课时作业3：3.2.1 倍角公式

3.2.1 倍角公式
一、基础过关
1.若sin α2＝33
，则cos α等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23
答案 C
解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13
. 2.3－sin 70°2－cos 210°
的值是( ) A.12 B.22 C.2 D.32
答案 C
解析 原式＝3－sin 70°2－12
(1＋cos 20°) ＝2(3－cos 20°)3－cos 20°
＝2. 3.函数f (x )＝sin x cos x ＋32
cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2
答案 A
解析 f (x )＝sin x cos x ＋32
cos 2x
＝12sin 2x ＋3
2cos 2x
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3.
所以最小正周期为π，振幅为1.
故选A.
4.若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ
1＋sin 2θ的值为( )
A.3
B.－3
C.－2
D.－1
2
答案 A
解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－1
2.
∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θ
cos θ＋sin θ
＝1－tan θ1＋tan θ＝
1－⎝⎛
⎭
⎫－1
21＋⎝⎛⎭
⎫－12＝3.
5.已知等腰三角形底角的正弦值为5
3，则顶角的正弦值是(
) A.45
9 B.25
9
C.－45
9 D.－25
9
答案 A
解析 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，顶角为180°－2θ.
∵sin θ＝5
3，∴cos θ＝1－sin 2θ＝2
3.
∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ
＝2×53×2
3＝45
9.
6.2sin 222.5°－1＝ .
答案 －2
2
解析 原式＝－cos 45°＝－2
2.
7.已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π
12，x ∈R .
(1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值. 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭
⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4
＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝
⎛⎭⎫2θ＋π4 ＝cos 2θ－sin 2θ，
又cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45
， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝－725
， ∴f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725
. 二、能力提升
8.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为
( )
答案 B
解析 如图所示，当x ∈(0，π2
)时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x,0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f (x )cos x
＝sin x ， ∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈(π2
，π)时，有f (x )|cos x |＝sin(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合.
9.函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为 .
答案 π
解析 ∵y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )
＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.
10.已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ
＝ . 答案 3
解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2
＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝
⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 11.(1)已知π<α<32π，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α
； (2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°).
解 (1)∵π<α<32π，∴π2<α2<34
π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2
. ∴1＋sin α
1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2
) ＝－2cos α2
. (2)原式＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10° ＝2sin 50°sin (10°＋30°)cos 10°＝2sin 50°sin 40°cos 10°
＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°
＝1.
12.求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°； (2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°
. 解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°
＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116
. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)
＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°
＝sin 50°·2sin 40°cos 10°
＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°
＝1－cos 20°2sin 210°
＝ 2. 三、探究与拓展
13.已知向量a ＝⎝
⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在⎣⎡⎦
⎤0，π2上的最大值和最小值. 解 (1)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12
cos 2x ＝32sin 2x －12
cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6. ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2
＝π. (2)∵x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2， ∴2x －π6∈⎣⎡⎦
⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故当2x －π6＝π2即x ＝π3
时，f (x )max ＝1；
当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.。