【南京大学 大学数学微积分】 1.2.2函数的极限

lim f ( x) A
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有 f ( x ) A .
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 ) 时, 有 f ( x ) A .
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. x x0 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 x0 ; 面积为A ) 直接观测值 边长 x 间接观测值 2 面积 x 确定直接观测值精度 :
x x0
2 任给精度 , 要求 x A
故 0 , 取 , 当 0 x 1 时 , 必有
x 1 2 x 1
因此
2
x2 1 lim 2 x 1 x 1
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例4. 证明: 当 x0 0 时 lim 证:
f ( x) A
x x0
1 例6. 证明 lim 0. x x 1 1 证: 0 x x 1 1 故 0 , 欲使 0 , 即 x , x 1 1 0 取 X , 当 x X 时, 就有 x 1 lim 0 因此 x x 1 注: y 0 为 y 的水平渐近线. x
1.2.2 函数的极限
对 y f ( x) , 自变量变化过程的六种形式: ( 4) x ( 1 ) x x0
第一章
( 2 ) x x0 (3) x x0 本节内容 :

(5) x (6) x

一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f ( x) A
x x0
xn : xn x0 , f ( xn )
n
有定义, 且 xn x0 ( n ) , 有 lim f ( xn ) A. 证：“ ” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当
定理 1 .
x x0
x x0
lim f ( x) A
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x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
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例5. 设函数
y
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 o 1 y x 1 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
C C 0
x x0
lim C C
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例2. 证明 lim( 2 x 1) 1
x 1
证:
f ( x) A
(2 x 1) 1 2 x 1
f ( x ) A , 只要
0 , 欲使
x 1 , 2
n
y
lim f ( xn ) A
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A
”可用反证法证明. (略)
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x0
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x
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定理1. lim f ( x) A
x x0 ( x )
xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义
且 xn x0 ( n ) , 有 lim f ( xn ) A . n ( xn )
lim g ( x) lim h( x) A
x x0
( x )
( x )
x x0
lim f ( x) A
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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两个重要极限
sin x 1 例8 lim x 0 x ) 证: 当 x ( 0 , 2 时，
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y 1 y x
o x
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x
两种特殊情况 : lim f ( x) A
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A 0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 xn : xn x0 , 且 xn x0 ( n ) ,
使 lim f ( xn ) 不存在 .
n
, 使 法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn 及 xn
n
) lim f ( xn ) lim f ( xn
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3. 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2 . 设函数 f ( x)当 x 大于某一正数时有定义, 若
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A , 则称常数
A 为函数 f ( x)当x 时的极限, 记作
A x0
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定义1 . 设函数 f ( x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义 , 若 0 , 0 , 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A 则称常数 A 为函数 f ( x) 当 x x0 时的极限, 记作 即
解: 利用定理 1 . 因为
x 0 x 0

y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0

显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x 0
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x
x0 .

x
x0
1 x x0 x0 0 , 欲使 f ( x ) A , 只要 x x0
x x0 x x0
x0 , 且
min x0 , x0 , 则当 0 x x0 时, 必有
x x0
因此
x x0
x
lim f ( x ) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 1 1 , g ( x) y y 1 2x 例如，f ( x) x 1 x 1 1 x 1 x 都有水平渐近线 y 0 ; o xx x x o x f ( x) 1 2 , g ( x) 1 2 又如，

y
y f ( x)
x0 x0 x0
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x
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例1. 证明 lim C C ( C 为常数 )
x x0
证:
f ( x) A C C 0
故 0 , 对任意的 0 , 当 0 x x0 时 , 总有 因此
故 0 , 取 min 1, , 19
L
当 0 x 1 时 , 必有 因此
lim x3 8.
x 2
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x 8 19 | x 2 |
3
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2. 左极限与右极限 左极限 : f
( x0 )
x x0
lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x) A (当x x0 )
几何解释:
A A A
0 , 0 , 当 x ( x0 , ) 时, 有 f ( x) A
这表明: 极限存在 函数局部有界
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例9
x
x lim (1 1 ) e x
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1 , 则
(1
1 )n n 1
x n 1 1 1 ( 1 ) (1 n ) x
n 1 (1 n1 ) 1
n n
x x0
0 x x0 时, 有 f ( x) A . xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且 xn x0 ( n ) ,
对上述 , N , 当 n N 时, 有 0 xn x0 , 于是当 n N 时 f (A 或 f ( x) A (当x )
x X 或x X
A f ( x) A
y f ( x)
X
几何解释:
y
A A
A
X
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o
x
直线 y = A 为曲线 y f ( x) 的水平渐近线
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1 由定理 1 知 lim sin 不存在 . x 0 x
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(2) 函数极限存在的夹逼准则 定理2. 当 x ( x0 , ) 时, g ( x) f ( x) h( x) , 且
(

x X 0 )
( x )
x x0
1 2
都有水平渐近线 y 1.
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3. 关于函数极限的定理 (1) 函数极限与数列极限的关系 定理1.
x x0 x
lim f ( x) A
xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn
x 0 . 而 x 0 可用 x x0 x0 保证 . 故取
lim
x x0
o
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x
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x0
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x
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例5. 证明 lim x 8
3 x 2
| x 2 | 1 1 x 3 x 2 2 x 4 19
证: f ( x ) A x 3 8 x 2 x 2 2 x 4 L | x 2 |
取 2 , 则当 0 x 1 时 , 必有
f ( x) A (2 x 1) 1
因此
lim( 2 x 1) 1
x 1
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x2 1 例3. 证明 lim 2 x 1 x 1
x2 1 证: f ( x ) A 2 x 1 2 x 1 x 1
n lim lim (1 n1 ) 1
n
1 n1 1
e
n 1 1)n 1） lim (1 1 ) lim [( 1 （ 1 ] e n n n n
n
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1 例7. 证明 lim sin 不存在 . x 0 x 证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2 n 2n 2
有
(n 1, 2 ,)
1 lim sin lim sin 2n 0 n xn n 1 lim sin lim sin( 2n ) 1 2 n n xn
1 sin x 2 1 tan x x 1 2 2
B D
1 x o C A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 即
x 1 ) sin x x tan x ( 0 x 1 故有 亦即 2 sin x cos x sin x ) ( 0 x cos 1 x 显然有 2 x sin x lim 1 lim cos x 1, x 0 x x 0