点时我比较注意研究题型例题，形成典型问题的思维模式，帮学生奠定解其他相关问题的思维依托。

分组分配问题又是排列组合中的难点。

如何把握好这一难点，让学生学起来有方法有思路而不觉得困难是我备课的重点。

在具体的教学过程中，我比较注重公式的探讨这一环节。

我认为，只有让学生真正懂得公式的来由，才会把公式记得牢固用得准确。

在处理两个知识点的时候，我考虑到主次要分明，重点要突出，所以设计时重点在讲解第一类问题，并注重在知识建造过程中把学生的学放在第一位，时候围绕学生作为主体进行讲课，依照一思一讲一练一小结四个步骤讲解每一个知识点，充分给与学生思考与整理的时间。

让学生在学的过程中感到轻松，有成就感，并促进其学习自信心的提高。

然而在讲解第二类问题时总会有学生对隔板法的由来倍感兴趣，我在这个模型解决方法的总结上还欠缺条理性，在以后的教学中需要注意改进。